L2空間中復(fù)合算子乘積的基本性質(zhì)

周澤華, 蘆慧強(qiáng), 周 航

(1. 天津大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 天津 300350; 2. 天津城建大學(xué) 理學(xué)院, 天津 300384)

復(fù)合算子理論是線性算子理論的一個(gè)重要分支，該理論有將近六十年的歷史. 復(fù)合算子理論研究的開端可以追溯到1968年E.Nordgren的研究[1]，但該理論自1987年才被學(xué)者們大量研究. 其中單位圓盤上不同解析函數(shù)空間上的復(fù)合算子以及加權(quán)復(fù)合算子在過去的幾十年中被學(xué)者們廣泛研究.關(guān)于解析函數(shù)空間上的復(fù)合算子理論，詳情參見由Cowen和Maccluer所寫的著名書籍[2].

復(fù)合算子理論還有另一研究分支，即定義在σ-有限的L2空間上的復(fù)合算子理論.該理論也是線性算子理論的一個(gè)重要分支，在遍歷理論[3]中起到重要作用.L2空間上的有界復(fù)合算子，首先由Nordgren[4]在1978年所研究，并逐步形成了完整的理論體系.在這一體系中，包含了L2空間上有界復(fù)合算子的正規(guī)性、次正規(guī)性、半正規(guī)性等重要性質(zhì).這些性質(zhì)至今仍為學(xué)者們的研究重點(diǎn).

下面簡單介紹這一理論體系：令(X,A,μ)是一個(gè)σ-有限的測度空間.由所有平方可積的復(fù)值函數(shù)構(gòu)成的Hilbert空間，通常用符號L2(X,A,μ)表示, 簡寫L2(μ).一個(gè)X到自身的映射φ:X→X通常被稱為X上的變換.

本文稱φ:X→X是一個(gè)A-可測的變換如果φ-1(A)?A,其中φ-1(A)={φ-1(Δ):Δ∈A}.

令μ°φ-1表示σ-代數(shù)A上的測度.它的定義由如下表達(dá)式給出

μ°φ-1(Δ)=μ(φ-1(Δ))

其中：Δ∈A.本文稱φ:X→X是集合X上的一個(gè)非奇異變換如果μ°φ-1關(guān)于μ是絕對連續(xù)的，即

μ°φ-1?μ

對于一個(gè)非奇異變換φ,復(fù)合算子Cφ:D(Cφ)→L2(μ)被定義為

Cφf=f°φ,f∈D(Cφ)

其中:D(Cφ)={f∈L2(μ):f°φ∈L2(μ)}表示Cφ的定義域.

本文斷言：若復(fù)合算子Cφ是良好定義的，則變換φ是非奇異的.事實(shí)上，這個(gè)論斷容易得出，詳情見文獻(xiàn)[5]中命題7.

Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)在測度論中具有重要的理論意義，它可以被著名的Radon-Nikodym定理所證得.具體過程見文獻(xiàn)[6]中的定理4.2.4,文獻(xiàn)[7]中的定理2.2.1或者第二節(jié).

如下構(gòu)造是研究L2空間上復(fù)合算子理論的基本工具.

假設(shè)變換φ是非奇異的. 由Radon-Nikodym定理，存在一個(gè)A-可測的正函數(shù)(在忽略零測集的意義下)hφ:X→[0,∞]滿足:

因此，由文獻(xiàn)[7]中的定理 1.6.21和文獻(xiàn)[8]中的定理 1.29，可知：

顯然，f°φ∈L1(μ)當(dāng)且僅當(dāng)fhφ∈L1(μ).且復(fù)合算子Cφ的定義域?yàn)?/p>

D(Cφ)=L2((1+hφ)dμ)

對固定的正整數(shù)n≥2，假設(shè)φ1,φ2,…,φn都是集合X上的非奇異變換.易知，φ1°φ2°…φn是非奇異的，如果φ1,φ2,…,φn都是X上的非奇異變換.

且乘積算子Cφn…Cφ1的定義域?yàn)?/p>

此外，由

D(Cφ1°φ2°…°φn)=L2((1+hφ1°φ2°…°φn)dμ)

可以推得復(fù)合算子Cφ1°φ2…°φn是乘積算子Cφn…Cφ1的一個(gè)延拓算子(關(guān)于延拓算子的定義參見文獻(xiàn)[9]的4.1節(jié)).該延拓關(guān)系常被記為Cφn…Cφ1?Cφ1°φ2…°φn.

對于一個(gè)給定的單位圓盤的解析自映射φ，一些單位圓盤上的解析函數(shù)空間上復(fù)合算子的有界性是被廣為人知的，例如經(jīng)典函數(shù)空間Hardy空間，Bergman空間和Bloch上復(fù)合算子是自然有界的.因此，這樣的函數(shù)空間上的乘積算子Cφn…Cφ1與復(fù)合算子Cφ1°φ2°…°φn是沒有本質(zhì)區(qū)別的然而L2空間上的的乘積算子和復(fù)合算子卻有著本質(zhì)的不同.

L2(μ)空間上的有界復(fù)合算子Cφ1°φ2°…φn的正規(guī)性與擬正規(guī)性被Whitley在文獻(xiàn)[10]中完整闡述.然而，關(guān)于L2(μ)空間上的有界乘積算子Cφn…Cφ1的研究卻極為稀少.目前僅在文獻(xiàn)[11]中可以找到一些基本結(jié)論.

為了彌補(bǔ)該問題的理論缺口，本文給出L2(μ)空間上乘積算子Cφn…Cφ1的一些性質(zhì).

為了避免重復(fù)文字，做出如下假設(shè)并簡記該假設(shè)為(AS). 該假設(shè)條件將在本文中多次出現(xiàn).

1 L2(μ)上復(fù)合算子的基本性質(zhì)

為了方便描述，先給出如下記號.

1) 在本文中，(X,A,μ)總表示一個(gè)σ-有限的測度空間，L2(X,A,μ)總被簡記為L2(μ).此外，1代表示性函數(shù)χX.

2) 本文用符號N,Z+和R+分別表示正整數(shù)集，非負(fù)整數(shù)集和非負(fù)實(shí)數(shù)集.記

3) 對任意給定的m∈N，記

Jm={k∈N:k≤m}

4)對給定的X的子集Δ,Δm,m∈N，本文用“ΔmΔasm→∞”表示：對每個(gè)m∈N和有Δm?Δm+1.類似地，對于給定的函數(shù)本文用“fmfasm→∞”表示：對任意的x∈X，{fm(x)}m單調(diào)增加且收斂于f(x).

7) 對集合X的任意子集Δ1和Δ2，記

Δ1△Δ2=(Δ1Δ2)∪(Δ2Δ1)

8) 對于給定的n∈N，假設(shè)φ1,φ2,…,φn都是集合X上的非奇異變換.對任意k∈Jn，記

關(guān)于乘積算子Cφn…Cφ1，如下結(jié)論直接由文獻(xiàn)[11]的命題3.2和命題4.1得出.

1)Cφn…Cφ1是closable的，但Cφ1°φ2°…°φn是閉的.

2)Cφn…Cφ1是稠定算子當(dāng)且僅當(dāng)對任意1≤k≤n，Cφ1°φ2°…φk都是稠定算子.

3) 若Cφn-1…Cφ1是稠定算子，則對任意k=1,2,…,n，有

5) 一般地，不能由Cφn…Cφ1=Cφ1°φ2…°φn是稠定算子，推得Cφ1,Cφ2,…,Cφn也都是稠定算子.文獻(xiàn)[2]中的例5.3是另一個(gè)典型反例.該例給出了Cφ1°φ2是稠定算子，但Cφ1卻非稠定算子.

關(guān)于乘積算子Cφn…Cφ1的更多性質(zhì)，參見文獻(xiàn)[11]的第四節(jié).

對任意的k∈Jn,令Nk={x∈X:hΦk(x)=0}.

如下命題給出了乘積算子Cφn…Cφ1的內(nèi)射性.

命題1假設(shè)(AS)成立，則有

證明只需注意到對任意k∈Jn，有

命題2假設(shè)(AS)成立，則如下命題等價(jià):

1) N(Cφn…Cφ1)={0}.

3)χNk°Φk=χNka.e.[μ]，其中k∈Jn.

此外，若Cφ1,Cφ2,…,Cφn都是稠定算子，則1)～3)等價(jià)于如下命題

4) N(Cφk…Cφ1)?N((Cφk…Cφ1)*).

證明2)?3):假設(shè)2)成立.由Φk的非奇異性，有

進(jìn)而有

因此3)成立.

假設(shè)3)成立.則有

由此可以推出2)是成立的.

XmX

其中:μ(Xm)<∞，m∈N且對任意μ-a.e.x∈Xm與m∈N，有

因此，

χXm,χNk∩Xm∈D(Cφk…Cφ1)

其中:m∈N.由于χNk∩Xm∈N(Cφk…Cφ1)，由4)得知，對任意m∈N，有

注意到當(dāng)m→∞時(shí)，

再由μ的連續(xù)性，2)得證.

此外，1)和2)的等價(jià)性可以由命題1和1)?4)的證明過程得出，證畢.

回顧：若算子T是hyponormal的，則有

N(T)?N(T*)

因此得到如下推論:

推論1假設(shè)(AS)成立，則如下命題成立：

1) 若Cφn…Cφ1是hyponormal算子，則

N(Cφn…Cφ1)={0}

2) 若Cφn…Cφ1是cohyponormal算子，則

N((Cφn…Cφ1)*)={0}

3) 若Cφn…Cφ1是formally正規(guī)算子，則

D(Cφn…Cφ1)∩D((Cφn…Cφ1)*)={0}

4) 若Cφn…Cφ1是正規(guī)算子，則

N(Cφn…Cφ1)=N((Cφn…Cφ1)*)={0}

命題3假設(shè)(AS)成立. 則對任意k∈Jn，有hΦk°Φk>0 a.e.[μ].此外，若對任意k∈Jn，hΦk°Φk=hΦka.e.[μ]，則

N(Cφn…Cφ1)=0

2 L2(μ)上乘積算子Cφn…Cφ1的有界性

Nordgren[4]給出了L2(μ)空間上復(fù)合算子有界性證明的原始方法.

定理1假設(shè)(AS)成立. 則乘積算子Cφn…Cφ1是有界的當(dāng)且僅當(dāng)對任意k∈Jn

hΦk∈L∞(μ)

(1)

成立.

證明注意到：Cφn…Cφ1是有界的當(dāng)且僅當(dāng)對任意k∈Jn，Cφk…Cφ1都是有界的.

必要性: 式(1)顯然是Cφn…Cφ1有界的必要條件.

充分性:假設(shè)Cφn…Cφ1是有界的.則對任意k∈Jn，Cφk…Cφ1是有界的.因?yàn)閷θ我鈑∈Jn，有

這也就推出

注1假設(shè)(AS)成立.由定理1，可以由Cφn…Cφ1的有界性推出Cφ1°φ2°…°φn的有界性.反之不然.

3 L2(μ)上的Cφn…Cφ1的伴隨算子

為了給出Cφn…Cφ1的伴隨算子，先給出如下引理：

引理 2若f,g:X→C是A-可測函數(shù)滿足f∈Lp(μ)且g°Φn∈Lq(μ)，則

引理3假設(shè)(AS)成立且對任意j∈Jn，有hφn<∞a.e.[μ].

1)EΦn(f)=g°Φn·χhΦjhφj+1…h(huán)φn>0a.e.[μ].

定理2假設(shè)(AS)成立且Cφn…Cφ1是稠定算子，則如下命題成立:

1) D((Cφn…Cφ1)*)={f∈L2(μ):

2) 對任意f∈D((Cφn…Cφ1)*)，有

且

3) N((Cφn…Cφ1)*)={f∈L2(μ):EΦn(f)=0 a.e.[μ]}.

證明總假定k是集合Jn中的整數(shù)，在此不再贅述.

首先注意到

對任意函數(shù)f∈L2(μ),g∈D((Cφk…Cφ1)*),顯然有

EΦk(f),Cφk…Cφ1(g)∈L2(μ)

根據(jù)引理2和文獻(xiàn)[5]中的式(11)，有

(2)

證明對任意函數(shù)f∈D(Cφk…Cφ1)*，有

對任意g∈D(Cφk…Cφ1)，

g=χΔ∩Xm∈D(Cφk…Cφ1)

根據(jù)引理1，有

a. e.[μ]于集合Xm上，其中m∈N.因此，它也成立于集合X上，推出1).

因此，由文獻(xiàn)[5]中的引理2，有EΦn(f)=0 a.e.[μ].

反之，對任意函數(shù)f∈{f∈L2(μ):EΦn(f)=0 a.e.[μ]}，有

由1)得，f∈N((Cφn…Cφ1)*)，證明3)證畢.