三棱鏡出射角和偏向角以及折射率的MATLAB可視化

劉天貴，周群益，莫云飛，王培穎，周艷明

(1．湖南大學 物理與微電子科學學院，湖南 長沙 410082；2．廣州理工學院 通識教育學院，廣東 廣州 510540；3．長沙學院 電子信息與電氣工程學院，湖南 長沙 410022)

三棱鏡的折射是一個典型的光學問題，分光計是大學物理實驗中重要的光學測量平臺，利用分光計測量三棱鏡折射率是典型的大學物理實驗之一，許多物理實驗教材和研究論文都有討論[1-12]。其中有學者對偏向角與入射角以及折射率的之間的關系進行了研究[3-6]。顧菊觀[3]從幾何光學理論系統(tǒng)地討論了棱鏡偏向角與頂角的關系,并由Matlab繪出棱鏡頂角與棱鏡最小入射角、材料折射率的關系曲線.葛松華等[4]根據(jù)三棱鏡偏向角與人射角的關系，討論了最小偏向角和最小入射角，用MATLAB給出了偏向角與入射角的關系曲線和最小偏向角與折射率的關系曲線．李軒和張雪[5]討論了在有出射光線的情況下，三棱鏡的規(guī)格參數(shù)、棱鏡頂角和折射率對入射角和折射角的影響；用MATLAB建立了偏向角與入射角、棱鏡頂角及折射率之間的關系．文獻[3-5]沒有附計算機程序．李曉勤討論了偏向角與入射角之間的關系，并繪制了曲線族；用表格列出了臨界入射角和對應的偏向角與折射率之間的關系；還用表格列出了最小偏向角和對應的入射角與折射率之間的關系，并附加了計算程序[6]．不過，文獻[6]還缺少出射角與入射角之間的關系曲線，也沒有臨界入射角和對應的偏向角與折射率之間的關系曲線，還沒有最小偏向角和對應的入射角與折射率之間的關系曲線．在不同折射率下偏向角與入射角的關系曲線，水平部分沒有意義，而三棱鏡的折射率公式出現(xiàn)差錯．雖然文獻附有計算機程序，但是程序難于解讀。

本文利用出射角與入射角的關系式，說明了臨界入射角與折射率之間的關系，詳細證明了最小偏向角的公式，說明了：當偏向角最小時，入射角與出射角關于三棱鏡是對稱分布的。本文用曲線族顯示出射角和偏向角與入射角之間的關系，用曲線顯示臨界入射角和最小偏向角與折射率之間的關系，用曲面顯示了折射率與入射角和出射角之間的關系。本文附有MATLAB程序，易懂也易于執(zhí)行。

1 三棱鏡出射角與入射角之間的關系

如圖1所示，三棱鏡ABC的頂角為α，取為π/3(60°)；i是鏡外入射角，R是鏡內折射角，I是鏡內入射角，r是鏡外出射角，δ是偏向角?？諝獾恼凵渎嗜?，三棱鏡折射率為n．根據(jù)折射定律可得兩個折射方程。

圖1 三棱鏡的光路圖

sini=nsinR

(1)

sinr=nsinI

(2)

在三角形ADE中，由于

所以

α=R+I

(3)

利用式(3)，式(2)可化為

sinr=nsin(α-R)=n(sinαcosR-cosαsinR)

利用式(1)，上式可化為

(4)

可見：當n一定時，出射角r是入射角i的函數(shù)。如果n=1，由上式可得

sinr=sin(α-i)

因此

r+i=α

(5)

說明：當三棱鏡的折射率與空氣折射率相同時，入射光將無偏折地穿過三棱鏡。當r>90°時，鏡內入射光將發(fā)生全反射，當r=90°時，鏡外入射角是臨界角iC，由式(4)可得方程

解得臨界入射角為

(6)

可見：iC隨著n的增加而增加。不過，要發(fā)生全反射，n不能無限制地增加．令iC=90°，由上式可得方程

解得

(7)

當α=60°時，可得nm=2；要發(fā)生全反射，必須滿足條件1

利用MATLAB可設計程序，繪制不同折射率的出射角的曲線族[7](見附錄)。

如圖2所示，折射率n取1.1到1.9的值，間隔為0.2，出射角r隨入射角i變化是單調下降的曲線，沒有極值；折射率越大，入射角和出射角的范圍就越小。當折射率比較小時，入射角和出射角的范圍就比較大；當i或r小于零時，表示入射角或出射角在法線的另一側。

i/°

將出射角r當作自變量，由式(4)可以解得

(8)

這是i關于r的函數(shù)，是式(4)的反函數(shù)．上式與式(4)在形式上是相同的，這是因為入射光和折射光是可逆的，即光路可逆，所以在圖2中，r-i曲線族關于r=i軸是對稱的。

2 三棱鏡偏向角與入射角之間的關系

由圖1可知：三棱鏡的偏向角為

δ=(i-R) + (r-I)=i+r-α

(9)

將式(4)代入上式，可得

(10)

可見：當n一定時，偏向角δ是入射角i的函數(shù)。當r=π/2(90°)時，可得臨界入射角所對應的偏向角

(11)

可見：iC對應的偏向角δC與臨界入射角iC成線性關系．當δC=0°時，iC=α-90°；當iC=90°時，δC=180°-α．利用式(6)，上式可化為

(12)

可見：δC隨著n的增加而增加。

如圖3所示，臨界入射角iC隨著折射率n的增加而單調增加，當n→2時，iC→90°；當n→1時，iC→-30°．如果iC=0，表示入射光沿法線方向入射而產生全反射，由式(6)可得方程

n

解得

(13)

當三棱鏡折射率滿足1

如圖4所示，不論折射率n如何，三棱鏡的偏向角δ都是入射角i的先降后升的曲線族，存在極小值；臨界入射角所對應的偏向角分布在一條直線上．當i=90°時，δ的值恰好等于臨界值δC。折射率越大，臨界入射角iC就越大，但是入射角的范圍(iC,90°)就越小。

i/°

為了求偏向角的極小值，式(9)對i求導數(shù)可得

(14)

將式(1)-(3)對i求導數(shù)，可得三個微分方程

cosi=R′ncosR

r′cosr=I′ncosI

R′ +I′=0

由此可得

將上式代入式(14)，令δ′=0，可得1+r′=0，從而可得三角方程

cosRmcosrm=cosImcosim

利用兩個折射公式消除rm和im，可得方程

cos2Rm(1-n2sin2Im)=(1-sin2Im)(1-n2sin2Rm)

上式展開后化簡可得

(n2-1)sin2Rm=(n2-1)sin2Im

因此Rm=Im(取負號無意義)。將此式代入兩個折射公式可得rm=im．這時，偏向角最小，用δm表示。rm=im說明：在偏向角最小的情況下，入射線和出射線關于三棱鏡是對稱分布的。

將rm=im代入式(9)中，可得最小偏向角公式[5,8-10]

δm=2im-α

(15)

這就是式(15)。這種證明δ極小值的方法最簡單。

由此可見：δm與im成線性關系．當δm=0°時，im=α/2；當im=90°時，δm=180°-α。在圖4中，最小偏向角δm所對應的入射角im分布在一條直線上；折射率n越大，最小偏向角δm就越大。

將rm=im代入式(4)可得三角方程

可以解得

(16)

可見：最小偏向角δm所對應的入射角im由折射率n決定。利用上式，式(15)可化為

(17)

可知：最小偏向角δm由折射率n決定．。

如圖5所示，最小偏向角δm和對應的入射角im隨著折射率n的增加而單調增加。當n的定義域取在(1,2)之間時，im的值域是(30°,90°)，δm的值域是(0,120°)。

n

3 分光計中三棱鏡的最小偏向角

分光計中三棱鏡的位置如圖6所示。

圖6 分光計內外的光路圖

設入射光的初始入射角為i0，如果已知折射率n，需要適當選擇i0，使之滿足條件iC

i=i0+θ

(18)

出射角r由式(4)決定，偏向角δ由式(9)或式(10)計算．由于i是θ的函數(shù)，所以r和δ都是θ的函數(shù)。

在分光計的實驗中，偏向角δ將隨著旋轉角θ的增加而減小。當δ取極小值δm時，再增加θ，δ將增加。測得與極小值δm對應的旋轉角為θm，由式(18)可得對應的入射角

im=i0+θm

(19)

利用式(15)可得最小偏向角δm。

三棱鏡對鈉黃光的折射率為n=1.618，當i0=40°時，出射角r和偏向角δ與旋轉角θ的關系如圖7所示。出射角r是單調遞減的曲線，偏向角δ是先降后升的曲線。當旋轉角為θm=14°時，最小偏向角為δm=48°。

θ/°

4 折射率的計算

如果測得某種單色光通過三棱鏡中最小偏向角δm，由式(17)可得三棱鏡的折射率

(20)

如圖8所示，當i0=40°時，如果測得某種單色光的最小偏向角為δm=30°，則三棱鏡對這種單色光的折射率為n=1.414。

θ/°

在最小偏向角難于觀測的情況下，利用式(4)可以解得任意入射角i和出射角r所對應的折射率。

(21)

當r=i=im時，由上式可得

(22)

由式(15)可得im=(δm+α)/2，代入上式既得式(20)?？梢姡菏?20)是式(21)的特例。

單色光折射率n隨入射角i和出射角r的變化曲面如圖9所示，n為常數(shù)的線是等高線，就是說：同一個折射率可用多個入射角和出射角測得；只有中間的曲線代表入射角和出射角相等時的折射率。如果測得某種單色光的r=i=45°時，偏向角最小，三棱鏡對這種單色光的折射率為n=11.414。圖9的俯視圖如圖2所示，當n=1時，由式(21)可得直線方程r+i=α，即式(5)，這是曲面與n=1的等高線的交線。

圖9 單色光三棱鏡任意入射角和出射角的折射率

5 結 語

MATLAB是研究大學物理光學實驗的很好的工具，通過圖像可以發(fā)現(xiàn)問題并提示解決問題的思路。在三棱鏡的公式中，根據(jù)不同折射率的出射角隨入射角變化的曲線族，發(fā)現(xiàn)所有曲線都是單調下降的，關于正比例斜軸是對稱分布的，發(fā)現(xiàn)臨界角隨折射率的變化規(guī)律。根據(jù)不同折射率的偏向角隨入射角變化的曲線族，發(fā)現(xiàn)臨界入射角分布在一條直線上，最小偏向角也分布在一條直線上，進而發(fā)現(xiàn)最小偏向角隨折射率的變化規(guī)律。當入射光方向一定時，通過旋轉三棱鏡，觀察最小偏向角，即可求出折射率。通過折射率隨入射角和出射角的曲面，說明根據(jù)任意入射和出射角都可以測量折射率，利用最小偏向角測試折射率屬于特殊情況。

MATLAB編程在三棱鏡實驗中的應用十分廣泛，不但可以顯示角度的變化規(guī)律，還可以模擬三棱鏡中光的偏向角變化的動畫，甚至演示白光通過三棱鏡的色散現(xiàn)象。