初中數(shù)學“結(jié)構(gòu)教學”探索

□ 江蘇省南通市如皋市下原鎮(zhèn)下原初級中學 浦金才

著名教育家布魯納說，“學生進行學科學習的實質(zhì)就是掌握該學科的基本知識結(jié)構(gòu)”“學習就是學生認知結(jié)構(gòu)的組織或重新組織”。初中數(shù)學“結(jié)構(gòu)教學”，就是要立足學生已有“認知模塊”，營造學生數(shù)學學習的“思維場”，用“問題串”等引導(dǎo)、啟發(fā)學生。通過“結(jié)構(gòu)教學”，能促進學生數(shù)學學習有效遷移，進而能有效提升學生數(shù)學學習力，發(fā)展學生數(shù)學“核心素養(yǎng)”。

一、把握“銜接點”，解讀學習“認知塊”

著名教育家奧蘇貝爾曾經(jīng)這樣說，“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么我將一言以蔽之：影響學生學習的唯一最重要的因素就是學生已經(jīng)掌握了什么，并據(jù)此展開教學?！痹诔踔袛?shù)學教學中，教師要把握學生認知的“銜接點”，認識學生數(shù)學學習的“認知模塊”。學生的認知模塊是豐富的，它包括學生的已有核心知識、共享知識、境域知識、結(jié)構(gòu)知識、隱性知識等。

在初中數(shù)學教學中，每一位學生的學習起點都是不同的，個體的情況千差萬別，它包括學生的已有知識儲備、已有經(jīng)驗和思維水平等。只有把握學生數(shù)學學習的“銜接點”，才能引導(dǎo)學生的數(shù)學學習步入“最近發(fā)展區(qū)”，從而讓學生在數(shù)學學習中“跳一跳能摘到桃子”。作為教師，要引導(dǎo)學生基于自我的認知模塊不斷進階。比如教學人教版八年級下冊《特殊的平行四邊形》這一部分內(nèi)容，筆者在教學中從學生生活實際入手，展示學生生活中的平行四邊形圖片（如活動衣架、伸縮門等），引導(dǎo)學生感知、操作將平行四邊形推拉成長方形、將長方形推拉成平行四邊形的過程，從而為學生的數(shù)學學習提供一個生長性的情境；從學生已有知識經(jīng)驗—“平行四邊形”“三角形”等相關(guān)知識入手，催生學生數(shù)學發(fā)現(xiàn)，讓學生認識到矩形是一種特殊的長方形。在這個過程中，筆者及時介入、適度追問：矩形特殊在什么地方？怎樣的平行四邊形是矩形？怎樣的四邊形是矩形？通過這樣的一種追問，能架設(shè)學生已有知識和未知的橋梁，從而促進學生展開從一般到特殊的思考，幫助學生從特殊性的視角給矩形下定義。在這個過程中，激活學生的已有認知。過去，我們研究三角形、平行四邊形是從哪些角度展開研究的？研究矩形，你準備通過哪些元素去進行研究等。引導(dǎo)學生借助于研究三角形、平行四邊形的經(jīng)驗，去思考研究矩形的方法。通過對學生的“認知模塊”的激活，引導(dǎo)學生掌握系統(tǒng)性的數(shù)學思想方法，幫助學生形成一個線條清晰的學習思維輪廓。

把握學生數(shù)學學習的銜接點，不僅能讓學生所學的新舊知識進行有效地銜接，促進學生新舊知識的有效遷移，更能引導(dǎo)學生形成結(jié)構(gòu)化的學習方法、思想等。在初中數(shù)學教學中，只有把握學生數(shù)學學習的銜接點，把握學生的“認知模塊”，才能讓教師的教學富有挑戰(zhàn)性，才能讓教師的教學貼地而行。

二、激活“生長點”，構(gòu)建學習“問題串”

結(jié)構(gòu)教學要摒棄傳統(tǒng)的碎片化的教學方式，通過“問題串”“問題群”等，讓學生明確學習的指向，并能進行自主性、自能性的數(shù)學學習。要讓問題具有整合性、開放性、研究性和建構(gòu)性，促進問題對學生數(shù)學學習的積極導(dǎo)引。在初中數(shù)學教學中，教師不僅要把握學生數(shù)學認知的銜接點，更要通過構(gòu)建“問題串”，激活學生數(shù)學學習的生長點。通過激活學生數(shù)學學習的生長點，為學生的數(shù)學知識理解、遷移搭建重要的平臺。

一般來說，問題串往往是由幾個核心問題、主問題等構(gòu)成的。并且，這些問題往往是有層次性、結(jié)構(gòu)性的，是逐步深化的。通過結(jié)構(gòu)化的問題串，能引發(fā)學生的數(shù)學深度思維，推動學生的數(shù)學深度探究，從而能讓學生主動建構(gòu)數(shù)學知識。比如教學人教版九年級上冊《根與系數(shù)的關(guān)系》這一部分內(nèi)容時，為了助推學生自主發(fā)現(xiàn)，筆者精心設(shè)計了這樣的“問題串”：一元二次方程中的“兩根之和”與“系數(shù)”之間有沒有關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？怎樣證明？你還能提出怎樣的問題？探討根與系數(shù)的關(guān)系有什么作用？其中，“問題串”中的第一、第二個問題，有助于激發(fā)學生的數(shù)學猜想；第三個問題有助于激發(fā)學生進行數(shù)學驗證、探究的興趣，調(diào)動學生數(shù)學驗證、探究的積極性；而第四個問題，則有助于發(fā)散學生的數(shù)學思維，催生學生提出新的問題，諸如兩根之差與系數(shù)有沒有關(guān)系？兩根之積與系數(shù)有沒有關(guān)系等。最后一個問題，有助于學生對自我的探究結(jié)果進行反思、審視，并能促進學生對根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用。通過這樣的“問題串”，能引導(dǎo)學生的數(shù)學思維爬坡，讓學生的數(shù)學思維、認知等逐步從低階邁向高階。如有學生在學習中，通過對幾個一元二次方程的例子，探究根與系數(shù)之間的關(guān)系，形成自己的不完全歸納法；有學生根據(jù)求根公式求出一元二次方程的根之后，通過計算的方法發(fā)現(xiàn)了根與系數(shù)之間的關(guān)系。在這個過程中，有學生感悟到，根據(jù)一元二次方程中的根與系數(shù)的關(guān)系以及其中的一個根，可以求出另一個根、未知系數(shù)等，從而使學生認識到了學習“根與系數(shù)的關(guān)系”的意義、作用。

在結(jié)構(gòu)教學中，教師一方面要引導(dǎo)學生進行新知建構(gòu)，另一方面要引導(dǎo)學生進行舊知完善。為此，要引導(dǎo)學生的心理同化與順應(yīng)，讓學生將新知納入舊知結(jié)構(gòu)之中，促進新舊知識的統(tǒng)整。結(jié)構(gòu)教學，不僅要求學生的學習結(jié)果結(jié)構(gòu)化，更要求學生的學習過程結(jié)構(gòu)化。通過結(jié)構(gòu)教學，促進學生知識創(chuàng)新，同時為學生的知識遷移應(yīng)用奠定重要的基礎(chǔ)。

三、了解“困惑點”，創(chuàng)設(shè)學習“思維場”

在初中結(jié)構(gòu)教學中，教師要了解學生的“困惑點”，從而幫助學生及時疏導(dǎo)疑難雜癥。美國著名教育家加涅認為，“學生的一個學習流程往往就是學生的信息輸入輸出流程”。在數(shù)學教學中，如果學生在學習中遭遇障礙、困難、困惑，就會堵塞正常的信息輸入輸出流程。為此，教師在教學中要充分調(diào)研，精心創(chuàng)設(shè)學生數(shù)學學習的“思維場”，幫助學生設(shè)計破解學生認知困惑、障礙等的招數(shù)，幫助學生打開思維、認知等的閘門，讓學生在思維引力作用下，激發(fā)學生的有效認知。

“思維場”能激發(fā)學生的認知沖突，引發(fā)學生的積極參與?！八季S場”可以助推學生的發(fā)現(xiàn)、探究。作為教師，要為學生創(chuàng)設(shè)積極主動參與的條件，為學生留足思維的空間，幫助學生建立起動態(tài)韻味的發(fā)現(xiàn)場、探究場、質(zhì)疑場，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)、探究、質(zhì)疑。比如教學人教版八年級上冊的《平方差公式》，筆者呈現(xiàn)了一組“結(jié)構(gòu)性習題”：（200-1）×（200+1）、（2a+1）(2a-1)、（x+y)（x-y）、（y+1）(y+1)。通過這樣的一組結(jié)構(gòu)化習題，構(gòu)建了一種結(jié)構(gòu)化的思維場，催生學生的結(jié)構(gòu)化發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)學生的結(jié)構(gòu)化思維，誘發(fā)學生的結(jié)構(gòu)化猜想。通過這一組習題的計算，學生很快就自主發(fā)現(xiàn)了“平方差公式”。有學生說，前三個題目都是已知兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差，所以計算結(jié)果為兩項；有學生說，應(yīng)用多項式的乘法計算后發(fā)現(xiàn)，這些式子通過計算展開之后都是四項，其中中間的兩項有可能被消去，也可能不能消去，前面三個題目中的計算結(jié)果中的中間兩項都被抵消了，而最后一道題目中的計算結(jié)果的兩項沒有消去等。通過這樣的結(jié)構(gòu)化思考、探究，學生逐步領(lǐng)悟到了“平方差公式”的本質(zhì)。在打造學生思維場的過程中，教師要充分發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者等的作用，讓思維場能融合學生的經(jīng)驗、思維等。置身于思維場之中，學生能展開積極的再創(chuàng)造，并能展開積極的反思，促進對自我認知的質(zhì)疑與批判。

在打造學生數(shù)學學習思維場的過程中，教師要留有一定的時空，讓學生自主建構(gòu)、創(chuàng)造?；趯W習思維場營建的數(shù)學教學，往往遵循著問題情境、觀察探究、形成結(jié)論的過程。要讓學生在發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造、質(zhì)疑中走出傳統(tǒng)的簡單思維、認知的窠臼，幫助學生拓展自我的認知結(jié)構(gòu)，從而引導(dǎo)學生再創(chuàng)造、再發(fā)展，助推學生提升自我的數(shù)學認知，深化學生的數(shù)學理解。

四、把握“關(guān)節(jié)點”，創(chuàng)造學習“生成器”

前蘇聯(lián)著名教育家蘇霍姆林斯基認為，“教師的教學技巧不在于能預(yù)知課堂的所有細節(jié)，而在于能根據(jù)課堂當時的具體情況，巧妙地在學生學習過程中作出不知不覺的相關(guān)變化。”這種讓學生在學習過程中發(fā)生不知不覺變化的過程，就是動態(tài)生成的過程。動態(tài)生長這一概念是相當于預(yù)設(shè)的，更需要教師的教學機智，同時還需要學生學習數(shù)學的眼光、審視科學世界的數(shù)學思維等，從而讓學生達到事半功倍的效果。

比如教學人教版八年級下冊《勾股定理》這一部分內(nèi)容之后，筆者引導(dǎo)學生反思、總結(jié)，把握“勾股定理”學習過程中的相關(guān)的重要關(guān)節(jié)點，創(chuàng)造學生的數(shù)學學習生成。反思1：勾股定理揭示了哪一類三角形的什么元素之間的關(guān)聯(lián)？反思2：在探索“勾股定理”的過程中，我們應(yīng)用了哪些思想方法？反思3：應(yīng)用“勾股定理”，我們應(yīng)該注意什么？反思4：對于“勾股定理”，你還有什么要進行表達？通過這樣的反思，引導(dǎo)學生回顧、總結(jié)勾股定理的猜想、驗證等。通過反思、總結(jié)，不僅能讓學生所學的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)化，更能讓學生將數(shù)學知識探索過程以及思想方法結(jié)構(gòu)化。這種結(jié)構(gòu)化的總結(jié)，能讓學生把握數(shù)學知識的關(guān)鍵節(jié)點，促進學生數(shù)學學習的精彩生成。學生在反思中互動、交流，呈現(xiàn)了對勾股定理探索過程的多個看法、觀點，同時促進學生對數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)化應(yīng)用，促進學生對相關(guān)數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)化遷移等。在初中數(shù)學教學中，引導(dǎo)學生把握數(shù)學知識的關(guān)鍵節(jié)點，培養(yǎng)了學生的個性和良好的思維品質(zhì)。

把握學生數(shù)學認知的關(guān)鍵節(jié)點，要引導(dǎo)學生在學習過程中反思。通過反思，形成對相關(guān)知識的提煉和歸納。 在數(shù)學結(jié)構(gòu)教學中，教師要關(guān)注學生的數(shù)學結(jié)構(gòu)學習的參與度，提升學生數(shù)學結(jié)構(gòu)學習的品質(zhì)。在結(jié)構(gòu)教學中，認知塊是基礎(chǔ)，問題鏈是線索，關(guān)節(jié)點是關(guān)鍵，而思維場則是載體。只有引導(dǎo)學生通過問題鏈，構(gòu)筑認知塊，把握數(shù)學學科知識關(guān)鍵節(jié)點，打造學生的數(shù)學思維場域，才能讓學生感悟數(shù)學思想方法，形成學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。