多孔介質(zhì)梁的精細積分模型及有限元仿真

陳正軒， 陸 靜，2， 潘 坤

（1.廣西科技大學， 廣西柳州 545006； 2.廣西汽車零部件與整車技術重點實驗室， 廣西柳州 545006）

0 引言

多孔材料具有很多良好的特性， 在各領域內(nèi)得到了廣泛的應用。對多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)的振動特性進行研究分析，具有一定的理論和工程意義。在多孔介質(zhì)材料的研究中，Biot 首先建立了分析多孔材料的經(jīng)典理論[1]，在此基礎上，學者對經(jīng)典Biot 理論進行了簡化，提出了更易理解應用的修正Biot 理論[2]。 結(jié)合Biot 理論，向宇等[3]建立了多孔介質(zhì)矩形薄板的精細積分模型， 分析了多孔介質(zhì)矩形薄板的的振動特性。 陸靜等[4]將Boit 理論與經(jīng)典彈性薄殼理論相結(jié)合， 建立了一種分析流體飽和多孔旋轉(zhuǎn)薄殼振動的新模型。對于結(jié)構(gòu)模型的求解，常用的有解析法[5]，解析求解方法僅能求解簡單的模型， 隨著有限元軟件的發(fā)展，數(shù)值解法在結(jié)構(gòu)模型的研究分析中多有出現(xiàn)，數(shù)值方法對于中低頻段的問題求解較為精確， 對高頻段問題的求解則具有一定的局限性。

本文以多孔介質(zhì)梁為研究對象， 考慮多孔介質(zhì)梁內(nèi)部骨架和流體之間的耦合作用， 導出多孔介質(zhì)梁的一階常微分動力學控制方程， 利用精細積分方法對模型動力學控制方程進行求解， 與多孔介質(zhì)梁的有限元仿真模型進行對比，驗證了多孔介質(zhì)梁精細積分模型的有效性。

1 多孔介質(zhì)梁控制方程的建立

如圖1 所示，梁的長、寬、高分別為a、l、h。 結(jié)構(gòu)模型由多孔材料組成。

圖1 多孔介質(zhì)梁示意圖

1.1 多孔介質(zhì)梁的本構(gòu)關系

基于 Biot 理論，不考慮y 方向的變形、內(nèi)力和應力，得到多孔介質(zhì)梁的本構(gòu)關系[3]：

1.2 多孔介質(zhì)梁固體骨架的幾何方程

1.3 多孔介質(zhì)梁骨架的運動方程

式中，ρ11—固體相對密度；ρ12—固體和流體的耦合密度。

1.4 多孔介質(zhì)梁內(nèi)部流體的運動方程和本構(gòu)方程

記u^f， w^f為內(nèi)部流體沿x，z 向的位移變量，uf，wf為內(nèi)部流體形心沿x，z 向的位移變量。對于多孔介質(zhì)梁內(nèi)部流體，其運動方程：

2 多孔介質(zhì)梁的控制方程

2.1 多孔介質(zhì)梁一階常微分控制方程

2.2 一階常微分控制方程求解

圖2 插值示意圖

式中，方程個數(shù)為10M，但未知狀態(tài)向量個數(shù)是為10（M+1），引入多孔介質(zhì)梁模型的邊界條件，代入式（35），即可解出全部的未知狀態(tài)向量。

3 有限元仿真驗證

為了驗證本文建模和計算的正確性， 采用如表1 的主要參數(shù)，邊界條件為兩端簡支，在Abaqus 中對多孔介質(zhì)梁進行仿真， 與采用齊次擴容精細積分方法在同樣參數(shù)條件下得到的多孔介質(zhì)梁固有頻率進行比較， 如表2所示，由表中數(shù)據(jù)可知，采用精細積分法所得到的多孔介質(zhì)梁的前五階固有頻率和Abaqus 中仿真得到的結(jié)果較為接近，誤差均小于10%，驗證了本文方法的正確性。

表1 多孔介質(zhì)梁的材料參數(shù)

表2 多孔介質(zhì)梁固有頻率的比較

4 結(jié)論

本文基于Biot 理論， 考慮了多孔介質(zhì)梁的固體骨架和流體的耦合作用， 推導出了多孔介質(zhì)梁的一階常微分控制方程，用精細積分法對控制方程進行了求解，得到多孔介質(zhì)梁的固有頻率，與有限元仿真得到的結(jié)果比較，驗證了此建模方法的正確性，并且，此建模方法對模型邊界條件和頻段范圍有著較好的適用性。