從“教材重構(gòu)”到“活動重建”

楊宏偉

［摘 要］教師要聚焦數(shù)學(xué)本質(zhì)，抓住知識間的橫向和縱向聯(lián)系，將復(fù)雜問題回歸本源，讓靜態(tài)的數(shù)學(xué)課堂走向動態(tài)的學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中充分經(jīng)歷操作、想象、推理、驗證等一系列數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，讓課堂呈現(xiàn)素養(yǎng)生長的勃勃生機。文章以“三角形三邊的關(guān)系”一課為例，闡釋指向素養(yǎng)生長的教學(xué)思考與具體實踐，探索從“教材重構(gòu)”到“活動重建”的有效路徑。

［關(guān)鍵詞］教材；活動；素養(yǎng)；課堂

［中圖分類號］ G623.5［文獻標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）35-0020-04

“三角形三邊的關(guān)系”屬于“圖形與幾何”板塊的內(nèi)容，是在學(xué)生初步認(rèn)識三角形的基礎(chǔ)上繼續(xù)開展的研究學(xué)習(xí)活動，目的是使學(xué)生進一步加深對三角形特征的理解，掌握三角形的邊的重要特征，并靈活利用這一特征解決生活中的實際問題。

一、指向素養(yǎng)生長的教學(xué)思考與教材重構(gòu)

在“三角形三邊的關(guān)系”的教學(xué)中，教師通常根據(jù)教材的編排，讓學(xué)生動手?jǐn)[一擺、看一看、說一說。學(xué)生發(fā)現(xiàn)有的小棒能圍成三角形，有的圍不成。接著，教師利用給定的數(shù)據(jù)揭示本課的重點：三角形任意兩邊的和大于第三邊。這樣直接引出結(jié)論，鋪墊不足，教學(xué)效果不盡如人意。

鑒于此，筆者對教材內(nèi)容進行重構(gòu)，以實現(xiàn)思維視角下的整體把握。具體做法如下。

首先，借助“工具庫——兩點之間線段最短”喚醒學(xué)生對三角形三邊的關(guān)系的認(rèn)識。以問題驅(qū)動為著力點，激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望，讓學(xué)生從解決問題開始，初步感悟“圍得成”和“圍不成”。

其次，激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)潛能。通過“猜想—驗證—歸納”數(shù)學(xué)活動，將核心問題“三角形三邊的關(guān)系”貫穿課堂的始終，由淺入深探究“圍得成”和“圍不成”。

最后，設(shè)計具有思維張力的練習(xí)。讓學(xué)生運用所學(xué)的知識快速判斷所給的數(shù)據(jù)能不能圍成三角形，以練習(xí)促進學(xué)力提升，使學(xué)生能夠構(gòu)建探究三角形三邊的關(guān)系的方法，優(yōu)化“圍得成”。（如圖1）

整節(jié)課圍繞探索三角形三邊的關(guān)系展開，設(shè)置不同的學(xué)習(xí)推進點，促進學(xué)生表達自己的觀點與思考。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷“初悟—深究—思辨”的學(xué)習(xí)路徑，進而形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、促進素養(yǎng)生長的學(xué)習(xí)活動重建與教學(xué)應(yīng)用

為了促進學(xué)生素養(yǎng)的生長，筆者對學(xué)習(xí)活動進行了系統(tǒng)重建，通過問題導(dǎo)引、任務(wù)驅(qū)動、活動參與等方式，引領(lǐng)學(xué)生充分經(jīng)歷具有挑戰(zhàn)性與開放性的學(xué)習(xí)活動，使學(xué)生在活動中強化數(shù)學(xué)理解，感悟數(shù)學(xué)思想，積累活動經(jīng)驗。

1.操作辨?zhèn)危撼醪襟w會“圍不成”

核心素養(yǎng)視域下的課堂教學(xué)聚焦“圖形與幾何”知識的特性，強調(diào)數(shù)學(xué)核心概念的理解與認(rèn)同。因此，教師可以以問題探究的形式拋出問題，引領(lǐng)學(xué)生開啟對本課知識的學(xué)習(xí)。

問題：如圖2，將左邊的三角形的三條邊展開，就得到了一條長12米的線段。想一想，把這條線段任意分成三段，是不是都能圍成三角形？

筆者讓學(xué)生小組合作，想一想、剪一剪、擺一擺、說一說。學(xué)生將圖與算式有機結(jié)合，列出了六種可能的情況（如圖3）。筆者基于學(xué)生認(rèn)知起點，追加問題，有序推進知識建構(gòu)，讓學(xué)生初步掌握知識。

本環(huán)節(jié)中，筆者依次提出三個問題：“這三條線段能圍成三角形嗎？我們是怎樣進行比較的？這三條線段的長度之間有什么關(guān)系？”學(xué)生借助圖形觀察與思考，實現(xiàn)圖形與結(jié)論的關(guān)聯(lián)，初步感受到：能不能圍成三角形和線段的長短有關(guān)；圍得成三角形時，任意兩條線段的長度之和都大于第三條線段的長度。為引導(dǎo)學(xué)生深入分析，在抽象算式的過程中理解核心問題，筆者又提出三個問題： “長1米、4米和7米的三條線段，為什么圍不成三角形？長3米、4米和5米的三條線段長度之間有什么關(guān)系？長2米、4米和6米的三條線段能圍成三角形嗎？”教師引導(dǎo)學(xué)生緊緊圍繞問題有序進行探索，以自己圍成的圖形為素材，用算式分析“圍得成”與“圍不成”，初步發(fā)現(xiàn)三角形三邊之間的關(guān)系：1+4<7，1+7>4，4+7>1；3+4>5，3+5>4，4+5>3。由此，學(xué)生初步猜想：只要有兩條線段的長度之和小于第三條線段的長度，這三條線段就圍不成三角形。學(xué)生用算式進行數(shù)據(jù)分析，梳理三角形三邊的關(guān)系，提升了邏輯思維能力，為深入探索知識奠定了基礎(chǔ)。

2.推理揭秘：深度理解“圍得成”

本環(huán)節(jié)是整節(jié)課的核心環(huán)節(jié)。培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力，不但要讓學(xué)生明白“是什么”，而且要讓學(xué)生明白“為什么”。在第一階段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)初步了解了三角形三邊的關(guān)系的相關(guān)結(jié)論，此時的教學(xué)應(yīng)逐步爬坡，讓學(xué)生進一步推理，揭秘“為什么”，引領(lǐng)學(xué)生的思維走向高階，使其對三角形三邊的關(guān)系的理解從淺顯走向深刻。

（1）深入挖掘，探究活動數(shù)據(jù)

本環(huán)節(jié)設(shè)置了兩個教學(xué)推進點。第一個是先把12米改寫成120分米和1200厘米（如圖4），提問：這三條線段能圍成三角形嗎？三條線段之間又有怎么樣的關(guān)系？第二個是提問：如果把120分米改寫成1200厘米、12000毫米，再將其任意分成三段后圍三角形，有多少種不同的圍法？

同樣長的三條線段，由于單位不同，分成三段的長度組合也不同，提供了多樣化的研究數(shù)據(jù)。用多樣化的數(shù)據(jù)引發(fā)多元的“推算—推理—驗證”，從特殊到一般，在實現(xiàn)更高層次的抽象與概括的同時不斷完善結(jié)論。

（2）溯本求源，強化知識本質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)既要溯源而上，揭示知識從何處來，又要順勢而下，抵近知識本質(zhì)。在此環(huán)節(jié)中，教師將學(xué)生的課堂生成轉(zhuǎn)化為教學(xué)素材，緊扣三角形三邊的關(guān)系這一核心，圍繞一個觀察點和一個研究點，凸顯知識本質(zhì)，促進學(xué)生對知識的深度理解。

觀察點在于“圍得成”與“圍不成”。先把12米改寫成120分米，再把長120分米的線段任意分成三段，就多了許多分法，分得的線段是否符合之前的猜想呢？“（30，89，1）這三條線段能圍成三角形嗎？這三條線段之間有怎樣的關(guān)系？（30，88，2）能圍成三角形嗎？列出算式。（30，60，30）這組線段為什么圍不成三角形？”筆者借助動態(tài)演示，通過一系列問題驅(qū)動學(xué)生用算式來辨別三條線段能否圍成三角形，給學(xué)生提供了豐富的想象空間，讓他們直觀感知“圍得成”與“圍不成”。

同時，引發(fā)一個研究點：辨析“圍得成”與“圍不成”。筆者引導(dǎo)學(xué)生在觀看動態(tài)演示的過程中思考：“長度由（30，60，30）開始慢慢變化，變?yōu)椋?0，59，31）時（如圖5），這三條線段為什么能圍成三角形呢？”這一問題成功激發(fā)了學(xué)生進行深度思考。有學(xué)生說是因為在這組線段中，無論是哪兩條邊的長度之和都比第三條邊的長度大。學(xué)生帶著這樣的認(rèn)識，繼續(xù)探索（30，58，32）、（30，57，33）、（30，59，31）……（30，30，60）（如圖6）。這時，又回到了“圍不成”的情況。學(xué)生漸漸領(lǐng)悟到：只要任意兩條邊的長度之和大于第三邊，就能圍成三角形。此外，學(xué)生加深了對三角形三邊關(guān)系的理解，真切體會了“圍得成”與“圍不成”的區(qū)別與聯(lián)系。

筆者在突破教學(xué)難點時注重推理揭秘，引領(lǐng)學(xué)生層層深入，深挖知識內(nèi)涵，直抵知識本質(zhì)，使學(xué)生不斷經(jīng)歷“圍得成”與“圍不成”的轉(zhuǎn)換過程，提升思維能力。

3.思辨生成：精準(zhǔn)把握“圍得成”與“圍不成”

本環(huán)節(jié)既有學(xué)生的“思”——思考知識體系的構(gòu)建，又有學(xué)生的“辨”——運用結(jié)論進行辨析，優(yōu)化判別方法。

（1）凸顯知識延伸的一致性

筆者提問：“用a、b、c分別表示三角形三條邊的長度，它們之間有什么關(guān)系？”學(xué)生根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗脫口而出：“三角形任意兩條邊的長度之和大于第三邊的長度。”這時，筆者基于結(jié)構(gòu)化、整體性的意識與思維，利用知識間的聯(lián)系順勢而導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生聚焦到“兩點之間線段最短”上（如圖7），體會兩者的一致性。

（2）強化深度理解的優(yōu)越性

練習(xí)是鞏固學(xué)習(xí)成果的重要手段，也是構(gòu)建知識系統(tǒng)的重要一環(huán)。筆者利用已有的教學(xué)資源做了一個有機整合，設(shè)置了一定量的練習(xí)（如圖8），既包括知識的鞏固，又包括方法的靈活應(yīng)用和逐步優(yōu)化，以促進學(xué)生思維碰撞。

判斷下面三條線段能否圍成三角形。（在□里畫“√”）

這個看似簡單的問題，卻包含著數(shù)學(xué)思維的進階。學(xué)生在理解并運用結(jié)論的基礎(chǔ)上，快速優(yōu)化方法，即只需要比較較短的兩條線段的長度之和是否大于最長的線段即可，從而提升了學(xué)習(xí)力。

三、深化素養(yǎng)生長的習(xí)題拓展與持續(xù)發(fā)展

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個循序漸進、主動建構(gòu)，不斷擴充與完善知識體系的過程。適度進行習(xí)題拓展有助于延伸知識點，促進思維爬坡，提升解決問題的能力。對三角形三邊的關(guān)系的理解屬于數(shù)學(xué)知識理解的基本范疇。教學(xué)需要超越知識，學(xué)生只有理解了“為什么”，才能觸及數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

拓展性練習(xí)：用一根長12米的籬笆一面靠墻圍一塊三角形菜地，墻長6米（如圖9），有多少種不同的圍法？（取整厘米數(shù)）

這是一個富有挑戰(zhàn)性的問題。教學(xué)中，筆者抓住學(xué)生討論過程中出現(xiàn)的兩個疑問引導(dǎo)學(xué)生深入探究。疑問一：怎么運用三角形三邊的關(guān)系解題？要解決這一疑問，需要學(xué)生感悟所學(xué)的知識，既要實現(xiàn)知識之間的融合，又要掌握將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的方法。筆者以素養(yǎng)的生長為出發(fā)點，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識“再發(fā)現(xiàn)—再創(chuàng)造”的過程，真正提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。疑問二：如何采用有效的方法來解答？筆者認(rèn)為，一方面，教師要啟發(fā)學(xué)生厘清問題，從所學(xué)知識著手，將問題納入已有的知識框架，注重數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)與創(chuàng)造，實現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的擴充與生長；另一方面，教師要鼓勵學(xué)生分小組合作，用好已有的材料，進行多路徑辨析，并相互交流。學(xué)生經(jīng)過嘗試和思辨后找到解決這類問題的一般方法，即一一列舉法（如圖10）。用一一列舉法既能完整地列舉出所有符合條件的情況，又能幫助學(xué)生養(yǎng)成全面思考的習(xí)慣。另外，學(xué)生在對每一種情況都進行辨析的過程中，還能養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣，從而提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

拓展練習(xí)的設(shè)計需要考慮學(xué)生對新知識的整體理解與感悟，素材及問題共同指向?qū)W生的素養(yǎng)生長。同時，學(xué)生生成性資源的展示與交流，也會促使學(xué)生進一步打開思路，加深理解，強化認(rèn)識，并掌握解決一類問題的基本方法，形成基本技能。這既是數(shù)學(xué)知識的遷移，也是數(shù)學(xué)技能的提升，為學(xué)生今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)性發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。

（責(zé)編吳美玲）