基于小波變換和小波包變換的間諧波檢測

肖 勇，李 博，尹家悅，李 波，胡珊珊，廖耀華

（1.南方電網科學研究院有限責任公司，廣東廣州 510663；2.廣東省電網智能量測與先進計量企業(yè)重點實驗室，廣東廣州 510663；3.云南電網有限責任公司電力科學研究院，云南昆明 650217；4.云南省綠色能源與數字電力量測及控保重點實驗室，云南昆明 650217）

0 引言

隨著電力系統(tǒng)相關技術的發(fā)展，大量的電子器件和非線性元件投入使用，而這些非線性負荷在使用過程中會產生基頻的整次諧波和分數次諧波，對電網質量造成越來越嚴重的損害。其中產生的分數次諧波又稱間諧波[1-2]，其具有頻率隨機和非平穩(wěn)性等特點，是典型的非平穩(wěn)信號。針對含有諧波分量的信號檢測，目前常用的算法主要包括：基于瞬時無功功率[3]，快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，FFT）[4]，希爾伯特黃變換（Hilbert-Huang Transform，HHT）[5]，現代譜估計[6]，基于神經網絡[7-8]，小波變換[9-10]等?；谒矔r無功功率的諧波檢測法，因計算變換復雜且不能檢測間諧波而無法廣泛應用。采用加窗插值FFT 進行間諧波檢測，常因非同步采樣會不可避免地引起柵欄效應，且不適于分析非平穩(wěn)信號。HHT由經驗模態(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）和希爾伯特變換（Hilbert Transform，HT）組成，因EMD 分解時存在模態(tài)混疊和端點效應，無法準確檢測間諧波?；诂F代譜估計的算法能精確檢測諧波（間諧波）信號頻率，但無法準確提取信號幅值和相位參數?；谏窠浘W絡的諧波檢測法，相較于傅里葉變換和小波變換有較強抗干擾能力和較高運算速度、精度，但因其構造需要大量訓練數據，還未應用在實際工程中。小波變換應用于電力系統(tǒng)諧波檢測，克服了頻譜混疊，實現穩(wěn)態(tài)及暫態(tài)的諧波精確檢測，但不能針對高頻諧波信號進行檢測分析和未確定應用于諧波檢測的小波分解的最優(yōu)小波基函數。通過上述分析，雖然針對整次諧波信號的檢測已有大量的研究，并提出了許多方法，但電力系統(tǒng)因非線性元件的應用產生的間諧波提出了新的計量要求，而上述方案對間諧波的檢測方法存在算法復雜、檢測誤差大、高頻諧波檢測受限等局限性，即在穩(wěn)態(tài)和時變系統(tǒng)未針對間諧波幅值和相位等重要參數進行準確檢測分析。文中將利用小波可聚焦信號局部細節(jié)的特征進一步研究電網系統(tǒng)間諧波信號的檢測。

小波函數是時間函數，其變換在時域和頻域都是局部化的，通過伸縮平移運算可實現對信號的多尺度細化，聚焦到信號的局部細節(jié)，提高對諧波的分辨率。近年來基于小波分析理論的小波變換不斷完善，使其在電力系統(tǒng)間諧波檢測分析中有廣泛應用前景[11]。文中采用基于小波變換和小波包變換來實現對電網信號間諧波的檢測，并選取不同小波基函數和采用穩(wěn)態(tài)及暫態(tài)電網信號進行仿真對比，來證明該方法對電力系統(tǒng)間諧波檢測具有更優(yōu)的性能。

1 基于小波變換的間諧波檢測

1.1 間諧波的離散小波變換分析

小波變換的時間-頻率窗口可調，其實質是將電網信號與一個小波基函數進行卷積，對信號逐步進行多尺度細化，將信號分解成位于不同頻段的單個分量。因此將小波變換理論應用于電力系統(tǒng)間諧波檢測是十分合適的。

對函數ψ(t)，其傅立葉變換為ψ(ω)，當且僅當其傅立葉變換滿足小波變換的反演源函數的條件，如式（1）所示的容許條件[12]，ψ(t)才能被看作是基小波。

定義由參數a，b和基小波ψ(t)生成的連續(xù)小波函數族或小波基函數如式（2）所示：

式中：a為伸縮因子；b為平移因子，t為基小波函數自變量；且a,b∈R且a＞0。

因信號能量有限，令所有信號滿足公式（1）條件的函數集合為L2(R)，那么對任一能量有限信號f(t)∈L2(R)在小波基函數下進行投影分解，稱這種分解為函數的連續(xù)小波變換（Continue Wavelet Transform，CWT）為Wf(a,b)，表達式如式（3）所示：

實際應用中，CWT 的系數是高度冗余的，導致計算量十分大，因此必須對信號加以離散化以消除和降低其冗余性。具體做法是，在CWT 基礎上，將a,b離散，取a=2j,b=ka，其中j，k為將a，b離散化的任意正整數，且j為分解的層數。由此得到離散小波變換（Discrete Wavelet Transform，DWT），表達式如式（4）所示：

1.2 基于Mallat算法的多分辨分析

最初小波變換因存在運算過大等缺點而受限，但隨著Mallat 多分辨分析等優(yōu)秀分解算法的提出，可快速將信號分解為細節(jié)分量和近似分量，使得基于該快速算法的小波變換諧波提取方法成為目前廣泛應用的諧波檢測方法[12-13]，其對原始信號進行多分辨率分析的基本原理如式（5）所示：

式中：h為生成的低通濾波器；g為生成的高通濾波器；j為分解的層數；aj（n）為原始信號第j層近似系數，aj-1（k）為原始信號第j-1 層近似系數，描述信號的低頻部分信息；dj（n）為原始信號第j層細節(jié)系數，描述信號的高頻部分信息。

重構算法如式（6）所示：

式中：aj+1為原始信號第j+1層近似系數；dj+1（n）為原始信號第j+1層細節(jié)系數。

小波多分辨率[13-14]的基本原理就是對電網信號進行尺度劃分，得到包含原始信號不同頻率信號成分的不同頻段，然后利用各頻段的分解信息對各子頻段進行重構，獲得電網信號中的各次諧波，選擇合適的劃分尺度可以有效提高分解精確度。劃分原理如圖1所示，其中L 代表低頻段信號，H 代表高頻段信號。

圖1 離散小波分解Fig.1 Discrete wavelet decomposition

由圖1 可知，當基波頻率被劃分到最低子頻段中心時，則達到合適分解尺度。分解原理圖顯示小波變換僅對信號低頻部分進行了深層次劃分，表明小波分解比較適合分析以低頻信號為主要成分的信號。

2 基于小波包變換的間諧波檢測

針對小波變換因高頻頻帶寬，對高頻信號檢測頻率分辨率低的問題，提出了以小波變換為基礎的改進方法小波包變換。小波包變換[15]的主要分解過程是先對原始信號進行分解，得到信號中各頻率分量的系數，根據所得分解系數信息，重構出基波和各次諧波信號，進行諧波檢測與分析[16-17]。小波變換和小波包變換本質都是數字濾波，對頻帶采用二進劃分的方式，兩者的區(qū)別在于小波變換僅對信號低頻頻帶劃分，而小波包變換是對信號整個頻帶做劃分。頻帶均勻劃分的實現，解決了小波變換的局限性，有效提高了對信號高頻部分檢測和分析的準確度。小波包多分辨分解過程如圖2 所示。

圖2 離散小波包分解Fig.2 Discrete wavelet packet decomposition

3 電力系統(tǒng)間諧波檢測仿真

3.1 小波基函數對比分析

小波具有聚焦信號局部細節(jié)的特性，該特性是提高電力系統(tǒng)間諧波檢測分析準確度的理論基礎。小波分析不斷濾除各頻帶上頻率相對較高分量dj(n)的多分辨率原理，并保存和利用這些分量進行信號重構，這是基于小波分析的電力系統(tǒng)間諧波檢測的基本過程[18-19]。重構的信號即提取出來的諧波和間諧波分量，利用這些信號實現對電力系統(tǒng)間諧波幅頻特性和相位特性的檢測。與離散傅里葉變換相比，多種多樣的小波基函數ψ(t)，是解決離散傅里葉變換窗口單一性和難確定性的關鍵所在，而更換不同的小波基對同一電網信號進行小波分析就能達到不同的效果。目前判定小波基的好壞主要是通過重構信號結果與原始信號理論結果的誤差分析，并結合待檢測信號的特點，來制定選擇小波基的標準[20-22]。文中根據間諧波這種非穩(wěn)態(tài)信號的特點，從haar 小波、daubechies 小波、symlets 小波、coiflets 小波和dmey 小波的小波基函數庫中選出具有正交性、線性相位、對稱性、一階消失矩、缺陷信號敏感性和結構噪聲屏蔽性特點的小波基函數組[23-25]，通過仿真分析，得出各小波檢測間諧波時頻特性誤差最小的小波基，作為分析電網信號間諧波的最佳小波基函數。對應的小波基命名為harr、db8、sym、coif5、dmey。

示例1：給定一個基波頻率是50 Hz，采樣頻率為5 000 Hz，帶相位偏移?k,(k=1,2,3)的信號f1(t)，φk取值見表1，其表達式如式（7）所示：

表1 信號相位參數Table 1 Parameters of signal phase（°）

式中：sin(100πt+φk) 為給定的2 次諧波分量；sin(700πt+φk)為給定的14 次諧波分量；sin(180πt+φk)為給定的3.6 次諧波分量；sin(420πt+φk)為給定的8.4 次諧波分量；sin(1300πt+φk)為給定的26次諧波分量。

依據多分辨率分解的原理對示例1 所給出的電網系統(tǒng)模擬電壓信號f1(t)進行5 級小波分解，高頻系數是CDn(n=1,2,...,5)，頻帶范圍是fs(2n+1)～fs2n，低頻系數是CAn(n=1,2,...,5)，頻帶范圍是0～fs(2n+1)，其中n代表分解層數。按照這樣的劃分原理對仿真結果進行分析，獲得各小波分解系數，如圖3 所示。

由圖3 可看出最低子頻帶是低頻系數CA5 所在頻帶，該頻帶僅含有原始信號的基波成分，所以由低頻系數CA5 重構可得基波分量，CD5、CD4、CD3 和CD2 等高頻系數所在的頻帶分別包含了原始信號各諧波分量，由這些諧波成分進行各子頻帶信號重構，達到基波和諧波檢測的目的。

圖3 小波分解各小波系數Fig.3 Wavelet decomposition coefficients

文中對示例1 的仿真分析選用了db8，sym8，haar，dmey 和coif5 五種小波作為小波變換的小波基函數，分別對f1()t進行5 級小波分解，獲得各頻帶的小波系數。采用Mallat 重構算法將各諧波和間諧波信號單支重構，并對重構信號的幅度和相位進行誤差對比分析，如圖4 所示，以獲得分析間諧波的最佳小波基。由圖4 中重構間諧波信號與原始間諧波信號的幅值特性對比可看出，采用coif5 小波的間諧波幅值提取干擾最少，對間諧波信號的幅值特性分析效果最佳。

圖4 信號小波分解后對間諧波幅值提取對比Fig.4 Extraction and comparison of interharmonic amplitude after signal wavelet decomposition

依據表1 所對應的信號相位偏移情況，即信號相位參數分別為-23.10°、52.40°、115.60°。對各諧波信號相位的誤差分析結果如表2 所示。將表中各小波基對應的相位誤差求平均誤差，小波基db8、haar、sym8、dmey 的相位平均誤差分別為0.47%、0.90%、0.51%、0.37%，其中采用小波基coif5 的相位平均誤差最小為0.22%。結合幅值特性的對比分析結果可以得出coiflets 小波基函數coif5 是分析間諧波信號的最佳小波基函數。

表2 信號經小波分解后對重構信號相位誤差分析Table 2 Phase error analysis of reconstructed signal after wavelet decomposition

3.2 穩(wěn)態(tài)信號的小波變換與小波包變換仿真

為了進一步分析諧波分量增加后的諧波檢測能力，采用coif5 小波基函數對示例2 信號進行小波變換及小波包變換。

示例2，給定一個基波頻率是50 Hz，采樣頻率為2 048 Hz，帶相位偏移φk,(k=1,2,3) 的信號f2(t)，φk取值見表1，其表達式如式（8）所示：

式中：sin(100πt+φk) 為給定的2 次諧波分量；sin(300πt+φk)為給定的6 次諧波分量；sin(500πt+φk)為給定的10 次諧波分量；sin(700πt+φk)為給定的14 次諧波分量；sin(180πt+φk)為給定的3.6 次諧波分量；sin(420πt+φk)為給定的8.4 次諧波分量。

依據多分辨率分析的原理對示例2 信號分別進行4 級小波分解和小波包分解，利用小波系數重構諧波波形如圖5 和圖6 所示。由圖1 展示的小波分解的頻帶劃分原理可知，小波分解對于含有頻率相近的諧波信號或含高頻諧波信號的提取存在一定局限性。由圖5 和圖6 的波形對比，可知小波包分解能對信號頻帶均勻劃分，克服了小波分解的局限性，其波形重構圖相比于小波分解，更準確地提取了含有間諧波信號中的各次諧波。

圖5 小波分解對電網信號f2(t)各諧波信號重構Fig.5 Reconstruction of each harmonic signal of power grid signal f2(t)based on wavelet decomposition

圖6 小波包分解對電網信號f2(t)各諧波信號重構Fig.6 Reconstruction of each harmonic signal of power grid signal f2(t)based on wavelet packet decomposition

信號f2(t)按照表1 依次改變相位取值，選取dmey 小波、sym8 小波、coif5 小波和haar 小波4 種不同的小波基分別對f2(t)進行小波包分解，獲得各頻帶的小波包分解系數，采用重構算法對各間諧波信號進行重構，并對重構信號進行幅度和相位誤差的分析。不同小波基函數進行小波包分解和信號重構，對比提取的幅值特性仿真結果如圖7 所示。采用dmey 小波的小波包分解對間諧波幅值提取干擾最少，對間諧波信號的幅值特性分析效果更佳。

圖7 f2(t)信號經小波包分解1.8次間諧波幅值特性Fig.7 The 1.8th interharmonic amplitude characteristics of f2(t)signal decomposition with wavelet packet

由于文中針對的是電力系統(tǒng)的間諧波檢測和分析，依據表1 所對應的信號相位偏移情況，即信號相位參數分別為-23.10°、52.40°、115.60°。并為了表述方便只列出了小波包分解兩個分次諧波的相位分析，如表3 所示。表3 中可看到采用haar 小波基的平均相位誤差極小，dmey 小波基為0.5%，僅次于haar 小波基。但結合幅值特性的仿真結果，dmey 小波基的表現更佳，基于dmey 小波的小波包變換來進行電力系統(tǒng)的間諧波檢測準確度更高。

表3 信號經小波包分解后對各諧波相位的提取Table 3 Extraction of each harmonic phase after signal decomposition with wavelet packet

3.3 暫態(tài)信號的小波包變換仿真

在電力系統(tǒng)運行中會受到擾動信號的干擾，文中以示例2 信號f2(t)為原始信號，令信號f2(t)的采樣點N=1024，其余信息與f2(t)信號設定一致，對f2(t)信號增加的擾動信息如下：

在采樣區(qū)間U=[151,400]內增加一低頻擾動信號：sig1(t)=-0.2 sin(2πt×90+π4) ；在采樣區(qū)間U=[501,650] 內增加一高頻擾動信號：sig2(t)=0.5 sin(2πt×510-π6)；其余區(qū)間內的信號與f2(t)保持一致。文中對此時變諧波信號采用了基于快速FFT 方法和小波包分解算法的對比分析，仿真結果如圖8 和圖9 所示。

圖8 基于快速FFT的時變諧波信號諧波提取幅值圖Fig.8 Harmonic extraction amplitude of time-varying harmonic signal based on fast FFT

圖9 基于小波包分解的時變諧波信號諧波重構波形圖Fig.9 Harmonic reconstruction waveforms of timevarying harmonic signal based on wavelet packet decomposition

如圖8 所示，基于快速FFT 的時變諧波信號檢測，能檢測各諧波成分，但對擾動信號得幅度檢測誤差較大；如圖9 所示，對90 Hz 和510 Hz 的2 個干擾信號的重構波形，都能在對應時間區(qū)間內被準確檢測，且幅度檢測誤差較小。結合上述2 個示例的仿真結果，再次凸顯基于dmey 小波基函數的小波包分解能更加有效實現電力系統(tǒng)諧波信號的檢測分析。

4 結語

本文以小波變換為基礎對含有間諧波的電網信號進行小波和小波包分解，利用多分辨率的概念選擇多個符合標準的小波基函數進行對比仿真，驗證基于小波變換和小波包變換的電網信號間諧波檢測的有效性，獲得檢測間諧波信號最佳的小波基函數。選用coif 小波的小波變換和選用dmey 小波的小波包變換，用于檢測電網信號的間諧波含量更佳。特別是基于dmey 的小波包變換可更有效地提取各個頻帶分量，適合間諧波、暫態(tài)信號的檢測及其時頻信息提取，對于應用小波變換進行電力系統(tǒng)間諧波分析有重要意義和應用前景。