基于布魯納結(jié)構(gòu)主義的數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)

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隨著2017年版國(guó)家《普通高中課程方案》的印發(fā)，以及2019年《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見(jiàn)》的出臺(tái)，國(guó)家教育改革要求教師優(yōu)化教學(xué)方式，跳出“課時(shí)主義”的碎片化教學(xué)，高觀點(diǎn)地、整體地規(guī)劃教學(xué)，讓學(xué)生學(xué)到結(jié)構(gòu)性的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力。在此背景下，單元教學(xué)和布魯納結(jié)構(gòu)主義再次成為教育界關(guān)注的熱點(diǎn)。布魯納結(jié)構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)應(yīng)將學(xué)科的基本概念、結(jié)構(gòu)、原理置于課程的中心位置，將學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生的認(rèn)知水平結(jié)合起來(lái)，以符合學(xué)生年齡特征的方式進(jìn)行教學(xué)[1]?；诓剪敿{結(jié)構(gòu)主義理念以及數(shù)學(xué)的抽象性、系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性、邏輯性等特點(diǎn)，本研究將數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)界定為以整體系統(tǒng)構(gòu)建為方向，以教材、課標(biāo)為基礎(chǔ)，以學(xué)生認(rèn)知為起點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)籌重組優(yōu)化，將優(yōu)化后的教學(xué)內(nèi)容作為一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的教學(xué)單元，以突顯數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)基本原理、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用[2]。

教學(xué)單元類型包括數(shù)學(xué)核心知識(shí)主線單元、數(shù)學(xué)基本技能主線單元、數(shù)學(xué)思想方法主線單元、項(xiàng)目式問(wèn)題主線單元、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主線單元。

一、數(shù)學(xué)核心知識(shí)主線單元

數(shù)學(xué)核心知識(shí)主線單元是以數(shù)學(xué)核心概念或核心知識(shí)為主線，以知識(shí)本身的邏輯關(guān)系進(jìn)行組織的教學(xué)單元。因此該類型單元的教學(xué)設(shè)計(jì)注重結(jié)構(gòu)化，將數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯關(guān)系和數(shù)學(xué)原理顯性呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生既能掌握知識(shí)之間的聯(lián)系，又能明確研究數(shù)學(xué)的基本方法[3]。目前教材自然單元大多是知識(shí)主線單元。

以北師大版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)“一元一次不等式與一元一次不等式組”單元為例。本單元可以按照課本順序設(shè)計(jì)單元教學(xué)（圖1），即三個(gè)板塊知識(shí)分別按照“定義—性質(zhì)—求解—應(yīng)用”的邏輯順序進(jìn)行。那這和平時(shí)教學(xué)又有何區(qū)別呢？其實(shí)單元教學(xué)實(shí)施重點(diǎn)在于對(duì)單元的整體設(shè)計(jì)，并且教學(xué)始終圍繞單元目標(biāo)進(jìn)行。本單元能力素養(yǎng)目標(biāo)為“了解研究方程、不等式的基本思路；體會(huì)不等式、方程、函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別；在學(xué)習(xí)中感受類比和化歸思想，體會(huì)模型思想，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)”。因此，單元教學(xué)從一開(kāi)始就要給學(xué)生滲透研究不等式的基本思路，即“定義—性質(zhì)—求解—應(yīng)用”，并且在后續(xù)學(xué)習(xí)中讓學(xué)生不斷用類比、化歸的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行學(xué)習(xí)。但是盡管如此，由于每個(gè)板塊學(xué)習(xí)時(shí)間間隔較長(zhǎng)，許多學(xué)生仍然不容易體會(huì)每個(gè)板塊之間的明確關(guān)系，在學(xué)習(xí)過(guò)程中不會(huì)主動(dòng)建立聯(lián)系。

圖1 教材的單元結(jié)構(gòu)

因此，為了讓學(xué)生更清楚本章知識(shí)結(jié)構(gòu)，更直接感受類比、化歸的數(shù)學(xué)思想，我們可以嘗試將本單元內(nèi)容重新編排設(shè)計(jì)為以下三大板塊（圖2）：第一板塊“認(rèn)識(shí)不等式”，第二板塊“求解不等式”，第三板塊“不等式的應(yīng)用”。這樣的單元設(shè)計(jì)，既能讓學(xué)生從單元大框架上理解研究不等式的基本思路，即“定義—性質(zhì)—解法—應(yīng)用”，又在每個(gè)板塊中讓學(xué)生及時(shí)進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，看到“共性”與“個(gè)性”。學(xué)生在第一部分“認(rèn)識(shí)不等式”學(xué)習(xí)中感受類比、抽象、建模思想，在第二部分“求解不等式”中感受化歸思想，在第三部分“不等式的應(yīng)用”中感受化歸思想，提升綜合應(yīng)用能力。同時(shí)在第二部分學(xué)生還充分進(jìn)行了求解不等式的技能訓(xùn)練，提高了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，為后面應(yīng)用環(huán)節(jié)奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。

圖2 重組的單元結(jié)構(gòu)

二、數(shù)學(xué)基本技能主線單元

數(shù)學(xué)基本技能主線單元，就是以掌握某類數(shù)學(xué)基本技能為目標(biāo)的單元。以運(yùn)算技能為例，數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一[4]，運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)的基本能力，同時(shí)初中階段學(xué)生的運(yùn)算問(wèn)題也是令許多老師頭疼的問(wèn)題之一，很多學(xué)生往往還沒(méi)弄清楚算理就進(jìn)行運(yùn)算，盲目模仿套用，因此錯(cuò)誤連連。許多老師在實(shí)際教學(xué)中也沒(méi)有深究學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤的原因，就盲目進(jìn)行做題訓(xùn)練，結(jié)果收效甚微。因此，針對(duì)這樣的情況，我們可以設(shè)計(jì)計(jì)算技能主線單元教學(xué)，從原理到操作程序再到實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

例如北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)“整式的乘除”單元。這是一個(gè)運(yùn)算章節(jié)，本單元學(xué)習(xí)目標(biāo)主要是理解整式的乘除法算理，然后進(jìn)行整式乘除運(yùn)算，并在學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)習(xí)應(yīng)用類比、歸納、轉(zhuǎn)化等方法進(jìn)行思考與運(yùn)算，發(fā)展運(yùn)算能力[5]。教材的編寫(xiě)思路是從簡(jiǎn)單的基本運(yùn)算（算法）到復(fù)雜運(yùn)算，先講“同底數(shù)冪的乘除法”，再講“整式的乘除法”。但在教學(xué)過(guò)程中一些學(xué)生仍然容易混淆乘除法運(yùn)算，錯(cuò)誤使用運(yùn)算公式。其原因在于學(xué)生在較短時(shí)間同時(shí)進(jìn)行乘法和除法的學(xué)習(xí)，增加了記憶負(fù)擔(dān)，同底數(shù)冪的乘法和除法法則尚且沒(méi)有使用熟練，更別談后面較復(fù)雜的單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的乘除法了。因此，本單元我們可以嘗試重新規(guī)劃如下教學(xué)順序（圖3）：把乘法運(yùn)算和除法運(yùn)算分開(kāi)學(xué)習(xí)，即先講整式乘法，再講整式的除法。這樣能讓學(xué)生先在整式乘法中經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過(guò)程，即“運(yùn)算原理→運(yùn)算公式及操作步驟→運(yùn)算練習(xí)”，先明確研究運(yùn)算的基本思路并熟練掌握乘法運(yùn)算技能，再在此基礎(chǔ)上類比乘法學(xué)習(xí)“整式的除法”，達(dá)到事半功倍的效果。

圖3 重組的“整式的乘除”運(yùn)算單元結(jié)構(gòu)

三、數(shù)學(xué)思想方法主線單元

布魯納提出學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)和基本原理更容易進(jìn)行知識(shí)的遷移應(yīng)用并解決類似問(wèn)題[6]36。但現(xiàn)狀卻是許多老師僅滿足于對(duì)某幾個(gè)題型的解法研究，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、基本原理、思想方法的研究。學(xué)生也只是進(jìn)行機(jī)械模仿訓(xùn)練，缺乏對(duì)方法的反思、提煉以及對(duì)數(shù)學(xué)思維的感悟和應(yīng)用，因此在學(xué)習(xí)新知識(shí)和解決新問(wèn)題時(shí)無(wú)法做到遷移應(yīng)用，學(xué)習(xí)依賴性強(qiáng)，學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)重，學(xué)到的東西零散不成體系，學(xué)習(xí)效果差[7]。對(duì)此，教師可以嘗試設(shè)計(jì)以數(shù)學(xué)思想方法為主線的單元，即通過(guò)對(duì)相關(guān)知識(shí)和問(wèn)題的重組整合，重點(diǎn)實(shí)現(xiàn)對(duì)該數(shù)學(xué)思想方法的顯性呈現(xiàn)和多情境下的理解應(yīng)用，最終能夠遷移應(yīng)用該方法解決其他類似問(wèn)題。

以初中數(shù)學(xué)“方程思想”為例。方程思想是“從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、方程與不等式的混合組），然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解”[8]。在設(shè)計(jì)以方程思想為主線的數(shù)學(xué)單元時(shí)，可以將所有方程和不等式單元整合設(shè)計(jì)如下（圖4），即按照提煉方程思想到應(yīng)用方程思想的思路進(jìn)行。具體教學(xué)流程為（圖5）：從“一元一次方程的應(yīng)用”教學(xué)中提煉方程思想，即“分析數(shù)量關(guān)系—建立數(shù)學(xué)模型—求解數(shù)學(xué)問(wèn)題”，再利用該方程思想解決后續(xù)其他方程和不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。

圖4 “方程思想單元”設(shè)計(jì)思路

圖5 “方程思想單元”實(shí)施流程

四、項(xiàng)目式問(wèn)題主線單元

項(xiàng)目式問(wèn)題主線單元類似項(xiàng)目化學(xué)習(xí)。其主要是學(xué)生通過(guò)觀察生活現(xiàn)象提出要解決的實(shí)際問(wèn)題，圍繞這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模并求解得出結(jié)論的過(guò)程。目前國(guó)內(nèi)對(duì)這部分的教學(xué)實(shí)踐更多放在了教材的“綜合與實(shí)踐”部分。這類型的單元教學(xué)，教師可以以某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)板塊為“工具庫(kù)”，讓學(xué)生觀察生活提出自己要研究的具體問(wèn)題，并綜合應(yīng)用該板塊的知識(shí)進(jìn)行求解[9]。

例如，對(duì)于初中的“一次模型”內(nèi)容，教師可以設(shè)計(jì)“一次模型的應(yīng)用單元”（圖6）。教師給出的工具庫(kù)為初中階段的“一次模型”，學(xué)生采取分組合作探究的方式進(jìn)行研究。首先組內(nèi)確定自己的研究主題和背景，例如“探究小明爸爸上班中的行程問(wèn)題”，然后提出自己感興趣的能夠通過(guò)一次模型研究的具體問(wèn)題。通過(guò)實(shí)地調(diào)查、查閱資料等方式進(jìn)行數(shù)據(jù)的采集，梳理數(shù)量關(guān)系，然后抽象出模型。即將實(shí)際問(wèn)題抽象為一元一次方程（組）問(wèn)題或一次函數(shù)問(wèn)題或一次不等式（組）的問(wèn)題，再通過(guò)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，得出答案，再檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際，然后對(duì)具體問(wèn)題、研究范圍、數(shù)據(jù)等進(jìn)行微調(diào)，最終得到符合實(shí)際情況的結(jié)果，得出最終結(jié)論。

圖6 “一次模型應(yīng)用單元”設(shè)計(jì)舉例

通過(guò)這樣的項(xiàng)目式單元教學(xué)，學(xué)生不僅能夠熟練掌握知識(shí)、技能、方法，更能夠?qū)W(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)遷移應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的方法分析世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界的能力。

五、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主線單元

布魯納提出學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)和基本原理能夠彌補(bǔ)縮小“高級(jí)”知識(shí)與“低級(jí)”知識(shí)之間的差距[6]37。即結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)和能力的培養(yǎng)能使學(xué)生更好適應(yīng)知識(shí)難度逐漸提高的過(guò)程，能更好地學(xué)習(xí)更高層次的知識(shí)。思維和能力的培養(yǎng)才是數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵。核心素養(yǎng)主線單元正是以培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)基本能力為目的的單元。素養(yǎng)和能力的培養(yǎng)注定是一個(gè)長(zhǎng)期復(fù)雜的過(guò)程，核心素養(yǎng)單元也必定是跨課時(shí)、跨單元、跨年級(jí)甚至是跨學(xué)段、跨學(xué)科的[10]，需要教師將所教的整個(gè)學(xué)段甚至整個(gè)初等數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，其囊括的數(shù)學(xué)知識(shí)必定涉及多個(gè)知識(shí)模塊，并且這樣的大單元教學(xué)的實(shí)施也需要遵循 “螺旋式課程”的方式，將單元任務(wù)和單元目標(biāo)分散于每個(gè)學(xué)段、每個(gè)學(xué)期、每個(gè)課時(shí)中去實(shí)現(xiàn)，因此這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)是最難的，但也是最有意義的，最接近我們數(shù)學(xué)教育的根本目的。

以設(shè)計(jì)“初中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)單元”為例。首先其目的是讓學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)建模的基本思路，并且能夠熟練應(yīng)用幾個(gè)數(shù)學(xué)模型解決生活中的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，發(fā)展其模型思想和應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。初中階段主要應(yīng)用到的數(shù)學(xué)模型包括方程、不等式和函數(shù)。因此，教師可以嘗試將初中階段涉及的所有方程、不等式和函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)進(jìn)行統(tǒng)一設(shè)計(jì)：在該單元的第一課時(shí)就介紹數(shù)學(xué)建模思維和基本步驟，然后在后續(xù)的所有內(nèi)容的教學(xué)中繼續(xù)滲透建模思想，讓學(xué)生體會(huì)、理解直至掌握數(shù)學(xué)建?；痉绞剑罱K形成數(shù)學(xué)建模思維和素養(yǎng)。

總之，數(shù)學(xué)核心知識(shí)和基本技能主線單元重視基本原理的學(xué)習(xí)，重點(diǎn)顯現(xiàn)知識(shí)的關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)，使學(xué)生能夠更好地理解數(shù)學(xué)，更好地記憶以及進(jìn)行知識(shí)的重建和再生。數(shù)學(xué)思想方法和核心素養(yǎng)主線單元重視思想方法和素養(yǎng)的形成，能使學(xué)生更容易進(jìn)行知識(shí)的遷移應(yīng)用，能夠彌補(bǔ)縮小“高級(jí)”知識(shí)與“低級(jí)”知識(shí)之間的差距，從容應(yīng)對(duì)難度增加后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及新問(wèn)題的解決。項(xiàng)目式問(wèn)題主線單元重視提出問(wèn)題和解決問(wèn)題，提升學(xué)生遷移能力及綜合解決問(wèn)題的能力。對(duì)于以上五種設(shè)計(jì)方式，教師需要根據(jù)自己教學(xué)中存在的問(wèn)題，選擇合適的單元教學(xué)方式進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐。