與Hermite-Hadamard不等式有關的兩個函數(shù)生成的不等式

時統(tǒng)業(yè)

（海軍指揮學院，江蘇 南京 211800）

1 引言和引理

對于[a,b]上的凸函數(shù)f若

則式（1）稱為Hermite-Hadamard不等式. 關于Hermite-Hadamard不等式的改進推廣和加細可見文獻[1-18].

定義1設f:[a,b]→R，如果存在常數(shù)M，使得對于任意x1,x2∈[a,b]，有f(x1) -f(x2)≤M x1-x2，則稱f是[a,b]上的M- Lipschitz 函數(shù).

文[4]引入了兩個可以加細Hermite-Hadamard不等式左邊部分的定義在[0,1]上的函數(shù)，文[6]對于Lipshitz函數(shù)研究了涉及這兩個函數(shù)的不等式，文[12]給出了一個Hermite-Hadamard不等式的推廣：

其中f是[a,b]上的凸函數(shù)，p∈(0,1).

文[17]證明了當f是定義在[a,b]上的M- Lipschitz 函數(shù)時，F(xiàn)(t)是函數(shù)，特別地有

本文將建立一些不等式，包括不等式（2～4）的加強. 在證明雙邊不等式時，因為當f是定義在[a,b]上的M- Lipschitz 函數(shù)時，( -f)也是定義在[a,b]上的M- Lipschitz 函數(shù)，在證明了右邊不等式之后對( -f)應用已證結果則左邊不等式也得證，所以我們只證明右邊不等式.

2 主要結果

定理1設f是定義在[a,b]上的M- Lipschitz 函數(shù)，則對任意t∈(0,1)有

推論1設f是定義在[a,b]上的M- Lipschitz函數(shù)，則對任意t∈(0,1)有

將式（11）與式（13）相加，則式（9）從右邊數(shù)起的第二個不等式得證. 又由函數(shù) x2的凸性，式（9）的右邊第一個不等式得證.

定理3 設f是定義在[a,b]上的 M- Lipschitz函數(shù)，則對任意t∈[0,1)有

證明 對任意常數(shù) ε∈[ 0 ,b-a]，有

對任意常數(shù) ε∈[(b-a)]，有

對任意常數(shù) ε∈[ 0 ,b-a]，有

綜上所述，對任意常數(shù) ε∈[(b-a)]，有

注1在式（14）中取t=0可知式（16）當t=1也成立.

推論2設f是定義在[a,b]上的M- Lipschitz 函數(shù)，則對任意t∈[0,1]有

注2由定理2的式（9）及定理3的式（14）可知對任意t1,t2∈ [ 0,1]， 0 ≤t1＜t2≤ 1，有