耦合界面張力的三維流體界面不穩(wěn)定性的格子Boltzmann 模擬*

馬聰 劉斌 梁宏

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

采用介觀格子Boltzmann 方法模擬界面張力作用下三維流體界面的Rayleigh-Taylor (RT)不穩(wěn)定性的增長過程，主要分析表面張力對(duì)流體界面動(dòng)力學(xué)行為及尖釘和氣泡后期增長的影響機(jī)制.首先發(fā)現(xiàn)三維RT 不穩(wěn)定性的發(fā)生存在臨界表面張力(σc)，其值隨著流體Atwood 數(shù)的增大而增大，且數(shù)值預(yù)測(cè)值與理論分析結(jié)果 σc (ρh-ρl)g/k2 一致.另外，隨著表面張力的增大，不穩(wěn)定性演化過程中界面卷吸程度和結(jié)構(gòu)復(fù)雜性逐漸減弱，系統(tǒng)中界面破裂形成離散液滴的數(shù)目也顯著減少.相界面的后期動(dòng)力學(xué)行為也從非對(duì)稱發(fā)展轉(zhuǎn)向始終保持關(guān)于中軸線對(duì)稱.尖釘與氣泡振幅在表面張力較小時(shí)對(duì)其變化不顯著，當(dāng)表面張力增大到一定值后，可以有效地抑制尖釘與氣泡振幅的增長.進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，高雷諾數(shù)三維RT 不穩(wěn)定性在不同表面張力下均經(jīng)歷4 個(gè)不同的發(fā)展階段:線性階段、飽和速度階段、重加速和混沌混合階段.尖釘與氣泡在飽和速度階段以近似恒定的速度增長，其漸進(jìn)速度的值與修正的勢(shì)流理論模型結(jié)果一致.受非線性Kelvin-Helmholtz 旋渦的剪切作用，尖釘與氣泡隨后的增長被加速，導(dǎo)致在重加速階段的演化速度超過勢(shì)流模型的解析解.重加速階段不能持續(xù)發(fā)展下去，尖釘與氣泡在不穩(wěn)定性后期的增長速度會(huì)隨時(shí)間上下波動(dòng)，這表明不穩(wěn)定性的演化進(jìn)入了混沌混合階段.通過數(shù)值分析，證實(shí)了三維RT 不穩(wěn)定性在后期的混沌混合階段具有二次增長的規(guī)律，并且尖釘與氣泡增長率總體上隨著表面張力的增大而逐漸減少.

1 引言

Rayleigh-Taylor (RT)不穩(wěn)定性是低密度流體加速高密度流體時(shí)兩者密度交界面的不穩(wěn)定現(xiàn)象，廣泛存在于自然現(xiàn)象(如卷云的形成、超新星爆發(fā)、地下鹽丘和火山島的形成)和工程應(yīng)用(如超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)、慣性約束核聚變、氣象學(xué)、海洋運(yùn)動(dòng)學(xué))中，也是多相流體界面不穩(wěn)定性、湍流混合等基礎(chǔ)問題的理論基礎(chǔ)[1，2].因此，研究RT 不穩(wěn)定性的發(fā)展與演化規(guī)律對(duì)于理論研究和工程實(shí)踐都具有重要的科學(xué)價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義.著名學(xué)者Rayleigh[3]和Taylor[4]最早描述了RT 不穩(wěn)定性現(xiàn)象，提出了著名的線性穩(wěn)定性理論:交界面處初始擾動(dòng)隨時(shí)間以指數(shù)形式增長.后來，Lewis[5]實(shí)驗(yàn)證實(shí)了線性穩(wěn)定性理論可以有效地描述擾動(dòng)振幅的增長達(dá)到 0 .4λ(λ是初始擾動(dòng)的波長)，并發(fā)現(xiàn)不穩(wěn)定性隨后進(jìn)入非線性增長階段.2001 年，Waddell等[6]實(shí)驗(yàn)研究了二維單模RT 不穩(wěn)定性問題，觀察到緊接著線性階段，尖釘與氣泡振幅在非線性階段的平均增長速度接近于常數(shù).Goncharov[7]理論分析單模RT 不穩(wěn)定性的非線性增長，并給出尖釘與氣泡在非線性階段以恒定速度增長的勢(shì)流模型:

其中，ub是氣泡的速度;us是尖釘?shù)乃俣?g是 重力加速度;At是Atwood 數(shù);k是波數(shù);Cg對(duì)于三維流動(dòng)取 1，而對(duì)于二維情形則取3.受Goncharov工作[7]的啟發(fā)，Sohn[8]進(jìn)一步分析了流體黏性和表面張力對(duì)氣泡漸進(jìn)速度的影響，提出了包含這些因素的修正勢(shì)流模型，三維情形下可以表述為

其中ν是流體黏性，ρh表示重流體的密度.Glimm等[9]基于前追蹤方法模擬了二維單模RT 不穩(wěn)定性問題，首次發(fā)現(xiàn)氣泡與尖釘?shù)难莼俣冉?jīng)過恒定速度增長后會(huì)出現(xiàn)再加速行為.RT 不穩(wěn)定性的再加速現(xiàn)象在后續(xù)的實(shí)驗(yàn)[10]和數(shù)值模擬[11]中被進(jìn)一步證實(shí)，并被歸因于氣泡與尖釘界面處形成的Kelvin-Helmholtz 渦旋的作用.Bian 等[12]采用直接數(shù)值模擬方法研究了不同雷諾數(shù)和阿特伍德數(shù)下渦量對(duì)三維單模RT 不穩(wěn)定性的再加速增長階段的影響，并確定了再加速過程與渦量之間有很強(qiáng)的相關(guān)性.2012 年，Ramaprabhu 等[13]數(shù)值研究了混相流體的三維單模RT 不穩(wěn)定性的后期增長規(guī)律，首次發(fā)現(xiàn)不穩(wěn)定性在高雷諾數(shù)時(shí)經(jīng)歷4 個(gè)不同的發(fā)展階段，包括線性增長、飽和速度增長、再加速和混沌混合階段.同期，Wei 和Livescu[14]基于直接數(shù)值模擬方法高精度模擬了低阿特伍德數(shù)流體的二維單模RT 不穩(wěn)定性的后期增長過程，同樣觀察到高雷諾數(shù)的單模RT 不穩(wěn)定性經(jīng)歷上述4 個(gè)發(fā)展階段，并且報(bào)道氣泡振幅在后期的混沌混合階段具有平均二次增長的規(guī)律.Hu 等[15]模擬了不同雷諾數(shù)下的二維單模RT 不穩(wěn)定性問題，發(fā)現(xiàn)在中等雷諾數(shù)條件下，氣泡與尖釘在后期階段會(huì)出現(xiàn)反復(fù)的加速與減速現(xiàn)象.李德梅等[16]近期利用離散Boltzmann 方法研究了可壓縮流體的二維單模RT 不穩(wěn)定性的非平衡效應(yīng).另外，Liang 等[17-19]針對(duì)非混相流體的單模RT 不穩(wěn)定性后期演化過程也開展了一系列介尺度數(shù)值研究，分析了廣泛的雷諾數(shù)和阿特伍德數(shù)對(duì)不穩(wěn)定性的后期增長階段和相界面動(dòng)力學(xué)行為的影響.

上述研究豐富了人們對(duì)單模RT 不穩(wěn)定性演化機(jī)制的認(rèn)識(shí)，但均未考慮兩相流體間界面張力對(duì)不穩(wěn)定性增長的影響.已有研究表明，表面張力會(huì)顯著影響多相流體界面輸運(yùn)現(xiàn)象及流體界面不穩(wěn)定性行為，特別是RT 不穩(wěn)定性在界面張力作用下可以顯示出毛細(xì)波、收縮、破裂等獨(dú)特的界面動(dòng)力學(xué)行為.鑒于此，一些學(xué)者嘗試探索表面張力對(duì)單模RT 不穩(wěn)定性增長的影響，如Daly[20]采用有限差分方法模擬了界面張力對(duì)單模RT 不穩(wěn)定性早期增長的影響，發(fā)現(xiàn)增大表面張力可以減小線性增長率;Zhang 等[21]利用多相流格子Boltzmann 方法模擬了表面張力作用下二維單模RT 不穩(wěn)定性的演化過程，發(fā)現(xiàn)存在表面張力作用可以抑制氣泡與尖釘?shù)脑鲩L;Young 和Ham[22]模擬了表面張力作用下單模與多模RT 不穩(wěn)定性的演化機(jī)制，發(fā)現(xiàn)增大界面張力可以抑制混合層的增長;Matsuoka[23]采用邊界積分法模擬了耦合表面張力的可壓縮流體的二維單模RT 不穩(wěn)定性的演化過程，發(fā)現(xiàn)存在表面張力有利于誘導(dǎo)界面發(fā)生夾斷行為以及抑制不穩(wěn)定性湍流現(xiàn)象的發(fā)生;Sohn[24]與夏同軍等[25]分析了表面張力對(duì)單模RT 不穩(wěn)定性的飽和速度增長階段的影響，給出了包含表面張力效應(yīng)的氣泡漸進(jìn)速度的解析表達(dá)式;黃皓偉等[26]數(shù)值研究了表面張力對(duì)高雷諾數(shù)的二維單模RT 不穩(wěn)定性后期增長的影響，發(fā)現(xiàn)增大表面張力可以減弱演化過程中相界面結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度以及有效抑制后期階段相界面破裂行為，并進(jìn)一步給出了不同表面張力下氣泡與尖釘?shù)暮笃谠鲩L率.

綜上所述，對(duì)耦合界面張力的單模RT 不穩(wěn)定性的研究已取得了一些進(jìn)展，但相關(guān)研究還不夠深入.絕大多工作[20-25]局限于不穩(wěn)定性發(fā)展的中前期階段，所考慮的雷諾數(shù)較小，且所研究的物理工況均為二維情形[20-26]，而對(duì)表面張力作用下三維單模RT 不穩(wěn)定性的演化后期及氣泡與尖釘增長的描述尚未報(bào)道.本文將基于介觀格子Boltzmann方法系統(tǒng)研究高雷諾數(shù)的三維單模RT 不穩(wěn)定性的后期演化機(jī)制，主要分析界面張力對(duì)相界面動(dòng)力學(xué)行為及氣泡與尖釘后期增長的影響.

2 數(shù)值模型與問題描述

格子Boltzmann 方法是基于氣體動(dòng)理學(xué)理論的介觀數(shù)值方法，具有清晰的物理背景和粒子演化特性，并行計(jì)算效率高，可以從底層方便地描述流體內(nèi)部與環(huán)境間的相互作用，因而在模擬多相多組分等復(fù)雜流體輸運(yùn)問題上具有很大的優(yōu)勢(shì)[27].根據(jù)流體間作用力的不同物理背景，現(xiàn)有的多相流格子Boltzmann 模型主要可以分為4 類:顏色模型、偽勢(shì)模型、自由能模型和相場模型.不同于前3 類模型，相場格子Boltzmann 模型需要求解明確的界面追蹤方程，相界面求解精度高，適用于模擬界面大拓?fù)渥兓亩嘞嗔鲉栴}[28，29].因此，本文采用相場格子Boltzmann 模型研究三維非混相Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性的后期增長規(guī)律.該模型利用兩套粒子分布函數(shù)fi和gi，并采用多松弛碰撞算子以提高模型處理高雷諾數(shù)流動(dòng)的數(shù)值穩(wěn)定性.雙分布函數(shù)的多松弛格子Boltzmann 方法的演化方程可以表示為如下的統(tǒng)一形式[30]:

其中，fi(x，t) 為序參數(shù)的粒子分布函數(shù)，gi(x，t) 為刻畫流場的粒子分布函數(shù)，(x，t) 和(x，t) 則為粒子分布函數(shù)所對(duì)應(yīng)的平衡態(tài)分布函數(shù)，Mf和Mg表示碰撞矩陣，Sf和Sg為松弛矩陣，F(xiàn)i(x，t)和Gi(x，t) 分別表示源項(xiàng)和外力分布函數(shù).為了恢復(fù)正確的相場方程和不可壓流體動(dòng)力學(xué)方程，平衡態(tài)分布函數(shù)(x，t) 和(x，t) 分別構(gòu)造為[30]

且

其中，η是與遷移率相關(guān)的調(diào)節(jié)參數(shù);cs為聲速;ci和ωi分別為速度空間的離散速度和權(quán)系數(shù)，取值依賴于選取的格子模型.針對(duì)三維的Cahn-Hilliard 方程，格子Boltzmann 方法至少需要7 個(gè)離散速度才能滿足恢復(fù)宏觀控制方程所約束的矩條件[31]，因此，為了提高計(jì)算效率，在序參數(shù)分布函數(shù)的演化方程(3a)中采用高效的D3Q7 格子模型，其對(duì)應(yīng)的權(quán)系數(shù)ωi為ω01/4，ω1-61/8，c2/4，離散速度ci定義為

另外，針對(duì)三維流體動(dòng)力學(xué)方程，在流場分布函數(shù)的演化方程(3b)中采用通用的D3Q15 格子模型，其對(duì)應(yīng)的權(quán)系數(shù)為ω02/9，ω1-61/9，ω7-141/72，c2/3，且離散速度ci設(shè)定為

三維多松弛格子Boltzmann 模型的其他元素中碰撞矩陣Mf和Mg的選取可參考文獻(xiàn)[31，32].為了恢復(fù)正確的相界面追蹤的Cahn-Hilliard 方程，Liang 等[30]在演化方程(3a)中引入關(guān)于時(shí)間導(dǎo)數(shù)的局部源項(xiàng)以提高相界面求解的精度:

另一方面，本文考慮了外力引入格子Boltzmann方法所產(chǎn)生的離散效應(yīng)，并采用了 He 等[33]提出的完全消除離散誤差的外力格式:

其中，G為流體系統(tǒng)所受的外力;Fa是為了恢復(fù)正確的動(dòng)量方程而引入的額外界面力，其定義為表示兩相流體間的表面張力;μ為相場模型中的化學(xué)勢(shì)，

其中β，k為與界面張力(σ)和界面厚度(D)相關(guān)的模型參數(shù)，.通過計(jì)算粒子分布函數(shù)的零階矩和一階矩，可以得到宏觀統(tǒng)計(jì)量[30]

另外，流體密度ρ可由序參數(shù)φ的線性插值計(jì)算，

其中，ρl為輕流體的密度.在實(shí)際模擬中，需要采用合適的差分格式離散格子Boltzmann 模型的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，本文采用顯式的歐拉格式計(jì)算時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng):

同時(shí)利用各向同性的二階差分格式計(jì)算空間梯度和拉普拉斯算子:

其中χ表示任意一個(gè)變量.

為了研究流體不穩(wěn)定性的后期演化規(guī)律，本文考慮的物理工況為z軸方向足夠長的長方體通道.如圖 1 所示，Lx，Ly，Lz分別表示管道的長度、寬度與高度，且Lx×Ly×LzW×W×16W.初始時(shí)刻，重流體位于管道的上方而輕流體置于管道的下方，并在兩相流體界面z8W處施加一個(gè)微小的擾動(dòng):

圖1 三維單模RT 不穩(wěn)定性問題的示意圖Fig.1.Schematic of three-dimensional single-mode RT instability problem.

根據(jù)相場理論，序參量的初始分布設(shè)定為如下的雙曲正切函數(shù):

其值在體相區(qū)取0 和1，而在界面區(qū)域從0 連續(xù)變化至1.為了表征RT 不穩(wěn)定性的演化特性，需要引入兩個(gè)重要的無量綱參數(shù)，即雷諾數(shù)(Reynolds number，Re)和阿特伍德數(shù)(Atwood number，At)，分別定義為[33]

其中，ν表示流體黏性，重流體的密度ρh給定為 1，而輕流體的密度ρl可以根據(jù)阿特伍德數(shù)的值來確定.為了描述重力效應(yīng)，對(duì)管道中輕重流體均施加一個(gè)豎直方向上的浮力:

本文著重分析表面張力對(duì)高雷諾數(shù)RT 不穩(wěn)定性的后期演化特性的影響，除特別聲明，流動(dòng)的雷諾數(shù)和Atwood數(shù)分別固定為Re5000，At0.1，其他物理參數(shù)給定為W100，D4，松弛矩陣Sf和Sg分別設(shè)定為

3 數(shù)值結(jié)果和討論

通過數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)表面張力較大時(shí)，RT 不穩(wěn)定性的初始擾動(dòng)會(huì)發(fā)生振蕩直至相界面變?yōu)榉€(wěn)定的水平平面，即RT 不穩(wěn)定性現(xiàn)象將不會(huì)發(fā)生.這表明RT 不穩(wěn)定性的發(fā)生存在一個(gè)臨界表面張力，當(dāng)表面張力大于該臨界值時(shí)，RT 不穩(wěn)定性行為將不會(huì)出現(xiàn)，而當(dāng)表面張力小于該臨界值時(shí)，RT 不穩(wěn)定性現(xiàn)象將會(huì)發(fā)生.本文統(tǒng)計(jì)了不同流體Atwood 數(shù)下三維RT 不穩(wěn)定性發(fā)生的臨界表面張力，結(jié)果如圖 2 所示.可以發(fā)現(xiàn)，臨界表面張力隨著Atwood 數(shù)的增大而呈現(xiàn)遞增規(guī)律.進(jìn)一步理論分析了RT 不穩(wěn)定性現(xiàn)象發(fā)生的臨界表面張力.根據(jù)線性穩(wěn)定性理論[6，10]，RT 不穩(wěn)定性的擾動(dòng)振幅在初始階段的增長具有指數(shù)形式，即ha1eγt+a2e-γt，其中h表示擾動(dòng)振幅，t是演化時(shí)間，a1和a2為擬合系數(shù)，γ是線性增長因子且可表示為[6]

要使RT 不穩(wěn)定性能夠發(fā)生，線性增長因子中被開方數(shù)的值必須大于 0，從而可以推導(dǎo)出臨界表面張力的解析表達(dá)式為

其中波數(shù)k2π/W.圖2 進(jìn)一步給出了不同Atwood 數(shù)下臨界表面張力的理論值，可以發(fā)現(xiàn)理論值基本落在數(shù)值模擬所預(yù)測(cè)的范圍內(nèi)，即數(shù)值模擬結(jié)果與理論分析結(jié)果一致.在接下來的研究中，只考慮RT 不穩(wěn)定性能夠發(fā)生的情形，即σ＜σc.

圖2 不同Atwood 數(shù)下三維RT 不穩(wěn)定性的臨界表面張力Fig.2.Critical surface tensions of three-dimensional RT instability at various Atwood numbers.

圖3 給出了不同界面張力作用下三維單模RT 不穩(wěn)定性的相界面的演化過程.可以看出，三維RT 不穩(wěn)定性在演化初期顯示出相似的界面動(dòng)力學(xué)特征，重流體向下運(yùn)動(dòng)而輕流體向上升起，即輕流體和重流體之間相互滲透，且滲透深度隨著時(shí)間的演化而逐漸增加，從而輕流體上升形成了氣泡，而重流體下落形成了尖釘.緊接著，尖釘繼續(xù)往下運(yùn)動(dòng)，氣泡繼續(xù)上升.與此同時(shí)，兩流體剪切作用產(chǎn)生的Kelvin-Helmholtz 不穩(wěn)定性開始發(fā)展，其強(qiáng)度也隨時(shí)間逐漸增強(qiáng)，并開始影響相界面的動(dòng)力學(xué)行為.在Kelvin-Helmholtz 不穩(wěn)定性的作用下，尖釘向上卷起，形成了經(jīng)典的蘑菇結(jié)構(gòu)(見圖3(a)—(c)中t8 時(shí)刻與圖3(d)的t10 時(shí)刻).同時(shí)也注意到尖釘?shù)木砥鸱仍诒砻鎻埩^小時(shí)差異不大，但繼續(xù)增大表面張力會(huì)減弱尖釘卷起程度，并且卷起發(fā)生的時(shí)刻也會(huì)隨之推遲.接下來觀察到三維單模RT 不穩(wěn)定性在不同的表面張力作用下，表現(xiàn)出的顯著不同的界面動(dòng)力學(xué)行為.當(dāng)表面張力較小(σ10-6或 1 0-5)時(shí)，尖釘隨著時(shí)間繼續(xù)往下運(yùn)動(dòng)，在流體間剪切力的作用下，卷起表面變得不光滑，出現(xiàn)了凹凸不平的結(jié)構(gòu)，并且在卷起尾端形成了4 個(gè)尺寸相同的類似于“卷發(fā)”的界面結(jié)構(gòu)(見t10 時(shí)刻).隨后，不穩(wěn)定性系統(tǒng)的非線性效應(yīng)越來越劇烈，在高強(qiáng)度的Kelvin-Helmholtz 不穩(wěn)定性的剪切作用下，產(chǎn)生了許多不同尺度的旋渦，進(jìn)而使得流體界面變得異常不穩(wěn)定，演化后期相界面發(fā)生了多層次卷起、劇烈變形、混沌破裂，形成了非常復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并且使得流體系統(tǒng)中產(chǎn)生了大量的游離的離散液滴.另外可以發(fā)現(xiàn)，在低界面張力的三維RT 不穩(wěn)定性的增長后期，相界面的演化圖案關(guān)于中心軸失去了對(duì)稱性.相界面的非對(duì)稱性發(fā)展在高雷諾數(shù)下混相流體的三維單模RT 不穩(wěn)定性現(xiàn)象[13]中同樣被觀察到.當(dāng)表面張力增至σ2×10-4，流體間的剪切作用減弱，流體界面卷起表面相對(duì)比較光滑，未出現(xiàn)凹凸不平的結(jié)構(gòu)，形成的“卷發(fā)”長度也隨之減小.此后，非線性Kelvin-Helmholtz 不穩(wěn)定性的強(qiáng)度隨時(shí)間逐漸增強(qiáng)，致使相界面在多個(gè)位置發(fā)生卷起甚至出現(xiàn)破裂行為，最終在演化后期也形成了非常復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).但不同于上述表面張力較低時(shí)的情形，高雷諾數(shù)三維單模RT 不穩(wěn)定性在較大表面張力的作用下，相界面演化圖案始終保持著關(guān)于中軸線對(duì)稱的特性，并且整個(gè)演化過程中界面破裂的現(xiàn)象減少，系統(tǒng)中形成離散液滴的數(shù)量也相應(yīng)地減少.特別地，將表面張力增大至σ5×10-4，在卷起尾端未觀察到明顯的“卷發(fā)”結(jié)構(gòu)，雖然在演化后期仍然觀察到界面的多層次卷起行為，但界面卷起程度和界面結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性顯著減弱，系統(tǒng)中生成的離散液滴數(shù)目也顯著減少.另外，在整個(gè)不穩(wěn)定性的演化過程中，相界面始終維持關(guān)于中軸線的對(duì)稱性.

圖3 表面張力對(duì)高雷諾數(shù)三維單模RT 不穩(wěn)定性相界面演化的影響，R e=5000，A t=0.1 (a) σ=1×10-6 ;(b)σ=1×10-5 ;(c) σ=2×10-4 ;(d)σ=5×10-4Fig.3.Effect of the surface tension on the evolution of phase interface in three-dimensional single-mode RT instability with high Reynolds number，R e=5000，A t=0.1 :(a) σ=1×10-6 ;(b) σ=1×10-5 ;(c) σ=2×10-4 ;(d) σ=5×10-4 .

為了更細(xì)致地顯示表面張力對(duì)界面動(dòng)力學(xué)行為的影響，給出了上述界面張力作用下三維RT 不穩(wěn)定性中對(duì)角平面 (xy) 的界面演化圖案，結(jié)果如圖4 所示.可以看出，在最初階段，流體界面在不同界面張力作用下均表現(xiàn)出相似的行為，重流體在重力作用下向下運(yùn)動(dòng)形成尖釘，而密度較小的流體向上升起形成了氣泡，并受Kelvin-Helmholtz不穩(wěn)定性的影響，界面在兩層位置發(fā)生卷吸現(xiàn)象，從而形成了兩對(duì)旋轉(zhuǎn)方向相反的旋渦.界面卷起的程度會(huì)隨著表面張力的增大而逐漸減弱，卷起發(fā)生的時(shí)間也會(huì)隨之而推遲.界面兩層卷起行為是三維單模RT 不穩(wěn)定性獨(dú)有的特征，在二維單模RT 不穩(wěn)定性的演化過程中并未出現(xiàn).接下來，對(duì)于低表面張力(σ10-6或 1 0-5)情形，形成的兩對(duì)旋渦隨著時(shí)間演化而逐漸增大，導(dǎo)致在各自卷起尾端處分別形成了一對(duì)二級(jí)旋渦.在多個(gè)旋渦相互作用下，界面在多個(gè)位置發(fā)生卷起行為，形成了一些不同尺度的旋渦結(jié)構(gòu).最終，在高流體界面剪切作用下，中軸線上界面的多處位置發(fā)生卷吸、變形、混沌的破裂，形成了許多離散的小液滴.另外，進(jìn)一步可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于低表面張力情形，流體界面在演化后期難以維持關(guān)于中軸線的對(duì)稱性.當(dāng)表面張力較大(σ2×10-4)時(shí)，兩對(duì)一級(jí)旋渦隨時(shí)間繼續(xù)增長，伴隨著卷起部分的長度越來越長，并逐漸開始收縮，與中軸線附近的流體界面發(fā)生接觸，相比低表面張力情形，在界面卷起的尾端未出現(xiàn)二級(jí)旋渦的界面結(jié)構(gòu).隨后，非線性Kelvin-Helmholtz 不穩(wěn)定性的影響逐漸加強(qiáng)，導(dǎo)致界面多個(gè)位置發(fā)生卷起變形，形成較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，但相界面在整個(gè)演化過程中始終保持中軸線的對(duì)稱性.當(dāng)界面張力繼續(xù)增大時(shí)，流體界面變得相對(duì)簡單與光滑，界面卷起的長度和程度也隨之減小，未觀察到劇烈拓?fù)渥兓膹?fù)雜界面結(jié)構(gòu).

圖4 表面張力對(duì)高雷諾數(shù)三維單模RT 不穩(wěn)定性的對(duì)角平面(x=y 平面)的相界面演化的影響，R e=5000，A t=0.1 (a)σ=1×10-6 ;(b) σ=1×10-5 ;(c) σ=2×10-4 ;(d)σ=5×10-4Fig.4.Effect of the surface tension on the evolution of phase interface in the diagonal plane of three-dimensional single-mode RT instability with high Reynolds number，R e=5000，A t=0.1 :(a) σ=1×10-6 ;(b) σ=1×10-5 ;(c) σ=2×10-4 ;(d)σ=5×10-4.

上述研究分析了表面張力對(duì)三維RT 不穩(wěn)定性的相界面動(dòng)力學(xué)的影響，而尖釘與氣泡振幅及增長速度是描述RT 不穩(wěn)定性演化特征的幾個(gè)重要物理量.為了進(jìn)一步表征界面張力效應(yīng)，定量統(tǒng)計(jì)了廣泛表面張力條件下尖釘與氣泡振幅、增長速度隨時(shí)間的演化規(guī)律.尖釘與氣泡的振幅定義為尖釘與氣泡的實(shí)時(shí)位置與初始位置在z方向的間距，因此在初始時(shí)刻，尖釘與氣泡振幅均為零.圖 5 給出了尖釘與氣泡振幅在不同表面張力下隨時(shí)間變化的演化曲線.可以看出，尖釘與氣泡振幅在不同表面張力下隨時(shí)間演化不斷增長，并在較小表面張力時(shí)，同一時(shí)刻可以獲得更大的尖釘與氣泡的振幅.具體而言，當(dāng)表面張力在較小范圍內(nèi)，尖釘與氣泡振幅的演化曲線幾乎相互重合，即界面張力對(duì)不穩(wěn)定性增長的影響不再顯著.在非混相不可壓流體的RT 不穩(wěn)定性的演化中，尖釘與氣泡的動(dòng)力學(xué)特征理論上由單位質(zhì)量的重力、黏性耗散力、界面張力之間的競爭決定[34].針對(duì)表面張力極小的情形，表面張力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)中重力與耗散力，因此對(duì)不穩(wěn)定性中尖釘與氣泡發(fā)展的影響可以忽略.當(dāng)表面張力增大到一定值后，它可以有效地抑制尖釘與氣泡振幅的增長，即尖釘與氣泡振幅隨著表面張力的增長而顯著減小.進(jìn)一步模擬了不同Atwood 數(shù)下界面張力對(duì)三維單模RT 不穩(wěn)定性增長的影響，同樣發(fā)現(xiàn)表面張力較小時(shí)對(duì)三維不穩(wěn)定性中尖釘與氣泡的增長影響不大，繼續(xù)增大表面張力可以有效抑制不穩(wěn)定性的發(fā)展.圖 6 描述了不同界面張力下尖釘與氣泡隨時(shí)間演化的增長速度.根據(jù)速度演化曲線，發(fā)現(xiàn)高雷諾數(shù)的三維單模RT 不穩(wěn)定性在不同界面張力下的增長仍然可以劃分為4 個(gè)階段:線性增長階段、飽和速度階段、重加速階段和混沌混合階段.當(dāng)表面張力充分小時(shí)，氣泡和尖釘?shù)脑鲩L速度曲線在線性階段相互重合，繼續(xù)增大表面張力可以抑制尖釘與氣泡的線性增長，這符合線性穩(wěn)定性理論的分析結(jié)果:線性增長因子如(23)式所示，在表面張力較小時(shí)差別不大，隨著表面張力的增大而逐漸減小.緊接著，尖釘與氣泡均以近似恒定的速度增長，這表明三維RT 不穩(wěn)定性的演化進(jìn)入了飽和速度增長階段.經(jīng)典的勢(shì)流理論模型[7]預(yù)測(cè)了理想流體的單模RT 不穩(wěn)定性中尖釘與氣泡在飽和速度階段的漸進(jìn)速度.隨后，Sohn[24]基于上述勢(shì)流模型分析了流體黏性和界面張力對(duì)氣泡飽和速度增長的影響，給出了氣泡漸進(jìn)速度的理論解，如(2)式所示.受Goncharov 勢(shì)能模型[7]的啟發(fā)，尖釘在飽和速度增長階段的漸進(jìn)速度可以表示為

圖5 表面張力對(duì)隨時(shí)間演化的尖釘(左)和氣泡(右)振幅的影響Fig.5.Influence of surface tension on the time evolutions of spike (left) and bubble (right) amplitudes.

圖6 表面張力對(duì)隨時(shí)間演化的尖釘(左)和氣泡(右)增長速度的影響.黑色和藍(lán)色虛線分別表示修正的勢(shì)能模型所預(yù)測(cè)尖釘與氣泡漸進(jìn)速度在 σ=1×10-5 σ=5×10-4 時(shí)的解析解Fig.6.Influence of surface tension on the time evolutions of spike (left) and bubble (right) growth velocities.The black and blue dotted lines represent the analytical solutions of the spike and bubble asymptotic velocities from the modified potential flow model at σ=1×10-5 and σ=5×10-4 .

根據(jù)Sohn[24]改進(jìn)的勢(shì)流模型，可以發(fā)現(xiàn)氣泡與尖釘在界面張力σ＜1×10-5時(shí)飽和速度的解析解差別極小，因此在圖6 中僅給出σ1×10-5和σ5×10-4時(shí)尖釘與氣泡漸進(jìn)速度的理論值.可以發(fā)現(xiàn)，本文通過格子Boltzmann 方法所預(yù)測(cè)的尖釘與氣泡漸進(jìn)速度與勢(shì)流理論模型的結(jié)果一致，進(jìn)一步可以發(fā)現(xiàn)，尖釘與氣泡在表面張力較小時(shí)更早地進(jìn)入飽和速度階段，并且該階段的持續(xù)時(shí)間隨著表面張力的增大而增長.接下來，受系統(tǒng)中非線性Kelvin-Helmholtz 旋渦的剪切作用，使得尖釘和氣泡的增長速度超過勢(shì)流模型的理論值，這預(yù)示著不穩(wěn)定性的演化進(jìn)入了重加速階段.重加速階段是由遠(yuǎn)離初始中心平面的輕流體與尖釘?shù)慕缑嫣幃a(chǎn)生的渦旋向氣泡尖端傳播，導(dǎo)致氣泡重新加速，其發(fā)生必須滿足兩個(gè)條件:(a)渦旋需要在豎直方向上比氣泡更快地移動(dòng);(b)渦旋的結(jié)構(gòu)必須要保持足夠長時(shí)間.結(jié)合相界面動(dòng)力學(xué)圖案，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)所有表面張力情形，高雷諾數(shù)三維RT 不穩(wěn)定性均可以產(chǎn)生保留時(shí)間足夠長的旋渦，導(dǎo)致出現(xiàn)重加速階段，但由于旋渦的強(qiáng)度隨著界面張力的增大而減小，表面張力較小的RT 不穩(wěn)定性可以更早地進(jìn)入重加速階段.重加速階段不能持續(xù)地發(fā)展下去，從圖 6 可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)所有表面張力情形，尖釘與氣泡在演化后期的增長速度隨時(shí)間上下波動(dòng)，其值反復(fù)地加速與減速，這表明RT 不穩(wěn)定性的發(fā)展最終進(jìn)入了混沌混合階段.已有的高精度直接數(shù)值模擬研究顯示單模RT 不穩(wěn)定性在高雷諾數(shù)條件下會(huì)出現(xiàn)后期的混沌混合增長階段，在該階段尖釘與氣泡的振幅呈現(xiàn)平均二次增長的規(guī)律，即hs，bαs，bgAtt2，其中αs，b表示尖釘與氣泡的后期增長率.αs，b反映了不穩(wěn)定性在混沌混合階段的發(fā)展規(guī)律，因此是RT 不穩(wěn)定性后期研究中最為重要的物理統(tǒng)計(jì)量.為了計(jì)算不穩(wěn)定性湍流混合階段的增長率，一些學(xué)者基于振幅與演化時(shí)間的二次關(guān)系提出多種不同的測(cè)量方法，Liang 等[19]近期在二維單模RT 不穩(wěn)定性的后期研究中詳細(xì)地比較了這些測(cè)量方法，指出 Olson 等[35]提出的計(jì)算增長率的方法具有良好的收斂性與一致性，并被用于本文測(cè)量不同表面張力下三維單模RT 不穩(wěn)定性的后期增長率.Olson 等[35]對(duì)演化后期的振幅與時(shí)間的二次關(guān)系式兩邊開方得到，因此通過與演化時(shí)間t的線性擬合可以獲得擬合直線的斜率，進(jìn)而通過計(jì)算可以得到尖釘與氣泡的后期增長率αs，b.圖 7 給出了不同表面張力條件下尖釘與氣泡振幅的開方與的關(guān)系曲線以及在后期相應(yīng)的線性擬合直線.從圖 7 可以發(fā)現(xiàn)，兩者在不穩(wěn)定性的演化后期確實(shí)成線性關(guān)系，這也驗(yàn)證了三維單模RT 不穩(wěn)定性在后期混沌混合階段具有二次增長的規(guī)律.進(jìn)一步通過線性擬合，可以獲得尖釘增長率在表面張力σ1×10-7，1×10-6，1×10-5，2×10-4，5×10-4時(shí)分別為0.1293，0.1304，0.1348，0.1106，0.1069，而對(duì)應(yīng)的氣泡增長率依次為0.1286，0.1268，0.1275，0.0976，0.0691.可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于相同的界面張力，尖釘?shù)暮笃谠鲩L率大于氣泡的增長率，即尖釘比氣泡運(yùn)動(dòng)得更快.另外，當(dāng)界面張力較小時(shí)，界面張力對(duì)尖釘與氣泡增長率的影響不再顯著，而當(dāng)界面張力增加至一定值時(shí)，尖釘與氣泡增長率則隨著界面張力的繼續(xù)增大而減小，即界面張力會(huì)抑制尖釘與氣泡的后期增長.

圖7 不同界面張力下三維RT 不穩(wěn)定性中尖釘(左)與氣泡(右)振幅的開方 與演化時(shí)間 的關(guān)系曲線，實(shí)線表示在后期混沌混合階段的線性擬合結(jié)果Fig.7.Relationsbetweenthesquare roots of the spike and bubble amplitudes and the time in the three-dimension-al RT instability with different surface tensions.The solid lines represent the linear fitting results at the late-time chaotic mixing stage.

4 結(jié)論

本文采用多相流的介觀格子Boltzmann 方法模擬了三維非混相、不可壓流體的RT 不穩(wěn)定性問題，系統(tǒng)分析表面張力對(duì)不穩(wěn)定性中界面動(dòng)態(tài)過程和尖釘與氣泡定量增長的影響.通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，三維RT 不穩(wěn)定性的發(fā)生存在著一個(gè)臨界表面張力，當(dāng)表面張力小于該臨界值時(shí)，RT 不穩(wěn)定性現(xiàn)象才會(huì)發(fā)生.根據(jù)線性穩(wěn)定性理論建立了臨界表面張力的解析表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)臨界表面張力隨著流體Atwood 數(shù)的增大而增大，且數(shù)值預(yù)測(cè)的臨界值與理論分析結(jié)果一致.另外發(fā)現(xiàn)，界面張力對(duì)流體界面動(dòng)力學(xué)起著穩(wěn)定因子的作用，即增大表面張力可以抑制界面的卷吸與破裂行為，相界面的后期演化也從混沌的非對(duì)稱發(fā)展轉(zhuǎn)化為關(guān)于中軸線的對(duì)稱發(fā)展.還定量統(tǒng)計(jì)了表面張力對(duì)尖釘與氣泡振幅、演化速度和無量綱加速度的影響.在表面張力較小時(shí)，界面張力對(duì)尖釘與氣泡增長的影響不再顯著，而繼續(xù)增大界面張力則可以抑制尖釘與氣泡的增長.根據(jù)速度演化曲線，高雷諾的三維RT 不穩(wěn)定性在所有界面張力情形下均呈現(xiàn)線性增長、飽和速度增長、重加速、混沌混合4 個(gè)不同的發(fā)展階段.尖釘與氣泡在飽和速度階段的漸進(jìn)速度與包含界面張力效應(yīng)的勢(shì)流理論模型相符合.進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，隨著界面張力的增大，由于系統(tǒng)中形成旋渦的數(shù)目與強(qiáng)度逐漸減弱，導(dǎo)致不穩(wěn)定性進(jìn)入飽和速度增長和重加速階段的時(shí)間隨之推遲.最后，通過尖釘與氣泡振幅的開方與時(shí)間的線性擬合，從數(shù)值上證明了三維單模RT 不穩(wěn)定性在后期的混沌混合階段符合二次增長的規(guī)律，并且發(fā)現(xiàn)尖釘與氣泡后期增長率與表面張力呈現(xiàn)出遞減關(guān)系.