基于MATLAB和Pro/E的非圓齒輪設(shè)計

宋威震，何 勇

(東華大學機械工程學院，上海 201620)

0 引言

非圓齒輪能夠?qū)崿F(xiàn)兩軸間變速傳動，是一種傳動特性優(yōu)越的變速機構(gòu)[1]。由于非圓齒輪具有獨特的優(yōu)點，應(yīng)用中往往需要非圓齒輪滿足特定的傳動比要求，用來完成特殊的函數(shù)關(guān)系[2]或者改善機械的運動。

非圓齒輪節(jié)曲線是非圓齒輪創(chuàng)新的關(guān)鍵，很多學者都在研究非圓齒輪的節(jié)曲線，并且提出了一些新式非圓齒輪[3]。非圓齒輪的設(shè)計中，其傳動比是在節(jié)曲線確定后得到的，即利用非圓齒輪封閉且共軛的條件構(gòu)造出節(jié)曲線，本文設(shè)計節(jié)曲線，用以實現(xiàn)特定的傳動比函數(shù)。

有關(guān)非圓齒輪節(jié)曲線及傳動比的分析，很多文獻做了研究，賀敬良等[4]研究了變性橢圓齒輪機構(gòu)，并做了速度的求解，但最后沒有對其進行三維仿真。FIGLIOLINI等[5]設(shè)計了非圓齒輪，主要包括壓力角、節(jié)曲線和凹凸性等，但沒有建立非圓齒輪的三維模型。LIU等[6]進行了高階非圓齒輪的設(shè)計，給出了具體的設(shè)計流程，但沒有進行具體的實例分析。謝瑞雪等[7]研究了變性橢圓齒輪，使用MATLAB進行了實例分析，但最后沒有進行三維仿真分析。劉煬等[8]做了變性橢圓齒輪的研究，并做了三維建模，但沒有進行運動學研究。分析已有文獻發(fā)現(xiàn)，非圓齒輪的設(shè)計大多基于二維軟件，非圓齒輪的齒廓點提取過程繁瑣而且時間較長，多數(shù)論文對非圓齒輪僅做仿真分析，未涉及到理論分析，造成設(shè)計結(jié)果不嚴謹。本文完整的呈現(xiàn)非圓齒輪設(shè)計過程，為其它文章提供一個參考作用。

求解非圓齒輪傳動的首要工作是確定節(jié)曲線，主要分為3種方式[1]，即：給定傳動比函數(shù)和中心距；給定再現(xiàn)函數(shù)和中心距；給定主動輪的節(jié)曲線方程和中心距。本文不選用上述傳統(tǒng)方式，采用另外一種新的方式——只給非圓齒輪傳動比函數(shù)，不給中心距。采用這種方式來設(shè)計，具有更大的范圍性和更好的通用性。

已有論文提到的非圓齒輪設(shè)計過程和方法，比較繁瑣而且不太嚴謹[12]，另外，對于設(shè)計的非圓齒輪不進行驗證，設(shè)計結(jié)果不具有說服力。為了解決這些問題，本文提出一種非圓齒輪的設(shè)計方法，此方法設(shè)計非圓齒輪過程簡單、通用性強、精度較高。論文整體步驟為：結(jié)合已知傳動比條件，首先使用MATLAB求解非圓齒輪的中心距、節(jié)曲線和嚙合位置，接著，運用包絡(luò)法包絡(luò)形成非圓齒輪齒廓，然后通過齒廓點的提取生成二維非圓齒輪，把生成的二維圖形，導入Pro/E中，拉伸成三維模型，并把齒輪副進行裝配，最后把裝配的圖形導入到Adams中，完成動力學分析，求齒輪副角速度曲線。同時為了結(jié)果的嚴謹性，對非圓齒輪副進行了理論分析，并與運動學仿真進行對比。

1 非圓齒輪基礎(chǔ)理論

1.1 非圓齒輪傳動比

非圓齒輪傳動比是以主動輪轉(zhuǎn)角為自變量的周期函數(shù)，它表示主從動齒輪的速度變化關(guān)系。以外嚙合齒輪副為例，設(shè)給定的傳動比為i12(φ1)=f(φ1)，由運動規(guī)律可以推導得出：

(1)

式中，ω1為主動輪角速度；ω2為從動輪角速度。

從動輪位置函數(shù)φ2(φ1)是φ1的函數(shù)，從動輪節(jié)曲線封閉要求當主動輪旋轉(zhuǎn)一周時，從動輪是一個封閉的齒輪，須符合φ2(2π)=2π×n或φ2(2π)=2π/n，其中n為整數(shù)。

從動輪位置函數(shù)計算公式為:

(2)

1.2 節(jié)曲線方程

設(shè)中心距為a，主動輪的轉(zhuǎn)角為φ1，傳動比表達式i12=f(φ1)，則主動齒輪節(jié)曲線計算公式:

(3)

從動齒輪節(jié)曲線r2(φ1)和轉(zhuǎn)角φ2計算公式為:

(4)

(5)

1.3 非圓齒輪中心距

因為主從動輪能夠?qū)崿F(xiàn)整周旋轉(zhuǎn)，運動過程可以看成主從動輪節(jié)曲線在做純滾動。設(shè)主動輪的齒數(shù)為z，模數(shù)為m，則弧長為:

(6)

設(shè)r1a=r1/a，根據(jù)式(6)可得主從動輪安裝中心距a的計算公式如下：

(7)

2 實例分析與求解

本文實例分析：要實現(xiàn)的傳動比i12的方程如下:

i12(φ1)=1.118+0.5sin(φ1)

(8)

式中，傳動比函數(shù)是以主動輪的轉(zhuǎn)角φ1為自變量的函數(shù)，本文假設(shè)主動輪模數(shù)m為2.5 mm，齒數(shù)z為19。

因為非圓齒輪設(shè)計的過程中需要考慮多種因素，比如是否根切、節(jié)曲線是否封閉和凸凹性檢驗等，參照文獻[7]，本文給出非圓齒輪設(shè)計的過程圖，以便更清楚表達本文求解非圓齒輪過程，如圖1所示。

圖1 程序流程圖

下面根據(jù)流程圖進行非圓齒輪的求解，首先確定主從動輪的中心距，由式(3)、式(7)、式(8)可求得主從動輪安裝中心距:

(9)

所以，可以求得主從動齒輪安裝中心距a=48.17 mm。因為非圓齒輪的中心距已經(jīng)求出，聯(lián)立式(3)、式(6)、式(9)可以求出主動輪節(jié)曲線的弧長，由弧積分公式可得:

(10)

因此，可以求得主動齒輪的弧長為149.2 mm。

2.1 根切校驗

因為非圓齒輪節(jié)曲線的曲率半徑是變化的，在加工過程中也許會造成根切，所以有必要驗證是否根切，不發(fā)生根切為:

(11)

2.2 封閉性檢驗

下面進行從動輪的封閉性檢驗，根據(jù)從動輪的位置函數(shù)，由式(5)、式(8)可得：

(12)

對該函數(shù)進行計算，當φ1=2π時，φ2(2π)=2π，即主動輪轉(zhuǎn)過一圏，從動輪轉(zhuǎn)過一圈，符合節(jié)曲線封閉的要求。

2.3 凹凸性檢驗

在加工非圓齒輪前，必須預(yù)先知道節(jié)曲線的凹凸性，所以進行凹凸性計算，具體參照文獻[1]。

主動輪節(jié)曲線不出現(xiàn)凹形的條件為:

(13)

從動輪節(jié)曲線不出現(xiàn)凹形的條件為:

(14)

經(jīng)檢驗后，主從動輪節(jié)曲線都是外凸。

2.4 主從動齒輪節(jié)曲線

已知式(8)的傳動比函數(shù)，聯(lián)立式(3)、式(8)可以推出主動齒輪節(jié)曲線為:

(15)

根據(jù)式(4)、式(8)可以求解從動齒輪節(jié)曲線為:

(16)

根據(jù)式(15)、式(16)計算結(jié)果，然后根據(jù)式(9)計算出來的中心距，使用MATLAB可求得主從動輪的節(jié)曲線。

2.5 非圓齒輪的回轉(zhuǎn)中心

下面求非圓齒輪的回轉(zhuǎn)中心(焦點)，當前，國內(nèi)外學者對非圓齒輪回轉(zhuǎn)中心的研究，一般都是關(guān)于橢圓齒輪，有關(guān)其他類型的非圓齒輪回轉(zhuǎn)中心的研究目前鮮有介紹，本文依據(jù)橢圓齒輪的有關(guān)結(jié)論，對非圓齒輪的回轉(zhuǎn)中心進行求解。根據(jù)主從動輪節(jié)曲線和中心距可求得非圓齒輪的嚙合位置，得出圖2。下面求主動輪的回轉(zhuǎn)中心，從動輪的數(shù)據(jù)可以參考主動輪的計算過程。根據(jù)式(15)畫出主動輪節(jié)曲線，可以求出非圓齒輪的“長軸”為48.17 mm，如圖2所示中主動輪的粗線所示，“短軸”為46.82 mm，如藍色線所示，最后可以求得“焦距”為5.67 mm，如圖中O1—C1所示，C1即嚙合傳動時主動輪的回轉(zhuǎn)中心。同理，可以求得從動輪的焦距O2—C2，從動輪的回轉(zhuǎn)中心為C2。下面進行非圓齒輪回轉(zhuǎn)中心正確性的驗證，以主從動輪的相切點為初始點，在主從動輪上按照相同長度的弧長，找6個點，模擬非圓齒輪純滾動運動，非圓齒輪中心距分別為C1—1和C2—1的和、C1—2和C2—2，以此類推。求解得知：6個數(shù)據(jù)點的和都十分接近中心距48.17 mm，證明本節(jié)求出的回轉(zhuǎn)中心正確。

圖2 非圓齒輪節(jié)曲線和回轉(zhuǎn)中心

3 非圓齒輪建模

3.1 非圓齒輪齒廓的繪制

目前對非圓齒輪的求解多采用包絡(luò)法[9]和齒形折算法，但是齒形折算法精度低，過程復雜，所以用的越來越少，所有本文使用包絡(luò)法進行非圓齒輪的設(shè)計，這種算法理論已經(jīng)非常成熟，故這里不再詳述。借鑒其他文獻[10]，標準漸開線齒廓的插齒刀具包絡(luò)形成非圓齒輪齒廓，根據(jù)式(15)，包絡(luò)生成的主動輪齒廓如圖3所示。同理可以生成從動輪齒廓，這里不再顯示。使用圖像處理的方法[11]，可以快速提取齒廓點，把齒廓點數(shù)據(jù)導入到Autocad中可得到非圓齒輪圖形，如圖4所示。為了更好地表示兩個非圓齒輪的位置和嚙合情況，結(jié)合圖2求得的非圓齒輪的回轉(zhuǎn)中心，畫出主動齒輪和從動齒輪的嚙合圖。

圖3 插齒刀具包絡(luò)非圓齒輪齒廓 圖4 主動齒輪圖形

3.2 非圓齒輪裝配

把得到的非圓齒輪的二維圖形導入到Pro/E中，利用拉伸命令，拉伸厚度為40 mm，拉伸以后得到非圓齒輪三維模型，在圖2中得到的回轉(zhuǎn)中心位置處設(shè)置一個直徑為6 mm的孔洞作為安裝位置，在Pro/E軟件中進行裝配和設(shè)置約束，以主動輪和從動輪的安裝中心點設(shè)置齒輪轉(zhuǎn)動命令，裝配后如圖5所示。

圖5 非圓齒輪三維裝配圖

把主動輪回轉(zhuǎn)中心處設(shè)置電機進行轉(zhuǎn)動，這時，從動輪會跟著主動輪進行相應(yīng)轉(zhuǎn)動，觀察發(fā)現(xiàn)，齒輪副在轉(zhuǎn)動過程中嚙合良好，轉(zhuǎn)動平穩(wěn)，達到齒輪轉(zhuǎn)動要求。

4 非圓齒輪運動學分析

利用Adams軟件，對非圓齒輪進行運動學分析，驗證非圓齒輪轉(zhuǎn)動時輸出的傳動比與理論傳動比是否一致。運動學分析能夠使設(shè)計的產(chǎn)品進行及時的驗證和分析，這種驗證不需要大量的人力和金錢，可以很容易的獲得結(jié)果，最主要的是可以減少產(chǎn)品的研發(fā)時間。

在Adams中定義材料的剛度是20 000 N/mm，力指數(shù)是2.2，最大阻尼是400 N·s/mm，在運動學過程中允許接觸在小距離內(nèi)的相互滲透。在主從動輪的回轉(zhuǎn)中心設(shè)置為轉(zhuǎn)動副，接著在主動輪的回轉(zhuǎn)中心設(shè)置旋轉(zhuǎn)驅(qū)動，如圖6所示。旋轉(zhuǎn)副驅(qū)動為30 °/s，運動的時間為32 s，步數(shù)為320步，然后開始進行運動學分析，根據(jù)齒輪副的運動，得到主動輪的角速度曲線如圖7所示，從動輪的角速度曲線如圖8所示。

圖6 非圓齒輪在Adams中的裝配圖

圖7 主動輪角速度圖

圖8 從動輪角速度圖

在非圓齒輪轉(zhuǎn)動時兩齒輪嚙合良好，滿足共軛齒輪傳動要求，證明了設(shè)計的非圓齒輪是正確的。由圖7可以看出，在Adams運動仿真中，主動輪角速度圖為一條直線，即主動輪為勻速轉(zhuǎn)動。圖8曲線不光滑的原因可能是：由于非圓齒輪相對復雜，而且輪齒數(shù)量較多，導致其累積誤差更大，仿真曲線有地方發(fā)生失真現(xiàn)象。

5 非圓齒輪理論分析

把得到的主動輪和從動輪嚙合圖進行每個齒的分析，給每個齒編號，如圖9所示，分別測量主動輪和從動輪的回轉(zhuǎn)中心到每個齒的距離，從動輪角速度[1]為ω2=ω1/i12，結(jié)果如表1所示。主動輪的角速度與本文第4節(jié)相同，為30 °/s，這里為了表格簡潔，僅列出了部分齒的數(shù)據(jù),注：這里主動輪角速度和從動輪角速度單位都為°/s。把表1中的傳動比和從動輪角速度與從動輪齒的對應(yīng)關(guān)系進行畫圖，結(jié)果如圖10、圖11所示。

圖9 非圓齒輪傳動的運動特性

表1 非圓齒輪理論數(shù)據(jù)求解

圖10 非圓齒輪傳動比 圖11 從動輪角速度

觀察圖10可以看出，把非圓齒輪的理論傳動比與要實現(xiàn)的傳動比i12(φ1)=1.118+0.5sin(φ1)進行對比，發(fā)現(xiàn)圖形基本一致 。觀察圖11和圖8可以得出，從動輪的理論角速度與Adams仿真得出的從動輪角速度曲線基本一致。通過對圖10和圖11進行分析，很好的證明本文設(shè)計非圓齒輪方法的正確性。

6 結(jié)論

針對非圓齒輪設(shè)計過程繁瑣，齒廓特征點提取時間長，提出一種簡單的非圓齒輪設(shè)計方法，通過一個數(shù)值算例進行分析，證明方法的正確性。結(jié)果表明，從動輪的角速度曲線和理論傳動比曲線極其接近，證明了本文方法的正確性。因此,只要給出了主從動輪傳動比函數(shù)，即使不給出中心距，也可以計算出非圓齒輪齒廓，使非圓齒輪設(shè)計更具有普遍性和通用性。對非圓齒輪回轉(zhuǎn)中心進行精確求解并驗證其正確性，使求解更加嚴謹。以MATLAB和Pro/E為工具，生成非圓齒輪三維模型，比傳統(tǒng)CAD軟件繪制非圓齒輪更加簡單

快捷，提高了設(shè)計的效率和精度。本文提出的方法相比其他文獻的非圓齒輪設(shè)計方法更加簡單省時，復現(xiàn)性強。