以平均數(shù)的教學為例談“變教為學”

董金憲

［摘 要］適合“變教為學”的教學模式的課程必須凸顯數(shù)學本質(zhì)、滲透數(shù)學文化、實現(xiàn)知識間的關(guān)聯(lián)，需要教師在備課時謹慎篩選學生的學習內(nèi)容和針對這一內(nèi)容的學習方式，可采用回顧平均數(shù)的發(fā)展史、突出平均數(shù)的本質(zhì)、教學平均數(shù)的計算方法、掌握平均數(shù)的內(nèi)在規(guī)律、聯(lián)系平均分等方式。

［關(guān)鍵詞］變教為學；平均數(shù)；活動；平均分

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）35-0091-03

平均數(shù)屬于統(tǒng)計與概率這一大分支，如果教學時教師拘泥于平均數(shù)的計算公式，只追求順利計算出平均數(shù)，忽視對平均數(shù)本源和用途的考究，那么學生在計算平均數(shù)時就會犯下各種低級的錯誤，即使他們明明對平均數(shù)的計算公式爛熟于心，但是由于弄不清算理，還是會錯誤頻出，有時錯了還不知道自己錯在哪里。能熟練運用平均數(shù)的計算公式，并不代表對平均數(shù)的算理融會貫通了，也不意味著對平均數(shù)的概念心領(lǐng)神會。下面筆者以教學“平均數(shù)”為例，來說明如何設(shè)計活動記錄單。

一、追溯歷史，正視平均數(shù)

通過對平均數(shù)起源的考證，可以發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)是用來估計大數(shù)的。在一個印度神話故事中，有一棵參天大樹長有茂盛的枝葉，樹枝粗細各異。故事的主人公出于好奇，想計算出每根樹枝上的葉片數(shù)，他想了想，先數(shù)出靠近樹根的一根纖細樹枝上的葉片數(shù)，再乘以大樹樹枝的數(shù)量，得結(jié)果為2095，第二天人們齊心協(xié)力數(shù)了一下，得出的結(jié)果和這個主人公估算的結(jié)果差不多。盡管這個神話故事中沒有交代清楚主人公如何選擇的樹枝，但是，可以肯定的是，他必須選擇一根中等粗細的樹枝，這樣估算的結(jié)果才不離譜。這選擇樹枝的過程和標準就代表著平均數(shù)的思想，因為所選的樹枝必須具有代表性，既不能過于粗大，又不能過于纖細，這樣，在求總數(shù)的過程中，它才能有效平衡各種樹枝，起到一個調(diào)劑中和的作用，移多補少。

這個與平均數(shù)有關(guān)的神話給我們帶來啟發(fā)，平均數(shù)的學習應該從估算大數(shù)起步，因此，筆者設(shè)計了活動一，通過活動一讓學生理解平均數(shù)可以代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。

【活動一】某手機代工企業(yè)總共有30間廠房，每間廠房的員工人數(shù)分別為42，35，36，43，40，58，47，34，39，50，37，42，47，34，39，45，50，48，52，49，47，32，36，45，35，46，47，38，51，46，你能算出該企業(yè)一共有多少員工嗎？和同學交流一下你的想法。

活動一要求學生算出代工企業(yè)共有多少員工，也就是讓學生對這組數(shù)據(jù)進行求和，這種操作和數(shù)樹葉有著異曲同工之處。由于估算方法本身就是多樣的，再加上學生的個體差異和創(chuàng)新力，因此，學生會冒出許多不同的解法。

方法一：將這組數(shù)據(jù)中的兩個最值（最大值和最小值）相加，再平均分成2份，求出兩個數(shù)的“中間值”，然后用這個“中間值”代替組內(nèi)每個數(shù)據(jù)，用這個數(shù)乘以30。

方法二：將這組數(shù)據(jù)重新排列，按照從大到小的順序排列，然后找到處于正中間位置的那個數(shù)，再假設(shè)每個數(shù)都是這個中位數(shù)，用這個數(shù)乘以30。

方法三：一一查點，看哪個數(shù)出現(xiàn)的頻次最高，也就是找出重復出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)，假設(shè)每個數(shù)都是這個數(shù)，再用這個數(shù)乘以30。

方法四：運用“四舍五入”法將每個數(shù)據(jù)看成整十數(shù)，如將“42”看作“40”，將“47”看作“50”，將“34”看作“30”……再求出總和。

前三種方法都是選取一個代表整體水平的數(shù)值再算總數(shù)，這樣能較為科學準確地算出總數(shù)，才能有效地估算大數(shù)。雖然有的廠房的員工人數(shù)會多于或少于這個選定的數(shù)，但是在求和的時候，會互相抵消?；顒又校瑢W生通過自行摸索和創(chuàng)新也生成了統(tǒng)計與概率中的中位數(shù)、眾數(shù)的前概念。通過這個活動可以發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)和估算有著千絲萬縷的關(guān)系，并且學生通過獨立思考后提出的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等形式很有說服力，將學習內(nèi)容與數(shù)學知識緊緊捆綁在一起。教師不妨在開展完活動一后趁熱打鐵講述這個印度神話故事，讓學生深思平均數(shù)的內(nèi)涵。

任何數(shù)學概念的產(chǎn)生都有原因，平均數(shù)也不例外。其實計算平均數(shù)是簡單的，只需要將各個數(shù)據(jù)相加，然后除以數(shù)據(jù)個數(shù)即可，一旦數(shù)據(jù)較多，這樣計算就非常煩瑣，而且在學生眼里，平均數(shù)又沒有什么實際用處，因此不愿意學。小學低年級階段，學生接觸的都是具體運算，沒有接觸過抽象的統(tǒng)計，平均數(shù)其實是一個統(tǒng)計數(shù)據(jù)，為了讓學生更好地接受平均數(shù)，并且自覺運用，介紹平均數(shù)的來由就顯得十分重要。平均數(shù)的功能就蘊含在平均數(shù)的來歷中，因此，要實現(xiàn)“變教為學”，就要學生自主探究，自己去發(fā)現(xiàn)平均數(shù)的用途和優(yōu)勢，例如，讓學生計算工廠員工總數(shù)，如果估算好平均數(shù)，那么計算就會十分方便，學生在多方探究中自己發(fā)現(xiàn)平均數(shù)的優(yōu)勢。

二、學會計算，領(lǐng)悟功能

【活動二】（1）人們可以在甲、乙兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院接種新冠疫苗，表1列出了甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院四周接種新冠疫苗的人次，表2列出了乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院三周接種新冠疫苗的人次，你知道哪個鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院的周業(yè)務量較高嗎？（2）乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院在第四周接種新冠疫苗的人次是多少，才能使該衛(wèi)生院平均每周接種新冠疫苗是70人次？和同伴交流一下你是怎么計算的。

活動二的第（1）問，第一個目的在于讓學生學習并掌握平均數(shù)的兩種基本算法，一種是先將所有數(shù)據(jù)加起來，再除以數(shù)據(jù)個數(shù)，另一種則是移多補少；第二個目的在于向?qū)W生傳遞信號——平均數(shù)可以代表一組數(shù)的整體水平和另一組數(shù)做比較，讓學生體會到平均數(shù)的對比功能。學生經(jīng)過研究和思考就會發(fā)現(xiàn)，此時用接種新冠疫苗的總?cè)舜伪容^兩個衛(wèi)生院的業(yè)務量不公平，也不科學，因此會想出如下方法。

方法一：分別算出甲、乙兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院接種新冠疫苗的總?cè)舜危俪詫闹軘?shù)，就可以得出每個衛(wèi)生院每周接種人次，也就是周業(yè)務量。

方法二：把甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院第一周的10人次轉(zhuǎn)移到第二周，把第四周的20人次轉(zhuǎn)移到第三周，此時每周接種人次相等。把乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)衛(wèi)生院第一周的30人次轉(zhuǎn)移到第二周，此時每周的接種人次也會相等。最后用兩個數(shù)進行比較。

活動二的第（2）問是這樣設(shè)計的，已知四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)和它們中的三個數(shù)據(jù)，據(jù)此推算第四個數(shù)據(jù)。這是通過已知平均數(shù)逆向求解未知數(shù)據(jù)，這種逆向出題思路，考查的就是學生對平均數(shù)的通盤考慮能力。學生可能會想出如下方法。

方法一：四周平均每周接種新冠疫苗70人次，據(jù)此就可以逆向求出四周接種新冠疫苗的總?cè)舜?，再減去前三周接種新冠疫苗的人次。

方法二：第一周接種新冠疫苗的較多，把其中30人次轉(zhuǎn)移到第二周，則前三周都接種新冠疫苗60人次，要使平均每周接種新冠疫苗70人次，這樣就還差30人次，再加上第四周接種新冠疫苗的70人次，得出第四周接種新冠疫苗的人次要達到100才可以。

方法三：把第一周中的10人次轉(zhuǎn)移到第二周，再把第一周的10人次轉(zhuǎn)移到第三周，這樣前三周接種新冠疫苗的人次分別是70，40，70，那么，用第二周差的30人次再加上第四周需要達到的70人次，答案是100人次。

方法四：第一周保留30人次，把60人次都轉(zhuǎn)移到第四周，這樣，這四周距離要求的70人次，分別差了40人次、40人次、10人次、10人次，40+40+10+10=100，答案同樣是100人次。

平均數(shù)算法的逆向倒推和移多補少的基本思想方法均可以破解這道題。方法二、三、四都是運用的移多補少的方法，區(qū)別是基準不同，它們分別以60，70，30為基準。當然，方法還有很多，但是都要經(jīng)過深入思考才能得出。

設(shè)計的活動二并未直接要求學生計算平均數(shù)，而是通過現(xiàn)實情境告訴學生，平均數(shù)可以反映兩組數(shù)據(jù)的整體水平，要想比較出兩組數(shù)據(jù)的高低，就必須用平均數(shù)加以確認。求平均數(shù)的本質(zhì)實際上是移多補少，實際計算時，也可以運用移多補少的辦法，而且怎么“移”、怎么“補”也存在方法的多樣性，學生在經(jīng)歷活動二各種各樣的“移花接木”后，就能掌握計算平均數(shù)的表象，這些寶貴的經(jīng)歷會促使學生在每次計算平均數(shù)時，都能熟練運用平均數(shù)的內(nèi)在規(guī)律。

三、聯(lián)系舊知，對比辨析

完成上述兩個學習活動后，學生對平均數(shù)有了細致的了解，此時，受知識遷移的影響，學生極有可能將“平均數(shù)”和“平均分”混淆。

“除法的初步認識”對平均分有著明確的定義，將總數(shù)分成每份一樣多的若干份，平均分是一種結(jié)果一定的分配方案，而不是方法，無論采用哪種分法，最終的結(jié)果是一樣的，而且無論初次分配如何混亂，通過移多補少都可以達成平均分的目的，計算出的結(jié)果是實際操作后的客觀事實，或者說是可以預見的事實。

而平均數(shù)則是一個統(tǒng)計概念，它在現(xiàn)實生活中未必對應著分配的結(jié)果和操作，甚至不具備可操作性。學生學習平均數(shù)之前已經(jīng)學過平均分，平均分是“物品總數(shù)÷分的份數(shù)=每份數(shù)”，例如，甲有某上市公司3萬股股票，乙有該上市公司5萬股股票，一共有8萬股股票，如果平均分，則甲、乙各得到4萬股。而平均數(shù)的計算公式為“數(shù)據(jù)總和÷個數(shù)=平均數(shù)”。

活動三可以進一步深化平均數(shù)的統(tǒng)計概念。

【活動三】有調(diào)查報告稱：“放開三胎后，甲市每對夫妻平均生育2.5個子女；同期的國外某城市則是平均2.5人生育1個子女。”請你想一想，其中的“2.5人”是什么意思？

通過學生的回答可知，在他們心目中，“0.5”是未成年人，“2.5人”表示兩個成人和一個未成年人。出現(xiàn)這樣令人啼笑皆非的答案，表明學生還沒有對平均數(shù)的統(tǒng)計概念有深刻印象。半個人是不存在的，當 A 對夫妻育有2個子女，B對夫妻育有3個子女，平均每對夫妻就育有“2.5個子女”。以上報道可以理解為“甲市每兩對夫妻加起來育有5個子女”和“同時期國外某城市平均5人就育有2個子女”。教師可以繼續(xù)問“每名學生平均每天閱讀1. 5小時”中的“1.5小時”作何解，此處的“1.5小時”則是一個具體量。教師要引導學生理解平均數(shù)的統(tǒng)計意義與實際意義的聯(lián)系與區(qū)別。

平均數(shù)是一個統(tǒng)計概念，其數(shù)值在具體情境中也沒有正式的“身份”，因此，要將其與平均分概念徹底區(qū)分開，平均分中的每個數(shù)字都是實指，而平均數(shù)則是虛構(gòu)的，如生育率統(tǒng)計中的“2.5人”就是虛指，因為不存在半個人這一說，而到了統(tǒng)計中，它又是合理的，此處的0.5是移多補少造成的結(jié)果，只要將所有“0.5”合起來，會得到一個整數(shù)。平均數(shù)的虛擬性還體現(xiàn)在不可操作性，如7天的平均氣溫可以進行理論計算，但是人們無法將7天的氣溫疊加到一塊，然后平均分成7份，也不可能將今天的氣溫轉(zhuǎn)移3℃到昨天。但是，如果換成是7個人摘蘋果，平均每人摘得的蘋果數(shù)卻可以“操作”出來——先將所有蘋果收集起來，然后平均分給7個人。

“變教為學”中強調(diào)學習內(nèi)容要“實現(xiàn)關(guān)聯(lián)”，指的是課程既要體現(xiàn)知識，又要反映生活，因此，最后設(shè)計活動四，讓學生在生活中處處看到平均數(shù)的身影。

【活動四】說說你在生活中的哪些地方見過平均數(shù)？

活動四的問題很開放，待學生舉例后，教師可以繼續(xù)補充完善相關(guān)知識。

“變教為學”要求學習內(nèi)容凸顯數(shù)學本質(zhì)、滲透數(shù)學文化、實現(xiàn)知識間的關(guān)聯(lián)。因此，對“平均數(shù)”的教學設(shè)計首先要突出平均數(shù)的本質(zhì)——選擇中間值估計大數(shù)；其次，需要滲透平均數(shù)的文化，回顧平均數(shù)的發(fā)展史；最后，把平均數(shù)與學生已經(jīng)學過、學會的平均分聯(lián)系起來，對照辨析，弄清平均數(shù)的統(tǒng)計功能與統(tǒng)計特性。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 王心宇.基于數(shù)學文化的“平均數(shù)”教學設(shè)計[J].中小學數(shù)學（初中版），2021（Z2）：98-100.

[2] 曹慶榮.習題教學：從“解題”走向“解決問題”[J].小學數(shù)學教育，2021（Z4）：100-101.

[3] 楊重生，張丹，孫京紅.“平均數(shù)的認識”教學設(shè)計與說明[J].小學數(shù)學教育，2021（Z3）：49-50+103.

[4] 代林麗.誰能代表“我們”：“平均數(shù)”教學思考[J].小學教學（數(shù)學版），2021（6）：34-37.

（責編 楊偲培）