Box-Cox正態(tài)轉(zhuǎn)換在長江子流域極端降水氣候事件判定中的應(yīng)用

吳瑤，杜良敏，劉長征，張俊

(1.武漢區(qū)域氣候中心，武漢 430074；2.國家氣候中心，北京 100081；3.中國長江電力股份有限公司，宜昌 443000)

引言

旱澇是長江流域的主要氣象災(zāi)害，近年來的觀測事實和相關(guān)科學(xué)研究都表明長江流域極端降水事件發(fā)生的頻率正在不斷增加，范圍不斷擴大。1998年長江全流域性大洪水、2016年長江中游“暴力梅”、2017年長江中下游區(qū)域性大洪水、2020年超長梅雨，均引發(fā)了嚴重的洪澇及地質(zhì)災(zāi)害。與此同時，極端少雨事件也頻繁發(fā)生，2018年盛夏江漢大部降水偏少2～5成，出現(xiàn)伏旱；2019年長江中下游地區(qū)出現(xiàn)近40a來最嚴重的伏秋連旱。頻繁發(fā)生的極端事件給社會經(jīng)濟發(fā)展帶來越來越嚴重的影響，也因此受到越來越多的關(guān)注。目前針對極端事件的研究有很多，但診斷對象通常是單日或幾日強降水過程，或是以月、季內(nèi)日降水量極值、暴雨日數(shù)等作為極端降水指數(shù)(Karl and Knight，1998；Zhai et al.，1999；Goswami et al.，2006；陳峪等，2010；任國玉等，2010)。針對長江流域的研究，也主要以日降水作為研究對象(楊宏青等，2005；張?zhí)煊畹龋?007；張文等，2007；楊瑋和程智，2015；高潔，2019)。

氣候上，單次或幾次強降水過程并不足以概括更長時間尺度的特征，月、季尺度總降水量亦是很重要的研究內(nèi)容，直接關(guān)系到是否會出現(xiàn)極端事件。另一方面，天氣尺度的極端降水事件研究對象往往是極端多雨，但氣候尺度上則更為關(guān)注月、季極端少雨及其影響。本研究著眼于長江流域月、季尺度的極端降水，探討更長時間尺度的“極端降水氣候事件”的判定方法。

“極端降水氣候事件”是氣候領(lǐng)域的概念，區(qū)別于通常所說的“日極端降水過程”，對于月、季平均的氣候要素，采用極值的思想進行分析，能在更長時間尺度上描述氣候的異常狀況。氣候概率統(tǒng)計學(xué)上，對氣候要素極值的概率統(tǒng)計主要有兩種方法，一種是基于統(tǒng)計樣本的百分位法，該方法目前多用來對日極端降水進行挑選，如翟盤茂和潘曉華(2003)、張家國等(2018)以1961—1990年逐年日降水量的第99個百分位值的30 a均值定義極端降水事件的閾值，蘇布達等(2006)考慮了長江上游降水的特殊性，利用95%分位降水量代替常規(guī)的暴雨標準50 mm定義了極端強降水事件，陳波等(2010)對華中地區(qū)四個不同百分位的強降水事件進行了區(qū)分，蘇志重等(2016)、唐永蘭等(2018)、鄭小華(2019)采用95百分位法在年極端降水總量、頻次、最大日降水量及強度等4種指數(shù)上對極端降水進行描述；另一種是用某種概率分布模型對氣候要素值進行擬合，常用的分布型如皮爾遜一Ⅲ型曲線、耿貝爾分布、正態(tài)分布等，根據(jù)氣候值的概率對極端事件進行分析(羅夢森等，2013；伍麗麗等，2013；曹潔等，2014；陳子燊等，2015；崔玫意等，2017)，或是對氣候要素的重現(xiàn)期進行估算等(陳建昌等，1995；林兩位和王莉萍，2005；梁忠民等，2016；何干皓等，2017；杜曉陽等，2018；牟婷婷，2018)。有研究表明，經(jīng)正態(tài)分布轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)具有明顯統(tǒng)計優(yōu)勢(羅夢森等，2013)。而Box-Cox變換和正態(tài)分布有機結(jié)合構(gòu)建的新的Box-Cox正態(tài)分布，在研究降水極值分布(崔玫意等，2017)和氣溫極值方面(曹潔等，2014)，擬合效果要優(yōu)于常用的廣義極值(GEV)等分布。本研究將這一方法引入氣候極端事件領(lǐng)域，采用正態(tài)分布模型對降水進行擬合，再結(jié)合百分位法，判斷“極端降水氣候事件”，對常規(guī)百分位法進行一定改進。

1 資料與方法

1.1 資料及處理

資料為1961—2017年長江全流域700個氣象站點逐月降水資料，來源于國家氣象信息中心。

采用泰森多邊形法(Thiessen,1911)，將站點降水資料轉(zhuǎn)化成流域面雨量資料。為了盡可能減少缺測站及遷站的影響，根據(jù)站點變化動態(tài)調(diào)整泰森多邊形邊界。

1.2 流域分區(qū)

依據(jù)自然地理條件及氣候業(yè)務(wù)需求，將長江流域劃分為9個子流域，分別是金沙江流域石鼓以上、金沙江流域石鼓以下、岷沱江流域、嘉陵江流域、烏江流域、宜賓-重慶區(qū)間、重慶-宜昌區(qū)間、漢江流域及長江中游干流區(qū)間、兩湖流域(洞庭湖流域和鄱陽湖流域)，空間分區(qū)見圖1。

圖1 長江各子流域空間分區(qū)圖Fig.1 Nine sub-basins of the Yangtze river.

1.3 分布轉(zhuǎn)換方法(Box-Cox變換)

各種氣象要素的概率分布都存在不同程度的偏態(tài)特征(曹杰和陶云，2002；曹潔等，2014；郭凌曜和李英，2015)，研究表明(杜良敏等，2018)，長江流域月降水量經(jīng)常呈Gamma分布，正態(tài)通過率低，而季節(jié)降水通過正態(tài)檢驗的站點比率相對月降水略高，但也仍是正態(tài)分布、Gamma分布各占一半。統(tǒng)計分析時需要對序列進行正態(tài)分布轉(zhuǎn)換，常用的方法有Box-Cox變換、Yeo-Johnson變換等。

本文采用Box-Cox變換，將具有一定偏態(tài)分布的降水及面雨量序列轉(zhuǎn)換為近似符合正態(tài)分布的新序列，以便利用已有的數(shù)理統(tǒng)計方法研究數(shù)據(jù)的統(tǒng)計規(guī)律和特征。Box-Cox變換是統(tǒng)計建模中的常用方法，該變換可以使線性回歸模型在不丟失信息的同時，具有良好統(tǒng)計性質(zhì)，由Box和Cox提出。

該變換的表達式為

其中，λ是一個待定的變換參數(shù)，最佳λ值由python程序中scipy.stat.boxcox函數(shù)自動生成，為極大似然相似估計值。

逆變換表達式為

利用Box-Cox變換可將原始計算所得的面雨量序列轉(zhuǎn)化為近似符合正態(tài)分布的新序列。

2 Box-Cox變換在長江流域極端降水氣候事件判定中的應(yīng)用

2.1 極端降水氣候事件的判定

判定極端降水氣候事件采用基于Box-Cox正態(tài)分布轉(zhuǎn)換后的百分位法(以下簡稱“Box-Cox百分位法”)。

將一個原始面雨量序列經(jīng)過Box-Cox變換后得到一個近似正態(tài)分布的新面雨量序列，計算出各年面雨量在正態(tài)分布中所占百分比，取10%和90%百分位反算出對應(yīng)的原始面雨量值作為閾值。定義10%對應(yīng)的面雨量值為極端少雨氣候事件閾值、90%對應(yīng)的面雨量值為極端多雨氣候事件閾值。變換后的面雨量小于少雨閾值的年份定義為發(fā)生極端少雨事件、面雨量大于多雨閾值的年份定義為發(fā)生極端多雨事件。

2.2 Box-Cox百分位法與常規(guī)百分位法對極端閾值擬合的比較

常規(guī)百分位法是直接在降水序列排序基礎(chǔ)上，取相應(yīng)百分位處的值作為閾值，但這種方法的前提實際上是假定了數(shù)據(jù)遵循正態(tài)分布，在這種正態(tài)假設(shè)不成立的情況下，所挑選的閾值隨著時間序列的延長或者縮短，會產(chǎn)生很大變化。而采用Box-Cox百分位法挑選出來的閾值，由于原始數(shù)據(jù)經(jīng)過了正態(tài)化處理，則有效解決了常規(guī)百分位法的上述問題。

以夏季為例，采用Box-Cox百分位法提取的閾值與常規(guī)百分位法的閾值列于表1，可以看出，當(dāng)參與排序的面雨量序列長度發(fā)生變化時，常規(guī)百分位法閾值在一部分流域發(fā)生明顯變化，主要有岷沱江流域、重慶-宜昌區(qū)間、兩湖流域等，閾值浮動超過30 mm(以“*”標出)；而Box-Cox百分位法閾值變化顯著減小，絕大多數(shù)流域變動在10 mm之內(nèi)。

表1 不同時段下Box-Cox百分位法面雨量閾值與常規(guī)百分位法面雨量閾值對比（單位：mm）Table 1 Comparison of areal rainfall threshold values defined by Box-Cox transformation and year number ranking method in different times(unit：mm).

另一方面，Box-Cox百分位法在短時序數(shù)據(jù)處理上更具優(yōu)勢。對比兩種方法相同時間長度的閾值，相比于30 a，50 a長度下閾值變化明顯減小。表明，當(dāng)序列足夠長時，是否經(jīng)過Box-Cox轉(zhuǎn)換，對閾值的影響不大；但當(dāng)數(shù)據(jù)長度較短時，Box-Cox轉(zhuǎn)換則顯現(xiàn)出明顯的穩(wěn)健特性。

圖2a為原始面雨量序列通過正態(tài)檢驗情況，深色流域表示未通過正態(tài)分布檢驗，淺色流域為通過正態(tài)分布檢驗。經(jīng)Box-Cox變換后，原始面雨量序列被轉(zhuǎn)換成了更為近似正態(tài)分布的新面雨量序列，下文將其稱為“Box-Cox面雨量序列”，由圖2b可見，全部子流域Box-Cox面雨量序列在月、季、年各時間尺度上均通過Lilliefors正態(tài)分布檢驗。

圖2 長江各流域月、季、年原始面雨量序列通過正態(tài)檢驗情況(a)、Box-Cox面雨量序列通過正態(tài)檢驗情況(b)Fig.2 The normal test results of(a)observed areal rainfall series and(b)normalized areal rainfall series in different time scales in the Yangtze sub-basins.

2.3 Box-Cox變換在長江流域極端降水氣候事件判定中的應(yīng)用初探

分別選擇不滿足正態(tài)分布的嘉陵江流域秋季(9—11月)面雨量序列，和滿足正態(tài)分布的岷沱江流域秋季(9—11月)面雨量序列進行應(yīng)用對比。

嘉陵江流域秋季的原始面雨量序列不滿足正態(tài)分布，面雨量在190～200 mm出現(xiàn)頻次最多(圖3a)，相對于平均值235 mm具有明顯偏移；出現(xiàn)這種偏態(tài)分布的原因在于面雨量的年代際分布不均，20世紀80年代中后期至2010年之間，面雨量均值維持在200 mm左右，與全序列均值相差較大(圖3c)；圖4為嘉陵江流域秋季極端降水氣候事件的年代際頻次分布，從中可見，在80年代中后期至2010年期間發(fā)生了4次極端少雨氣候事件，分別在1991、1997、1998、2002年，4 a秋季面雨量均僅有140～160 mm。而與之對比，岷沱江流域1961年以來秋季面雨量呈緩慢減少趨勢(圖5c)，很少出現(xiàn)明顯的年代際雨量分布不均，因此該流域原始面雨量序列本身就滿足正態(tài)分布(圖5a)。

圖3 嘉陵江流域1961—2017年秋季(9—11月)原始面雨量序列頻次分布(a，單位：次)、Box-Cox面雨量序列頻次分布和正態(tài)分布曲線(b，柱狀圖為Box-Cox面雨量序列頻次，單位：次；實線為正態(tài)分布曲線)、原始面雨量及Box-Cox面雨量序列(c，實線為原始面雨量序列，單位：mm；虛線為Box-Cox面雨量序列)Fig.3(a)The frequency of observed areal rainfall(bar,unit:time),(b)the frequency of normalized areal rainfall and normal distribution curve(bar indicates frequency，unit:time,and line indicates normal distribution curve),and(c)observed areal rainfall and normalized areal rainfall(full line indicates areal rainfall,unit:mm,and dotted line indicates normalized areal rainfall)of Jialing river basin in autumn from 1961 to 2017.

圖4 嘉陵江流域秋季極端降水氣候事件年代際頻次分布圖(單位：次)Fig.4 The decadal frequency of extreme precipitation climate events in Jialing river basin in autumn(unit:time).

對嘉陵江流域秋季面雨量采用Box-Cox正態(tài)分布轉(zhuǎn)換后的序列頻次分布如圖3b，擬合序列均值為2.5，與擬合頻次分布最大值一致，滿足正態(tài)分布。對比圖3c可以看出，Box-Cox面雨量序列與原始面雨量序列的逐年變化趨勢一致，擬合序列僅在y軸方向進行了拉伸(或壓縮)。而對于岷沱江流域，為了保證不同子流域間極端閾值挑選規(guī)則的一致性，對這類滿足正態(tài)分布的序列，我們依然對其進行Box-Cox正態(tài)轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后的序列將比其原始序列更接近標準正態(tài)分布型(圖5b)。岷沱江秋季原始面雨量序列極端多雨、少雨閾值分別為237.4 mm和152.7 mm，轉(zhuǎn)換后則為240 mm和154.9 mm，僅有微小變化，不影響極端年份的選取。

圖5 岷沱江流域1961—2017年秋季(9—11月)原始面雨量序列頻次分布(a，單位：次)、Box-Cox面雨量序列頻次分布和正態(tài)分布曲線(b，柱狀圖為Box-Cox面雨量序列頻次，單位：次；實線為正態(tài)分布曲線)、原始面雨量及Box-Cox面雨量序列(c，實線為原始面雨量序列，單位：mm；虛線為Box-Cox面雨量序列)Fig.5(a)The frequency of observed areal rainfall(bar,unit:time),(b)the frequency of normalized areal rainfall and normal distribution curve(bar indicates frequency，unit:time,line indicates normal distribution curve),and(c)observed areal rainfall and normalized areal rainfall(full line indicates areal rainfall,unit:mm,and dotted line indicates normalized areal rainfall)of Mintuo river basin in autumn from 1961 to 2017.

2.4 2018年汛期(6—8月)長江各子流域極端降水氣候事件判定應(yīng)用

2018年汛期，長江上游降水實況分布為西多東少，上游西北部的岷沱江流域和嘉陵江流域北部降水偏多1～5成，上游其他子流域偏少1～5成。

采用Box-Cox百分位法計算1961—2017年汛期長江各子流域極端降水氣候事件閾值(表2)。利用閾值對2018年汛期面雨量實況進行判定，則岷沱江流域面雨量超過極端多雨氣候事件閾值，判定為發(fā)生極端多雨氣候事件，面雨量偏多排歷史第4位；而長江干流重慶-宜昌段、漢江及中游干流區(qū)間面雨量超過極端少雨氣候事件閾值，判定為發(fā)生極端少雨氣候事件，面雨量偏少均排在歷史第7位。而按照常規(guī)百分位法，1961—2018年共58 a，僅能篩選出極端多雨、少雨氣候事件各6 a(約占10%)，那么干流重慶-宜昌段、漢江及中游干流兩個子流域則未達到極端少雨氣候事件標準。

表2 1961—2017年汛期(6—8月)長江各子流域極端降水氣候事件閾值及2018年實況面雨量Table 2 The threshold values of extreme precipitation climate events in the Yangtze sub-basins in flood season from 1961 to 2017 and the observed area rainfall in 2018.

同樣按常規(guī)百分位法，若將新增年份并入序列，計算1961—2018年汛期岷沱江流域極端降水氣候事件閾值，極端年份發(fā)生改變，極端多雨閾值由原來的532.7 mm(1988年)調(diào)整為545.0 mm(1981年)，原來排第6位的1988年不再是夏季極端多雨年。但采用Box-Cox百分位法得到的極端閾值僅發(fā)生微小變化，由542.5 mm上升為548.2 mm，無論是閾值還是極端年份的改變均不如常規(guī)百分位法劇烈，具有更為穩(wěn)健的特性。

3 結(jié)論與討論

本文在長江流域分區(qū)面雨量研究中引入Box-Cox正態(tài)分布轉(zhuǎn)換方法，對長江流域面雨量進行正態(tài)分布擬合，并展開了流域極端降水氣候事件閾值的研究，得到以下結(jié)論。

(1)經(jīng)Box-Cox變換，部分因降水年代際分布不均導(dǎo)致面雨量呈偏態(tài)分布特征的子流域，其擬合序列能轉(zhuǎn)換為正態(tài)分布序列，而其他原始序列符合正態(tài)分布特征的流域，經(jīng)轉(zhuǎn)換后則更為接近標準正態(tài)分布型。

(2)相較于常規(guī)百分位法，Box-Cox百分位法能一定程度上降低因為延長序列帶來的閾值波動。經(jīng)轉(zhuǎn)換后得到的閾值，受序列長度變化的影響明顯減小，具有更為穩(wěn)健的特性。

(3)當(dāng)序列足夠長時，經(jīng)過Box-Cox轉(zhuǎn)換與否，對閾值的影響不大；但在短時序數(shù)據(jù)處理上，Box-Cox百分位法比常規(guī)百分位法穩(wěn)定，更具優(yōu)勢。

(4)根據(jù)1961—2017年極端降水氣候事件的閾值，判定2018年汛期(6—8月)，岷沱江流域發(fā)生了極端多雨氣候事件，長江干流重慶-宜昌段、漢江及中游干流區(qū)間發(fā)生了極端少雨氣候事件。

長江流域地形復(fù)雜，地理跨度大，降水變化原因復(fù)雜，不同子流域間地形差異對極端事件閾值的影響方面還有待深入研究。而閾值判定也只是極端降水氣候事件研究的開始，依據(jù)此閾值挑選出來的極端降水氣候事件，具有何種特征、形成機理等方面有待進一步的研究和診斷。