匹配多目標(biāo)參數(shù)的地震動(dòng)合成方法

胡進(jìn)軍，靳超越，張 輝，胡 磊，王中偉

(中國(guó)地震局工程力學(xué)研究所，地震局地震工程與工程振動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150080)

在工程地震研究中如何得到場(chǎng)地相關(guān)的地震動(dòng)一直受到研究者的廣泛關(guān)注。人工合成地震動(dòng)可為地震動(dòng)記錄匱乏地區(qū)的地震危險(xiǎn)性分析和結(jié)構(gòu)抗震分析、性能評(píng)估提供輸入。1947 年Housner[1]從工程研究的角度將地震動(dòng)視作大小一定、隨機(jī)到達(dá)的脈沖的疊加來(lái)模擬地震動(dòng)開(kāi)始，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)地震動(dòng)合成方法進(jìn)行了研究，也提出了多種滿足部分地震動(dòng)統(tǒng)計(jì)特征，如功率譜、傅氏譜、反應(yīng)譜等的人造地震動(dòng)方法。目前地震動(dòng)的合成方法主要分為三種：一是以直接運(yùn)用地震動(dòng)三要素與震源、路徑和場(chǎng)地的關(guān)系為基礎(chǔ)的經(jīng)驗(yàn)方法，如比例法、經(jīng)驗(yàn)格林函數(shù)法[2-3]；二是采用隨機(jī)振動(dòng)模型的地震動(dòng)合成方法，如脈沖法、隨機(jī)點(diǎn)源法、隨機(jī)有限斷層法[4-6]；三是采用考慮強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)的地震動(dòng)合成方法，如各種時(shí)頻非平穩(wěn)合成、相位譜、相位差譜、三角級(jí)數(shù)法等[7-12]。

在工程中應(yīng)用最廣泛的則是擬合目標(biāo)反應(yīng)譜的地震動(dòng)時(shí)程合成方法，以合成時(shí)程的反應(yīng)譜與給定的目標(biāo)反應(yīng)譜相等或相近為控制條件。但是，僅以匹配目標(biāo)譜為控制條件會(huì)一定程度上得到不唯一的合成地震動(dòng)時(shí)程，而且這些合成地震動(dòng)由于缺乏更多的約束條件，基于此進(jìn)行時(shí)程分析可能會(huì)增加結(jié)構(gòu)響應(yīng)的離散性和不確定性。究其原因，反應(yīng)譜雖然可以反映地震動(dòng)幅值和頻譜的特性，但是對(duì)地震動(dòng)三要素中的持時(shí)并沒(méi)有體現(xiàn)。作為地震動(dòng)三要素之一的持時(shí)對(duì)于結(jié)構(gòu)的響應(yīng)有重要的影響[13-14]，Bommer 等[15]認(rèn)為地震發(fā)生過(guò)程中的強(qiáng)震持續(xù)時(shí)間對(duì)于基礎(chǔ)材料和結(jié)構(gòu)響應(yīng)有著重要的影響，特別是在強(qiáng)度和剛度退化時(shí)。因此，地震危險(xiǎn)性分析也應(yīng)該包括對(duì)強(qiáng)震持時(shí)的估計(jì)。Mahin[16]也指出地震動(dòng)持續(xù)時(shí)間對(duì)結(jié)構(gòu)的彈性變形和耗能需求有顯著影響，尤其是對(duì)于相對(duì)薄弱的短周期結(jié)構(gòu)。Cabanias 等[17]指出使用同時(shí)考慮振幅和持時(shí)的響應(yīng)參數(shù)可以更好的估計(jì)結(jié)構(gòu)的潛在損傷。

地震動(dòng)的幅值、頻譜及持時(shí)等特征主要受到震源、路徑和場(chǎng)地條件影響和控制。研究表明不同地震構(gòu)造區(qū)域的地震動(dòng)的幅值、頻譜和持時(shí)存在區(qū)域性差異[18]，因此，在合成和模擬場(chǎng)地相關(guān)地震動(dòng)時(shí)，應(yīng)該通過(guò)約束幅值、頻譜和持時(shí)這些工程相關(guān)的主要參數(shù)，以期使得合成的地震動(dòng)中包含地震動(dòng)的區(qū)域特征?；诖?，本研究的目的是建立同時(shí)匹配設(shè)定區(qū)域地震動(dòng)目標(biāo)反應(yīng)譜和持時(shí)參數(shù)的地震動(dòng)合成方法。一方面，這樣合成的地震動(dòng)可以綜合的考慮到地震動(dòng)三要素中的幅值、頻譜和持時(shí)特征；另一方面，增加地震動(dòng)持時(shí)的合成控制條件可以在實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)反應(yīng)譜匹配的基礎(chǔ)上，為研究輸入地震動(dòng)持時(shí)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響提供基礎(chǔ)。

近年來(lái)機(jī)器學(xué)習(xí)方法被多個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[19-21]。地震學(xué)是一個(gè)數(shù)據(jù)密集型領(lǐng)域，目前正在經(jīng)歷著大數(shù)據(jù)界中體量、種類、速度的快速變化[22-24]，這些變化為基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的機(jī)器學(xué)習(xí)在地震學(xué)中的應(yīng)用提供了條件。Khosravikia 等[25]開(kāi)發(fā)了一種人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于美國(guó)俄克拉荷馬州等地區(qū)的自然和誘發(fā)地震的地震動(dòng)預(yù)測(cè)模型；Kotha 等[26]在對(duì)日本活動(dòng)性淺源地震的地震動(dòng)預(yù)測(cè)模型回歸分析的基礎(chǔ)上，利用無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)中的聚類技術(shù)對(duì)代表各個(gè)場(chǎng)地的經(jīng)驗(yàn)放大函數(shù)的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行了分類，進(jìn)而提出了一種修正的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的場(chǎng)地分類方法；Alimoradi 等[27]開(kāi)發(fā)了一種將一組稀疏的被稱作特征地震記錄的標(biāo)準(zhǔn)正交基向量進(jìn)行線性組合合成地震動(dòng)的方法，其組合系數(shù)是匹配由高斯過(guò)程回歸得到設(shè)定情景下的反應(yīng)譜確定。這些研究表明，機(jī)器學(xué)習(xí)具有很好的數(shù)據(jù)分析處理能力，可以為解決復(fù)雜的地震動(dòng)模擬和合成問(wèn)題提供新的思路。

為了在地震動(dòng)合成中考慮地震動(dòng)幅值、頻譜和持時(shí)的特征[28]，將地震動(dòng)數(shù)據(jù)與機(jī)器學(xué)習(xí)相結(jié)合，運(yùn)用智能算法尋優(yōu)求解實(shí)現(xiàn)。本文首先應(yīng)用主成分分析[27,29-31]從區(qū)域地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)中提取具有本區(qū)域地震動(dòng)特征的地震動(dòng)母波，為了實(shí)現(xiàn)合成的地震動(dòng)能夠同時(shí)考慮地震動(dòng)幅值、頻譜和持時(shí)特征，選擇同時(shí)匹配目標(biāo)反應(yīng)譜和目標(biāo)持時(shí)。采用多目標(biāo)遺傳算法求解地震動(dòng)母波的線性組合系數(shù)并且給出合成地震動(dòng)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)控制合成效果，從最優(yōu)解集中篩選出最合理的母波組合系數(shù)用于合成地震動(dòng)。以2019 年中國(guó)四川長(zhǎng)寧Ms6.0地震的主余震數(shù)據(jù)作為區(qū)域地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)，對(duì)本文方法進(jìn)行了可行性和有效性的驗(yàn)證，最后將本文方法同三角級(jí)數(shù)法進(jìn)行了對(duì)比。

1 基于PCA 和MOP 的地震動(dòng)合成方法

1.1 主成分分析方法

為了在合成地震動(dòng)時(shí)考慮地震動(dòng)區(qū)域特征，需要對(duì)大量原始地震動(dòng)數(shù)據(jù)的特征進(jìn)行提取，這實(shí)質(zhì)上就是數(shù)據(jù)降維。數(shù)據(jù)降維主要有投影和流行學(xué)習(xí)兩種常用的方法。主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)是基于投影的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)線性數(shù)據(jù)降維和去除相關(guān)性的一種方法，其在數(shù)量地理學(xué)、數(shù)學(xué)建模和數(shù)理分析等學(xué)科領(lǐng)域中都有廣泛應(yīng)用。本文將PCA 算法引入對(duì)地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)的降維處理中，提取表征數(shù)據(jù)庫(kù)主要特征成分的特征地震動(dòng)母波，將這些特征地震動(dòng)母波用于合成地震動(dòng)時(shí)程。PCA 算法的核心是先識(shí)別出最接近數(shù)據(jù)的超平面，然后，將數(shù)據(jù)投影到該超平面之上，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)降低數(shù)據(jù)向量的維度并去除掉各個(gè)分量之間的相關(guān)性。目標(biāo)超平面的識(shí)別可以轉(zhuǎn)化為如何得到投影矩陣。該問(wèn)題是通過(guò)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)算法來(lái)實(shí)現(xiàn)的，這與其他機(jī)器學(xué)習(xí)算法的思路是一致的。

以一個(gè)包含N條地震動(dòng)記錄的數(shù)據(jù)集為例來(lái)說(shuō)明PCA 方法的應(yīng)用原理。該地震動(dòng)數(shù)據(jù)集可視為一個(gè)擁有N個(gè)維度的數(shù)據(jù)空間，則可以通過(guò)N個(gè)兩兩互相垂直坐標(biāo)軸上的單位向量的線性組合來(lái)表示數(shù)據(jù)空間中的任意一條地震動(dòng)記錄。將整個(gè)數(shù)據(jù)集投影到第i個(gè)的單位向量所在坐標(biāo)軸上后就稱為該投影結(jié)果是第i個(gè)主成分，即第i條特征地震動(dòng)母波，且這些用于投影的坐標(biāo)軸排序是按照數(shù)據(jù)空間向本軸單獨(dú)投影后保留數(shù)據(jù)差異性的大小確定。具體對(duì)地震動(dòng)數(shù)據(jù)集應(yīng)用PCA 算法的降維流程如下：

1)計(jì)算N維實(shí)際地震動(dòng)記錄數(shù)據(jù)集的均值向量，將所有向量減去各自的均值向量，即白化處理；

2)計(jì)算數(shù)據(jù)集的散度矩陣S(或協(xié)方差矩陣C)；

3)對(duì)散度矩陣進(jìn)行特征值分解，利用奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)，得到所有的特征值和特征向量；

4)將所得特征值按從大到小排序，保留最大一部分的K個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，以它們?yōu)榱校纬山稻S所需的投影矩陣；

5)將白化后的數(shù)據(jù)庫(kù)矩陣右乘投影矩陣，得到降維后全新的正交特征地震動(dòng)數(shù)據(jù)，即為特征地震動(dòng)母波。

對(duì)于選擇降維后的維度K(即特征地震動(dòng)母波個(gè)數(shù))，可以用SVD 分解時(shí)產(chǎn)生的散度矩陣S來(lái)表示。利用式(1)計(jì)算可得滿足誤差條件最小的K值，若其中t值取0.15，則代表了該P(yáng)CA 算法保留了原數(shù)據(jù)85%的主要信息，從而可以確定該允許誤差下的提取的最少特征地震動(dòng)母波數(shù)。具體t的取值可根據(jù)對(duì)誤差的要求確定，由此選擇不同的K值。

1.2 合成系數(shù)的控制條件

在得到特征地震動(dòng)母波的基礎(chǔ)上，需要考慮合成地震動(dòng)時(shí)各條母波的對(duì)應(yīng)系數(shù)的取值問(wèn)題。不同于傳統(tǒng)的合成地震動(dòng)時(shí)程只考慮目標(biāo)反應(yīng)譜的匹配，本文從多參數(shù)的角度約束合成地震動(dòng)時(shí)程。工程輸入中地震動(dòng)的特征參數(shù)一般包括幅值、頻譜和持時(shí)。地震動(dòng)的反應(yīng)譜可以體現(xiàn)地震動(dòng)的幅值和頻譜兩方面的特征，而地震動(dòng)持時(shí)是結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析中的重要參數(shù)。在結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的彈性階段，循環(huán)往復(fù)的地震作用可能引起構(gòu)件的低周疲勞，而在結(jié)構(gòu)進(jìn)入非彈性階段后，持時(shí)的長(zhǎng)短可能對(duì)結(jié)構(gòu)反應(yīng)、殘余變形和倒塌存在重要影響[32]。因此，需要引入地震動(dòng)持時(shí)作為約束合成的地震動(dòng)時(shí)程的控制條件。

1.2.1 合成地震動(dòng)的評(píng)價(jià)函數(shù)

為了對(duì)持時(shí)進(jìn)行約束，首先需要選擇適合目標(biāo)地區(qū)的地震動(dòng)持時(shí)預(yù)測(cè)方程，進(jìn)而得到目標(biāo)地震動(dòng)持時(shí)，記為d5-95，新合成地震動(dòng)的持時(shí)記為D5-95。持時(shí)項(xiàng)誤差絕對(duì)值為：

1.2.2 合成地震動(dòng)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

為了對(duì)上述合成地震的兩項(xiàng)誤差給出一個(gè)合理的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)于地震動(dòng)預(yù)測(cè)模型(GMPE)，均采用式(4)和式(5)中的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)篩選出合成的地震動(dòng)時(shí)程。

在評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)中，以地震動(dòng)反應(yīng)譜和持時(shí)預(yù)測(cè)方程中給出的標(biāo)準(zhǔn)差σ 為評(píng)價(jià)條件，合成反應(yīng)譜在各控制周期點(diǎn)與目標(biāo)反應(yīng)譜譜值之差的絕對(duì)值小于一倍的反應(yīng)譜衰減關(guān)系中的標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，視為合成地震動(dòng)反應(yīng)譜與目標(biāo)反應(yīng)譜良好匹配；對(duì)于地震動(dòng)持時(shí)也以一倍的標(biāo)準(zhǔn)差為控制值來(lái)判斷合成地震動(dòng)持時(shí)的匹配效果。

1.3 確定合成系數(shù)

為了將PCA 算法提取出的特征地震動(dòng)母波線性組合得到合成地震動(dòng)，需要確定組合系數(shù)。由于目標(biāo)評(píng)價(jià)函數(shù)增加，傳統(tǒng)上用于求解評(píng)價(jià)函數(shù)最優(yōu)化解的單目標(biāo)優(yōu)化算法(SOP)已不再適用，而選擇多目標(biāo)優(yōu)化算法(MOP)中最常用的多目標(biāo)遺傳算法來(lái)求解合成系數(shù)。其核心是協(xié)調(diào)各個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系，從而得到使各子目標(biāo)函數(shù)都盡可能達(dá)到最優(yōu)的最優(yōu)解集，這不同于單目標(biāo)優(yōu)化的解通常唯一，多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的解是一組均衡解集。在應(yīng)用算法得到一系列合成系數(shù)解集后，通過(guò)設(shè)定的評(píng)價(jià)函數(shù)指標(biāo)篩選出最滿意的一組合成系數(shù)。

多目標(biāo)遺傳算法中的帶精英策略的非支配排序遺傳算法(NSGA-II)是2000 年Deb 等[33]為改進(jìn)NSGA 而提出的。由于改進(jìn)后的二代算法引入了快速非支配排序法、精英策略、采用擁擠度和擁擠度比較算子使得算法的計(jì)算復(fù)雜度大大降低，計(jì)算結(jié)果在Pareto 域中均勻分布，維持了種群的多樣性。具體算法流程如下，并以流程框圖1說(shuō)明該優(yōu)化算法對(duì)于合成控制函數(shù)的優(yōu)化過(guò)程：

圖1 多目標(biāo)遺傳算法流程圖Fig. 1 Flow chart of multi-objective genetic algorithm

1)隨機(jī)產(chǎn)生設(shè)定規(guī)模N的初始種群，經(jīng)非支配排序后通過(guò)遺傳算法的選擇、交叉、變異后得到第一代子代種群；

2)從第二代開(kāi)始，將父代與子代種群合并，進(jìn)行快速非支配排序，同時(shí)計(jì)算每個(gè)非支配層中的個(gè)體的擁擠度，根據(jù)非支配關(guān)系以及個(gè)體擁擠度選取合適的個(gè)體組成新的父代種群；

3)最后通過(guò)遺傳算法的基本操作產(chǎn)生新子代種群：循環(huán)上述3 個(gè)步驟，直到達(dá)到終止代數(shù)，輸出最優(yōu)解集。

1.4 地震動(dòng)合成整體流程

本文提出的合成方法是應(yīng)用PCA 技術(shù)從區(qū)域地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)中提取地震動(dòng)母波，在合成中考慮了對(duì)目標(biāo)反應(yīng)譜和顯著持時(shí)進(jìn)行同時(shí)匹配，使用多目標(biāo)遺傳算法確定出母波的線性組合系數(shù)得到最終的合成地震動(dòng)。合成的整體流程見(jiàn)圖2。

圖2 地震動(dòng)合成流程圖Fig. 2 Flow chart of ground motion synthesis method

2 方法驗(yàn)證

2019 年6 月17 日在四川省東南部的宜賓市長(zhǎng)寧縣發(fā)生了Ms6.0 級(jí)地震。在震后的幾日內(nèi)，震源附近接連發(fā)生了多次的強(qiáng)余震，我國(guó)強(qiáng)震臺(tái)網(wǎng)觀測(cè)到了此次群震的大量地震動(dòng)[34]。對(duì)于長(zhǎng)寧地震這類數(shù)據(jù)特征明顯且記錄豐富的數(shù)據(jù)，應(yīng)用PCA技術(shù)提取的特征母波可以在滿足設(shè)定的誤差條件下，代表整個(gè)主余震地震序列中的主要特征信息。通過(guò)對(duì)長(zhǎng)寧地震動(dòng)的合成和比較可以驗(yàn)證本方法的可行性和有效性。

2.1 地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)

本文收集了此次長(zhǎng)寧地震的主震及其4 級(jí)以上余震的記錄作為地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)，具體的地震信息見(jiàn)表1。數(shù)據(jù)庫(kù)包含9 次地震事件中，來(lái)自69 個(gè)臺(tái)站的286 條水平向地震記錄，并采用Boore 等[35]提出的方法對(duì)地震動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行了濾波和基線調(diào)整。

表1 長(zhǎng)寧主余震信息Table 1 Changning mainshock-aftershock events

2.2 地震動(dòng)母波的提取

首先按式(1)計(jì)算確定提取的地震動(dòng)母波數(shù)目，為了使地震動(dòng)母波能夠保留數(shù)據(jù)集中95%的主要信息，t取值為0.05，通過(guò)計(jì)算得到滿足誤差條件的最小K值為11。在數(shù)據(jù)庫(kù)中提取按照保留信息占比大小進(jìn)行排名后的前11 條地震動(dòng)母波。表2 中給出了提取的地震動(dòng)母波對(duì)原始數(shù)據(jù)庫(kù)信息保留占比情況，圖3 給出了排名前八位的地震動(dòng)母波時(shí)程和時(shí)頻特征，從圖3 中可以看出提取到的地震動(dòng)母波與實(shí)際地震動(dòng)記錄的時(shí)域和頻域非平穩(wěn)特性相似，這一特征使地震動(dòng)母波適合作為一組基向量用于地震動(dòng)合成。

圖3 排名前8 的地震動(dòng)母波Fig. 3 Top 8 mother wave ground motions

表2 提取的地震動(dòng)母波保留信息占比Table 2 Proportion of information retained by extracted ground motion mother waves

2.3 地震動(dòng)預(yù)測(cè)模型

盡管從實(shí)際地震動(dòng)數(shù)據(jù)中提取而來(lái)的地震動(dòng)母波包含了區(qū)域地震動(dòng)的特征信息，但是直接采用提取的母波合成地震動(dòng)并不能考慮震級(jí)、距離和場(chǎng)地等因素的約束，為了考慮這些區(qū)域地震相關(guān)因素對(duì)地震動(dòng)幅值、頻譜和持時(shí)的影響，需要在合成地震動(dòng)時(shí)程對(duì)地震動(dòng)的工程相關(guān)參數(shù)加以約束，使得合成地震動(dòng)能夠與區(qū)域?qū)嶋H地震動(dòng)特征很好的匹配。

四川長(zhǎng)寧地震發(fā)生于我國(guó)西部，因此需要選取適合于此地區(qū)的中國(guó)西部地區(qū)地震動(dòng)模型[36]，以及基于我國(guó)強(qiáng)震動(dòng)數(shù)據(jù)建立的地震動(dòng)持時(shí)預(yù)測(cè)方程[37]。通過(guò)設(shè)定地震情景，利用反應(yīng)譜和持時(shí)地震動(dòng)模型分別計(jì)算得到目標(biāo)反應(yīng)譜和目標(biāo)持時(shí)作為對(duì)長(zhǎng)寧地震進(jìn)行地震動(dòng)合成的約束條件。選用的反應(yīng)譜地震動(dòng)模型和地震動(dòng)持時(shí)模型的具體形式如下：

圖4(a)～圖4(d)中分別給出了長(zhǎng)寧地震記錄在0.01 s、0.20 s、1.00 s 三個(gè)周期點(diǎn)處的反應(yīng)譜值和對(duì)應(yīng)地震動(dòng)模型得到的衰減曲線的對(duì)比，以及實(shí)際地震動(dòng)數(shù)據(jù)的5%～95%顯著持時(shí)同持時(shí)預(yù)測(cè)方程所得預(yù)測(cè)值的對(duì)比。從圖4 中可以看出，選取的兩個(gè)地震動(dòng)模型可以較好預(yù)測(cè)本區(qū)域的實(shí)際地震動(dòng)特征，也反映出了作為合成約束條件的目標(biāo)反應(yīng)譜和持時(shí)選取的合理性。

圖4 長(zhǎng)寧地震地震動(dòng)記錄反應(yīng)譜和持時(shí)與地震動(dòng)預(yù)測(cè)模型對(duì)比Fig. 4 Comparison between response spectra and durations of Changning earthquake and ground motion prediction models

2.4 合成目標(biāo)地震動(dòng)時(shí)程

為了驗(yàn)證合成方法的可行性，采用本文方法合成一條地震動(dòng)并將其與實(shí)際地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)中選取的一條地震動(dòng)記錄進(jìn)行匹配，檢驗(yàn)匹配結(jié)果是否合理。任意選取長(zhǎng)寧地震中的一個(gè)臺(tái)站51NXT，選取的地震動(dòng)信息如下：震級(jí)5.4 級(jí)，震源深度10 km，震中距46.92 km。然后，基于本方法進(jìn)行合成，表3 中給出了合成的地震動(dòng)加速度幅值、反應(yīng)譜、持時(shí)與實(shí)際地震動(dòng)記錄的匹配效果。圖5中為合成的地震動(dòng)與實(shí)際地震記錄的匹配效果和誤差分布圖。圖5(b)中橫縱軸分別表示合成地震動(dòng)的反應(yīng)譜和持時(shí)與地震動(dòng)模型所得目標(biāo)值之間的誤差值，具體計(jì)算采用式(2)和式(3)，圖中分布的每個(gè)散點(diǎn)均代表最優(yōu)解集中的一組母波線性組合系數(shù)，正方形散點(diǎn)代表著在評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)下最終確定的組合系數(shù)。圖5(a)、圖5(c)中的合成地震動(dòng)即為利用該散點(diǎn)所對(duì)應(yīng)組合系數(shù)將母波線性組合得到的結(jié)果。結(jié)合表3 和圖5 可以看出合成地震動(dòng)的峰值加速度和反應(yīng)譜都實(shí)現(xiàn)了同實(shí)際記錄的良好匹配；更重要的是，合成地震動(dòng)的90%顯著持時(shí)與實(shí)際記錄完美匹配，將合成地震的持時(shí)控制到了區(qū)域持時(shí)預(yù)測(cè)模型的目標(biāo)水平。實(shí)現(xiàn)了考慮區(qū)域地震動(dòng)預(yù)測(cè)模型約束的地震動(dòng)合成，可以為工程結(jié)構(gòu)動(dòng)力時(shí)程分析提供體現(xiàn)區(qū)域特征的地震動(dòng)輸入。

圖5 合成地震動(dòng)與實(shí)際地震動(dòng)的比較Fig. 5 Comparison between synthetic ground motion and actual ground motions

表3 合成地震動(dòng)幅值、頻譜和持時(shí)的匹配情況Table 3 Matching of amplitude, spectrum and duration of synthetic ground motion

3 與其他方法的比較

三角級(jí)數(shù)法是工程上廣泛應(yīng)用的合成地震動(dòng)的方法，為了將本文方法與其結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，采用三角級(jí)數(shù)法進(jìn)行地震動(dòng)合成。三角級(jí)數(shù)法合成中采用的地震動(dòng)時(shí)程強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)如式(8)所示。地震動(dòng)包絡(luò)函數(shù)參數(shù)取值根據(jù)霍俊榮[38]建立的回歸式(9)確定。

式中：c為衰減關(guān)系；t1和t2分別是控制平穩(wěn)段首末時(shí)刻；t3是地震動(dòng)持時(shí)。

式中：Ms為地震震級(jí)；D為震中距；ts為地震平穩(wěn)段持續(xù)時(shí)間，t2=t1+ts。

合成地震動(dòng)所需的設(shè)定地震信息以及持時(shí)和反應(yīng)譜匹配情況見(jiàn)表4，圖6 和圖7 分別給出了兩種方法合成的地震動(dòng)時(shí)程、持時(shí)曲線、多目標(biāo)優(yōu)化最優(yōu)解集的誤差分布、反應(yīng)譜的譜形匹配誤差。在同時(shí)滿足對(duì)目標(biāo)反應(yīng)譜和持時(shí)的允許誤差的解集中，篩選出與反應(yīng)譜匹配最佳的一組合成系數(shù)，并以此系數(shù)合成本文方法的地震動(dòng)。

圖6 Ms=5, R=10 km 時(shí)兩種方法合成結(jié)果對(duì)比Fig. 6 Comparison of synthetic results of two methods for Ms=5 and R=10 km

圖7 Ms=6, R=10 km 時(shí)兩種方法合成結(jié)果對(duì)比Fig. 7 Comparison of synthetic results of two methods for Ms=6 and R=10 km

表4 設(shè)定地震下兩種方法持時(shí)和反應(yīng)譜匹配情況Table 4 Matching of duration and response spectrum of two synthesis methods under twoearthquake scenarios

對(duì)比兩種方法合成的地震動(dòng)，從圖6(c)、圖7(c)兩次設(shè)定地震下本文方法的最優(yōu)解集誤差分布上來(lái)看，均存在較多組的系數(shù)組合可以使得合成地震動(dòng)滿足預(yù)先設(shè)定的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。在圖6(c)、圖7(c)中也可以看出單一追求同反應(yīng)譜的匹配會(huì)導(dǎo)致合成地震動(dòng)的持時(shí)與地震動(dòng)持時(shí)預(yù)測(cè)方程得到的目標(biāo)持時(shí)偏差過(guò)大的情況出現(xiàn)，不能在合成地震動(dòng)中很好地約束工程抗震中所關(guān)注的地震動(dòng)持時(shí)，這對(duì)于將合成的地震動(dòng)作為輸入研究結(jié)構(gòu)響應(yīng)會(huì)造成影響。這一結(jié)果在圖6(b)、圖6(d)、圖7(b)、圖7(d)本文方法和三角級(jí)數(shù)法的合成結(jié)果對(duì)比中也可以看出。三角級(jí)數(shù)法考慮通過(guò)與反應(yīng)譜的匹配可以實(shí)現(xiàn)對(duì)地震動(dòng)幅值和頻譜的約束，但不能對(duì)地震動(dòng)持時(shí)參數(shù)進(jìn)行約束。而應(yīng)用本文的地震動(dòng)合成方法在約束條件和評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的控制下，可以很好的將區(qū)域地震動(dòng)預(yù)測(cè)方程所體現(xiàn)的區(qū)域地震動(dòng)特征在合成結(jié)果中體現(xiàn)。

4 結(jié)論與討論

本文提出一種基于機(jī)器學(xué)習(xí)合成考慮區(qū)域地震動(dòng)幅值、頻譜和持時(shí)特征的地震動(dòng)的方法，基于長(zhǎng)寧地震的主余震數(shù)據(jù)對(duì)方法進(jìn)行了驗(yàn)證，并與三角級(jí)數(shù)方法進(jìn)行了對(duì)比。本方法采用了從區(qū)域?qū)嶋H地震動(dòng)中提取的特征地震動(dòng)母波，保留了原始地震動(dòng)的時(shí)頻特征，合成的地震動(dòng)考慮了區(qū)域地震動(dòng)的持時(shí)特征。總結(jié)本文可得如下結(jié)論：

(1)將機(jī)器學(xué)習(xí)中的主成分分析應(yīng)用于從大量實(shí)際地震動(dòng)數(shù)據(jù)中提取地震動(dòng)特征成分是可行的、有效的。以降維提取得到的少量特征地震動(dòng)母波來(lái)代表整個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)的整體特征，反映地震動(dòng)的震源、路徑和場(chǎng)地的綜合效應(yīng)。從母波時(shí)程和時(shí)頻分析中可以看出，特征地震動(dòng)母波與實(shí)際地震動(dòng)的時(shí)頻非平穩(wěn)特征一致，可以將其用于合成包含本區(qū)域數(shù)據(jù)特征的目標(biāo)地震動(dòng)。

(2)不同于一般方法僅將目標(biāo)反應(yīng)譜作為匹配條件，本文方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)地震動(dòng)幅值、頻譜和持時(shí)進(jìn)行同時(shí)約束，考慮了地震動(dòng)的時(shí)頻特征。對(duì)地震動(dòng)三要素的綜合考慮也能夠更好得到符合實(shí)際地震動(dòng)特征的合成結(jié)果。

(3)與三角級(jí)數(shù)法對(duì)比表明，僅匹配反應(yīng)譜可能會(huì)得到與實(shí)際地震動(dòng)持時(shí)相差很大的合成地震動(dòng)，這會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果引入較大的不確定性。