一類張量方程的可解性及其最佳逼近問(wèn)題 ①

代麗芳， 梁茂林

天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 甘肅 天水741001

張量是數(shù)值多重線性代數(shù)的主要研究對(duì)象， 其在量子力學(xué)、 心理測(cè)量學(xué)、 化學(xué)計(jì)量學(xué)、 信號(hào)處理、 高階統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域有重要應(yīng)用[1-3]． 張量是向量和矩陣的高階推廣， 它的許多性質(zhì)與矩陣情形類似， 但也有很大不同[4]． 張量相關(guān)問(wèn)題的研究要比矩陣情形復(fù)雜得多． 目前， 在張量分解、 張量的低秩逼近、 張量互補(bǔ)問(wèn)題、 張量特征值問(wèn)題和張量方程等方面已有諸多研究成果[4-9]． 本文考慮基于Einstein積[10]的一類張量方程的求解問(wèn)題．

若張量A=(ai1i2… imj1j2… jn)∈CI1×I2×…×Im×J1×J2×…×Jn，B=(bj1j2… jnk1k2… kp)∈CJ1×J2×…×Jn×K1×K2×…×Kp， 則它們的Einstein積A*nB為I1×I2×…×Im×K1×K2×…×Kp-維張量， 依據(jù)文獻(xiàn)[7]定義其元素為

進(jìn)一步， 設(shè)張量S=(ai1i2… imj1j2… jn)，T=(bk1k2… kml1l2… ln)且S，T∈CI1×I2×…×Im×J1×J2×…×Jn， 則其內(nèi)積定義為

定義1設(shè)張量A=(ai1i2… imj1j2… jn)∈CI1×I2×…×Im×J1×J2×…×Jn， 則其共軛轉(zhuǎn)置AH定義為

若張量A∈CI1×I2×…×Im×I1×I2×…×Im滿足條件AH=A， 則稱之為Hermitian張量．

若定義1中A是實(shí)張量， 則共軛轉(zhuǎn)置退化為轉(zhuǎn)置[7]． 值得一提的是， 最新的研究發(fā)現(xiàn)， Hermitian張量在量子糾纏中有實(shí)際應(yīng)用[11]． 本文考慮張量方程

A*nX=B

(1)

的Hermitian解， 這里A，B∈CP1×P2×…×Pm×I1×I2×…×In為已知張量，X∈CI1×I2×…×In×I1×I2×…×In為未知的Hermitian張量． 張量方程(1)在控制系統(tǒng)、 連續(xù)力學(xué)等領(lǐng)域有實(shí)際應(yīng)用[7，11]． 例如， 對(duì)于2-維泊松方程

Ω={(x，y)|0≤x，y≤1}， 利用中心差分格式， 可以離散為張量方程[7]

A*2U=F

(2)

這里張量A∈RN×N×N×N的非零元為

F∈RN×N， 對(duì)于沒(méi)有約束條件的張量方程(1)， 文獻(xiàn)[7]引入了張量逆的概念， 得到了它的最小二乘解． 進(jìn)一步， 作為張量逆的推廣形式， 文獻(xiàn)[12]提出了張量的Moore-Penrose廣義逆， 并討論了張量方程(1)的可解性及其通解形式．

在圖像處理等領(lǐng)域的應(yīng)用中， 考慮方程解的特殊結(jié)構(gòu)是降低算法復(fù)雜度的重要途徑[13]， 但是對(duì)于帶有約束條件的形如方程(1)的張量方程求解問(wèn)題尚無(wú)研究． 借助張量的Moore-Penrose廣義逆的性質(zhì)， 我們將建立張量方程組(1)有Hermitian解的充要條件， 并得到有解時(shí)的一般解表達(dá)式． 進(jìn)一步， 將考慮張量方程(1)約束下的張量逼近問(wèn)題．

(3)

其中Θ表示張量方程(1)的所有Hermitian解的集合．

1 主要結(jié)果及證明

為了研究Hermitian張量約束下的張量方程(1)的求解問(wèn)題， 我們首先引入如下引理， 這對(duì)得出本文的主要結(jié)果是十分重要的．

引理1[19]設(shè)F∈CI1×I2×…×Im×J1×J2×…×Jn，G∈CK1×K2×…×Kp×L1×L2×…×Lq，E∈CI1×I2×…×Im×L1×L2×…×Lq， 則張量方程F*nZ*pG=E有解當(dāng)且僅當(dāng)F*nF+*mE*qG+*pG=E， 此時(shí)它的通解為

Z=F+*mE*qG++Y-F+*mF*nY*pG*qG+

其中張量Y∈CJ1×J2×…×Jn×K1×K2×…×Kp是任意的．

引理2設(shè)張量A，B∈CP1×P2×…×Pm×I1×I2×…×In， 則張量方程(1)有Hermitian解的充要條件為張量方程組

(4)

有一般解．

由引理2可見(jiàn)， 求解張量方程(1)的Hermitian解等價(jià)于求解張量方程組(4)的一般解． 基于此， 我們得到如下定理．

定理1設(shè)張量A，B∈CP1×P2×…×Pm×I1×I2×…×In， 則張量方程(1)有Hermitian解的充要條件為

A*nBH=B*nAH，A*nA+*mB=B

(5)

此時(shí)它的一般解為

(6)

證根據(jù)張量Moore-Penrose廣義逆的性質(zhì)和引理1可知， 張量方程(1)有解的充要條件為

A*nA+*mB=B

(7)

此時(shí)

X=A+*mB+(I1-A+*mA)*nZ

(8)

這里Z∈CI1×I2×…×In×I1×I2×…×In為任意張量． 當(dāng)式(7)成立時(shí)， 結(jié)合式(4)可知A*nBH=B*nAH， 即知式(5)成立．

進(jìn)一步， 將式(8)代入式(4)的第二個(gè)方程X*nAH=BH并整理得

(I1-A+*mA)*nZ*nAH=BH-A+*mBnAH

這是關(guān)于變量Z的張量方程． 在條件(7)成立時(shí)， 該方程總是有解的， 且由引理1知其一般解為

(9)

其中W∈CI1×I2×…×In×I1×I2×…×In為任意張量． 將式(9)代入式(8)可得

結(jié)合引理2的證明過(guò)程可得式(6)成立． 命題得證．

接下來(lái)考慮張量的最佳逼近問(wèn)題(3)． 首先引入如下引理．

引理3[19]設(shè)E∈CI1×I2×…×Im×J1×J2×…×Jn，F(xiàn)∈CI1×I2×…×Im×I1×I2×…×Im，G∈CJ1×J2×…×Jn×J1×J2×…×Jn且滿足

F*mF=F=FH，G*nG=G=GH

根據(jù)引理3， 我們可以證明張量逼近問(wèn)題(3)的解是唯一的， 并給出解的具體形式．

(10)

成立， 此時(shí)

(11)

證當(dāng)定理1中的條件(5)成立時(shí)， 張量方程(1)的解集合Θ是非空的， 且容易驗(yàn)證它是一個(gè)閉凸集， 這說(shuō)明最佳逼近問(wèn)題(3)有唯一解． 由式(6)和式(3)可得

(12)

因?yàn)镮1-A+*mA為正交投影張量， 故滿足引理3中的假設(shè)條件， 從而有

(13)

當(dāng)且僅當(dāng)

(14)

由式(12)和式(13)可得式(10)， 而式(6)和式(14)說(shuō)明最佳逼近問(wèn)題(10)的唯一解為

(15)

2 數(shù)值試驗(yàn)

本節(jié)通過(guò)數(shù)值例子驗(yàn)證所得結(jié)論的可行性． 接下來(lái)的所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均是通過(guò)配置了Inter(R) Core(TM) i5-4200M CPU與4.00 G內(nèi)存的電腦上的MATLAB軟件編程實(shí)現(xiàn)， 其中張量積的運(yùn)算用到了張量工具包[20]．

例考慮離散的2-維泊松方程的Hermitian解， 即張量方程(2)， 這里取張量F=eyes(N，N)為單位張量． 另外， 給定張量U0∈RN×N隨機(jī)產(chǎn)生， 即U0=randn(N，N)， 容易驗(yàn)證， 已知張量A和F滿足定理1中的條件(5)， 故相應(yīng)的張量逼近問(wèn)題

圖1 給定張量及最佳逼近解

3 總結(jié)

本文考慮了基于Einstein積的張量方程A*nX=B關(guān)于Hermitian張量X的可解性問(wèn)題． 利用張量Moore-Penrose廣義逆的性質(zhì)， 得到了上述問(wèn)題有解的充要條件， 并得到了它的一般解表達(dá)式． 另外， 對(duì)于任意給定張量， 在假定上述條件成立時(shí)， 討論了相應(yīng)的張量最佳逼近問(wèn)題， 證明了解的唯一性， 并得到了它的具體表達(dá)式． 最后給出實(shí)際應(yīng)用實(shí)例驗(yàn)證了本文所得結(jié)果的可行性， 這些結(jié)果對(duì)張量相關(guān)理論的完善具有重要意義．