初中數(shù)學(xué)題組設(shè)計(jì)的實(shí)踐與思考

林華香

（福州市長樂區(qū)朝陽中學(xué)，福建 福州）

初中數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué)，題組教學(xué)是解題教學(xué)的一種卓有成效的方法。題組的質(zhì)量直接關(guān)系到題組教學(xué)的成敗，所以題組的設(shè)計(jì)是開展題組教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。在初中數(shù)學(xué)題組教學(xué)中，教師要依據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的實(shí)際情況設(shè)計(jì)彼此之間聯(lián)系緊密、有效的題組，最大限度地發(fā)揮題組教學(xué)的作用，才能事半功倍地提高課堂教學(xué)效果。為此，筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，從以題串知、以題辨知、以題促能、以題區(qū)知、以題滲思這五個方面對如何科學(xué)、合理地設(shè)計(jì)題組進(jìn)行了深刻的思考。

一、在知識網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)處設(shè)計(jì)題組，以題串知

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課知識點(diǎn)多、錯綜散亂，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課往往是教師直接展示知識點(diǎn)或以一問一答的方式幫助學(xué)生梳理知識點(diǎn)后，學(xué)生做練習(xí)，然后教師講評。在梳理知識點(diǎn)的整個過程中，學(xué)生覺得沒有新意，枯燥乏味聽不進(jìn)去，收效甚微。若能圍繞復(fù)習(xí)目標(biāo)把復(fù)習(xí)課所要掌握的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法設(shè)置成相關(guān)聯(lián)的問題串，像把散落的珍珠串成項(xiàng)鏈一樣串成一條線，定能收獲事半功倍的教學(xué)效果。比如復(fù)習(xí)“一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”時，設(shè)計(jì)如下的題組：

習(xí)題：已知函數(shù) y=（k+3）x+k-1

題1.①當(dāng)k≠____時，該函數(shù)為一次函數(shù)；

②當(dāng)k=____時，該函數(shù)為正比例函數(shù).

題 2.當(dāng) k=-1 時

①一次函數(shù)圖象過第__________象限；

②點(diǎn) A（a-4，b），B（a，c）是一次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則b___c；

③將直線 y=（k+3）x+k-1 沿 y 軸向下平移 3 個單位，得到直線_____________.

題 3.若該函數(shù)的圖象與 x 軸交于點(diǎn) A（2，0）、y 軸交于點(diǎn)B，求它與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積.

題 4.若直線 l1：y=（k+3）x+k-1 與坐標(biāo)軸只有一個交點(diǎn)，與過點(diǎn) A（2，2）的直線 l2交于點(diǎn) B（-1，b），求直線l2的解析式.

題 5.若點(diǎn) A（a，b），B（a+1，2b-1）是一次函數(shù) y=（k+3）x+k-1 圖象上的兩點(diǎn)，1＜k＜3，求 b 的取值范圍.

上面的題組從每個小題自身來說分別復(fù)習(xí)鞏固了一次函數(shù)的定義、圖象分布、函數(shù)增減性、圖象變換、圖象與橫軸和縱軸圍成的圖形面積、一次函數(shù)解析式的求法、消參法解決純函數(shù)問題這七個知識點(diǎn)，每個小題通過函數(shù)y=（k+3）x+k-1 串在了一起，題組的解決和教師恰如其分的點(diǎn)撥，學(xué)生在這些知識之間構(gòu)成了知識網(wǎng)絡(luò)，加深了理解各知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)的知識系統(tǒng)化，避免了傳統(tǒng)復(fù)習(xí)課的碎、散，而且學(xué)生節(jié)約了不少審題時間，就有更多深入思考的時間。這樣的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課更加簡約、更加深刻，這是各個小題自身所起不到的作用。

二、在公式、法則、性質(zhì)、定理的模糊處設(shè)計(jì)題組，以題辨知

初中數(shù)學(xué)的公式、法則、性質(zhì)、定理是初中數(shù)學(xué)解題的主要依據(jù)，是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的重要組成部分，這些內(nèi)容的教學(xué)非常重要。教學(xué)中學(xué)生對數(shù)學(xué)公式本質(zhì)屬性的理解需要一個過程，初學(xué)時錯誤較多。例如在平方差公式的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生亂用平方差公式或者不懂得使用公式簡化運(yùn)算，學(xué)生通常要經(jīng)過好幾次錯誤糾正后才能掌握，原因主要是學(xué)生對平方差公式結(jié)構(gòu)特征的本質(zhì)屬性理解模糊，所以在平方差公式教學(xué)時，運(yùn)用多項(xiàng)式運(yùn)算推導(dǎo)出平方差公式后可以通過變換項(xiàng)的系數(shù)、符號、位置、順序變式設(shè)計(jì)題組，這樣學(xué)生對平方差公式的結(jié)構(gòu)理解過程就會縮短。

題1.（a+2b）（a-2b）

題2.（-a+2b）（-a-2b）

題3.（a+2b）（-a+2b）

題4.（2b+a）（a-2b）

題5.（2b-a）（-2b-a）

題6.（a+2b）（a-2b）（a2+4b2）

通過上面的題組對比引導(dǎo)學(xué)生辨清平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，使其不受系數(shù)變化、符號變化、位置變化、順序變化影響，加深對平方差公式的深層次理解，對具有平方結(jié)構(gòu)的兩個二次項(xiàng)的乘積的運(yùn)算，學(xué)生自然而然就會正確、靈活地運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算，就不會利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則一項(xiàng)一項(xiàng)乘起來，從而減少了運(yùn)算量，簡化了運(yùn)算步驟，提高了運(yùn)算速度，從而也會提高運(yùn)算正確率和運(yùn)算能力。上面題組中的每一道題無論以哪一種形式出現(xiàn)，無論從哪個角度思考都根據(jù)相同的定理，它有利于學(xué)生牢固掌握某一重要公式、法則、性質(zhì)、定理，提高靈活運(yùn)用公式、法則、性質(zhì)、定理的能力。

三、在知識理解的難點(diǎn)處設(shè)計(jì)題組，以題促能

題組教學(xué)是突破難點(diǎn)行之有效的途徑，在知識理解的難點(diǎn)處根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知能力和解題能力，把難題分解成相關(guān)聯(lián)的題題遞進(jìn)、由易到難的幾道小題，形成題組，這樣就可以降低難度，讓學(xué)生沿著教師設(shè)計(jì)好的臺階一級一級往上走。如“實(shí)際問題與二次函數(shù)——如何獲得最大利潤”中的探究2，綜合性極強(qiáng)，難度比較大，學(xué)生根本不知道如何入手——想不到要分兩種情況，也想不到采取怎樣的解題策略，無從下手，所以可以對教材進(jìn)行改造，設(shè)計(jì)如下題組，為陡峭的山坡鋪設(shè)三個臺階。

例題：已知某商品的進(jìn)貨單價是每件40 元。

（1）如果每周的銷售數(shù)量y（件）和銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+90。當(dāng)銷售單價定為多少元時，周利潤最大？

（2）現(xiàn)在的銷售單價是每件60 元，每周可以售出300 件。如果銷售單價每漲價1 元，每周的銷售量減少10 件。當(dāng)銷售單價定為多少元時，周利潤最大？

（3）現(xiàn)在的銷售單價是每件60 元，每周可以售出300 件。如果銷售單價每降價1 元，每周的銷售量增加20 件。當(dāng)銷售單價定為多少元時，周利潤最大？

通過第（1）題讓學(xué)生理解如何解決利用二次函數(shù)的性質(zhì)求實(shí)際問題的最值問題，然后由第（1）題進(jìn)行變式設(shè)計(jì)出第（2）題最后到第（3）題，作為鋪墊的前三題都解決了，學(xué)生熟練掌握了這一類型題目的解題方法，再引導(dǎo)學(xué)生完成教材中的探究題。由易到難，題題遞進(jìn)，這樣的處理使難點(diǎn)得到了有效的突破，也適應(yīng)不同層次學(xué)生的不同需求。

四、在思維定式的負(fù)遷移處設(shè)計(jì)題組，以題區(qū)知

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生思維定式的負(fù)遷移是司空見慣而又無法避免的客觀現(xiàn)象，因此教師在教學(xué)中要采取相應(yīng)的措施努力克服它的負(fù)遷移影響，借助題組教學(xué)是克服思維定式的有效途徑。如在二次函數(shù)的最值教學(xué)中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生經(jīng)常會忽視自變量的取值范圍，錯誤地認(rèn)為拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最值，究其原因，主要是平常遇到的題目自變量范圍大部分都是全體實(shí)數(shù)，所以很有必要把求二次函數(shù)最值的所有不同類型的題目放在一起對比探究，讓學(xué)生辨清楚它們的本質(zhì)區(qū)別。

題 1.當(dāng)-2＜x≤3 時，求函數(shù) y=-x2-2x+3 的最大值和最小值.

題 2.當(dāng)-2＜x≤3 時，函數(shù) y=-x2-2x+m 的最小值為-5，求 m 的值.

題 3.當(dāng) m≤x≤m+2 時，函數(shù) y=-x2-2x+m 的最大值是-2，求 m 的值.

題 4.當(dāng) 1≤x≤3 時，函數(shù) y=（x-m）2+3 的最小值是2m，求 m 的值.

題 5.當(dāng) m≤x≤m+3 時，函數(shù) y=x2+mx+m2的最小值為 21，求 m 的值.

上述這五道題不但包含求二次函數(shù)最值的所有不同類型，而且學(xué)生通過對比提煉出解決它們的方法都是一樣的——數(shù)形結(jié)合法。通過這五道題目分析、對比，學(xué)生領(lǐng)悟到二次函數(shù)最值求解的通性、通法，而且消除了“拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是二次函數(shù)的最值”這一知識的負(fù)遷移，從而有效克服思維定式，思維的靈活性也得到了培養(yǎng)。

五、在思想方法的提煉處設(shè)計(jì)題組，以題滲思

數(shù)學(xué)思想方法就是數(shù)學(xué)的靈魂，掌握了數(shù)學(xué)思想方法就掌握了數(shù)學(xué)的精髓，所以數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵是要教會學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識背后的思想方法。而通過題組教學(xué)可以充分暴露學(xué)生的思維過程，讓每一個學(xué)生都自覺地參與到思維活動中，用心領(lǐng)悟隱藏在知識背后的思想方法，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。配方法是非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)用極其廣泛，在不同的知識領(lǐng)域中發(fā)揮著極其重要的作用，所以我在中考總復(fù)習(xí)時把配方法作為一個專題進(jìn)行復(fù)習(xí)，通過如下題組把配方法不同類型的題目串起來。

題1.求二次三項(xiàng)式2x2-4x-3 的最小值.

題2.解一元二次方程2x2-4x-3=0.

題3.求二次函數(shù)y=2x2-4x-3 的最小值.

題 4.已知 x2+6x+y2-4y+13=0，求 xy 的值.

題5.求多項(xiàng)式x2+2y2-2x+4y+2023 的最小值.

題 6.若 A=2x2-x+3，B=x2+x，判斷 A 與 B 的大小關(guān)系.

這些題目雖貌似各異，但本質(zhì)相同，解法一致，運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法相同，都是配方法，目的都是運(yùn)用“任何一個數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)”的性質(zhì)來解決問題，難點(diǎn)是學(xué)生不知道到底加上什么數(shù)的平方，易錯點(diǎn)是什么時候提取二次項(xiàng)系數(shù)、什么時候除以二次項(xiàng)系數(shù)。通過上面題組的深入對比學(xué)習(xí)，學(xué)生對配方法必然會有更深的理解——徹底明白如何配方和配方的意義以及配方法的不同應(yīng)用，那么對配方法的應(yīng)用自然會更加得心應(yīng)手。

六、結(jié)語

題組的設(shè)計(jì)是開展題組教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，決定著題組教學(xué)能否取得良好的教學(xué)效果，所以教師一定要在題組的設(shè)計(jì)上下功夫，設(shè)計(jì)出科學(xué)、有效的題組，才能取得與傳統(tǒng)教學(xué)不一樣的良好效果，讓題組教學(xué)煥發(fā)它應(yīng)有的光芒。