基于遺傳算法與非線性規(guī)劃的串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化

馬金生,陳 濤

(航空工業(yè)成都飛機(jī)工業(yè)(集團(tuán))有限責(zé)任公司,四川 成都 610091)

0 引 言

四連桿機(jī)構(gòu)是最常見的機(jī)械結(jié)構(gòu)之一，其能夠滿足多種運(yùn)動(dòng)規(guī)律與軌跡的要求，并且因其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)副結(jié)構(gòu)簡單易加工而被廣泛應(yīng)用于各種工業(yè)結(jié)構(gòu)中.目前,科研人員針對四桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)做了大量研究，并取得了許多成果[1-4].例如，林軍等[1]研究了遺傳算法的編碼設(shè)置及步驟控制等調(diào)控參數(shù)，并以四連桿機(jī)構(gòu)尺寸優(yōu)化問題為例驗(yàn)證了算法的優(yōu)化效果；駱華鋒等[2]利用遺傳算法對常規(guī)抽油機(jī)的四連桿機(jī)構(gòu)完成了優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡、動(dòng)力性能和節(jié)能效果都得到了顯著改善；李金鷹等[4]通過多目標(biāo)優(yōu)化理論尋找機(jī)構(gòu)參數(shù)，并利用修改的遺傳算法優(yōu)化，開展了飛機(jī)艙門上的提升四桿機(jī)構(gòu)的輔助設(shè)計(jì).

在實(shí)際工程應(yīng)用中，常將多個(gè)四連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行組合，進(jìn)而形成較為復(fù)雜的機(jī)構(gòu)形式，以此來滿足特定的工作軌跡與工作方式等要求[5-8].其中，串聯(lián)雙四連桿機(jī)構(gòu)常被應(yīng)用于航空貨運(yùn)機(jī)械與起重機(jī)械中，但目前針對串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)相關(guān)研究的報(bào)道較少.基于此，本研究結(jié)合應(yīng)用在飛機(jī)貨運(yùn)艙門機(jī)構(gòu)系統(tǒng)中的艙門解鎖機(jī)構(gòu)的實(shí)際案例，建立串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)的長度尺寸優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，該模型包括了幾何約束、傳動(dòng)性能約束、邊界條件約束和運(yùn)動(dòng)軌跡約束等約束條件，再利用遺傳算法和非線性規(guī)劃完成機(jī)構(gòu)桿件長度的優(yōu)化設(shè)計(jì)，并對比了2種優(yōu)化算法的特點(diǎn)，擬為類似機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供可借鑒的參考.

1 串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)

目前，串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)常被應(yīng)用于航空工程中的飛機(jī)貨運(yùn)艙門結(jié)構(gòu)中.通常，為了滿足飛機(jī)結(jié)構(gòu)的緊湊布置以及一定的功能需求，其艙門解鎖機(jī)構(gòu)通常采用典型的串聯(lián)雙四連桿機(jī)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)模型如圖1所示.

圖1 貨運(yùn)艙門鎖定機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)示意圖

貨運(yùn)艙門的串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)簡圖如圖2所示.圖2中，A、B、C 3點(diǎn)固定，即機(jī)架S1和S2的長度固定.此機(jī)構(gòu)包含6個(gè)連桿L1～L6，以α角為輸入運(yùn)動(dòng)副，中間為β固定的連接角49 °，δ角為輸出從動(dòng)副.

圖2 貨運(yùn)艙門串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)簡圖

典型的密封型貨運(yùn)艙門解鎖過程如圖3所示.圖3中，艙門鎖定機(jī)構(gòu)由本研究的串聯(lián)雙四連桿機(jī)構(gòu)和一副普通四連桿機(jī)構(gòu)組成，其中，2個(gè)紅色圓柱固定于門框上，分別與2副連桿機(jī)構(gòu)配合.該串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)末端δ角連接的是C型鎖，其功能是在解鎖過程中保證艙門未達(dá)到其提升位之前，保證艙門的鎖緊.單四連桿機(jī)構(gòu)的末端則是帶有雙曲率形導(dǎo)軌的U型鎖，其內(nèi)部的導(dǎo)軌由兩段曲率有差異的曲線構(gòu)成，其功能是：一方面，在解鎖過程輕微向外推動(dòng)艙門，解除艙門周邊一圈密封膠條與門框的粘連，并使艙門達(dá)到舉升運(yùn)動(dòng)的開始位置；另一方面，在艙門關(guān)閉過程中，當(dāng)艙門下降到鎖定位置后，扣住艙門，并使艙門按照一定的鎖定路徑運(yùn)動(dòng).

圖3 貨運(yùn)艙門解鎖時(shí)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程示意圖

據(jù)此可知，飛機(jī)貨運(yùn)艙門開啟的解鎖機(jī)構(gòu)具體的運(yùn)動(dòng)過程分為2個(gè)階段.

(1)階段一.艙門從鎖定狀態(tài)圖3(a)開始，鎖定機(jī)構(gòu)開始解鎖，輸入角α順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)整套機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)，C型鎖與U型鎖機(jī)構(gòu)都開始轉(zhuǎn)動(dòng)；C型鎖轉(zhuǎn)動(dòng)到艙門可以向外移動(dòng)時(shí)，串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)的輸出從動(dòng)角δ到達(dá)穩(wěn)定段便基本保持不變，U型鎖進(jìn)入第二段曲線導(dǎo)軌的配合行程，如圖3(b)所示.

(2)階段二.串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)的輸出從動(dòng)角δ繼續(xù)保持穩(wěn)定不變，輸入角α繼續(xù)順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，使單四連桿機(jī)構(gòu)末端的U型鎖繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，并在U型鎖內(nèi)部的第二段曲線導(dǎo)軌的引領(lǐng)下，艙門輕微向外繞艙門頂部的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度，到達(dá)圖3(c)所示位置.此時(shí)，艙門與門框上的配合限制完全解除，艙門解鎖，并實(shí)現(xiàn)向外大范圍提升開啟的狀態(tài).

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 設(shè)計(jì)變量與目標(biāo)函數(shù)

事實(shí)上，在航空工程實(shí)際中，其機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)在滿足基本的功能性后，主要應(yīng)考慮結(jié)構(gòu)的輕量化，即應(yīng)盡量降低其質(zhì)量，這需要通過相應(yīng)機(jī)構(gòu)的尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)來實(shí)現(xiàn).在貨運(yùn)艙門中，液壓連桿需承擔(dān)足夠的承載力，因此，其串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)桿件的直徑是非設(shè)計(jì)量，故本案例的設(shè)計(jì)變量為連桿長度.根據(jù)圖2所示的機(jī)構(gòu)簡圖，模型的設(shè)計(jì)變量可表示為,

X=[L1,L2,L3,L4,L5,L6]

(1)

為滿足機(jī)構(gòu)整體輕量化的設(shè)計(jì)要求，本案例的設(shè)計(jì)目標(biāo)為連桿總長度最小，其目標(biāo)函數(shù)為，

(2)

2.2 約束條件

2.2.1 連桿機(jī)構(gòu)中曲柄的存在條件

由于串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)是由2個(gè)四連桿機(jī)構(gòu)串聯(lián)組合而成，故其應(yīng)滿足連桿機(jī)構(gòu)基本的幾何約束.本案例機(jī)構(gòu)中，與機(jī)架傳動(dòng)轉(zhuǎn)軸連接的L1和L6實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)軸上連接支座的長度，因此是最短桿件，由此可得，

(3)

此外，在連桿機(jī)構(gòu)中，還需滿足最短桿件與最長桿件之和大于等于另外兩桿件之和.據(jù)此，機(jī)構(gòu)的基本幾何約束為，

(4)

2.2.2 最小傳動(dòng)角時(shí)機(jī)構(gòu)傳動(dòng)性能約束條件

一般而言，當(dāng)四連桿機(jī)構(gòu)的曲柄與機(jī)架桿共線時(shí)，出現(xiàn)最小傳動(dòng)角，故其傳動(dòng)性能約束條件為，

(5)

2.2.3 設(shè)計(jì)變量的邊界條件

如圖1所示，在本串連四連桿機(jī)構(gòu)中，上下兩根機(jī)架傳動(dòng)轉(zhuǎn)軸與相鄰連桿之間不能產(chǎn)生干涉而發(fā)生碰撞，即要求連桿與轉(zhuǎn)軸中心點(diǎn)距離應(yīng)超出傳動(dòng)轉(zhuǎn)軸的半徑10 mm(轉(zhuǎn)軸半徑為25 mm).據(jù)此，由圖2可得機(jī)構(gòu)之間的幾何關(guān)系有，

(6)

由上述幾何關(guān)系可得出避免干涉發(fā)生的約束條件為，

(7)

2.2.4 機(jī)構(gòu)末端輸出角度的功能性約束條件

由飛機(jī)貨運(yùn)艙門的解鎖過程可知，機(jī)架固定S1=140 mm，S2=135 mm，在機(jī)構(gòu)輸入角α勻速順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，輸出角δ的運(yùn)動(dòng)方式為，先勻速轉(zhuǎn)至一定角度，再基本保持穩(wěn)定.據(jù)此，輸出角δ的理想運(yùn)動(dòng)軌跡函數(shù)為，

(8)

由機(jī)構(gòu)之間的幾何關(guān)系有,

(9)

故，可聯(lián)立推出機(jī)構(gòu)末端輸出角度為，

δ=∠FCG-∠FCB

(10)

同時(shí)，為滿足飛機(jī)貨運(yùn)艙門的鎖定與解鎖的基本功能需求，要求機(jī)構(gòu)優(yōu)化后的輸出角δ在輸入角α從80 °勻速變化到-40 °的過程中，與理想目標(biāo)輸出角之間差異不能過大.故，其功能性約束條件為，

C17(X)=|δ-δe|-5≤0

(11)

由此可知，本研究的串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵點(diǎn)為：式(1)是設(shè)計(jì)變量；式(2)是目標(biāo)函數(shù)，可以作為優(yōu)化分析的適應(yīng)度函數(shù)，以評(píng)價(jià)當(dāng)前解的有效性；式(3)與式(4)是線性約束條件；式(5)、式(7)與式(11)是非線性約束條件.

故，本飛機(jī)貨運(yùn)艙門的串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)尺寸優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型可表示為，

(12)

3 優(yōu)化算法

本研究利用Matlab分析軟件來完成貨運(yùn)艙門串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化計(jì)算，分別選取遺傳算法和非線性規(guī)劃作為優(yōu)化算法對機(jī)構(gòu)的連桿尺寸進(jìn)行優(yōu)化分析，并對比2種算法的優(yōu)化效果.

3.1 遺傳算法

由于本案例設(shè)計(jì)變量為串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)的6個(gè)桿件的長度，在遺傳算法中，設(shè)計(jì)變量的向量X被稱為染色體，是問題的可能解；每一代群體中的每一條染色體個(gè)體都有一個(gè)適應(yīng)函數(shù)值用來評(píng)價(jià)該個(gè)體對問題的適應(yīng)程度.因本研究的優(yōu)化目標(biāo)為機(jī)構(gòu)桿件長度總和最小，故擬定目標(biāo)函數(shù)為染色體的適應(yīng)度函數(shù).在求解中，優(yōu)化過程遵循基本的遺傳算法，即，最初隨機(jī)地產(chǎn)生一定量的初始染色體種群，然后參考自然界的繁衍進(jìn)化過程，通過模擬生物進(jìn)化過程中適者生存的遺傳法則，不斷迭代并獲得問題的最優(yōu)解.利用遺傳算法解決串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)尺寸優(yōu)化的過程包括：設(shè)置初始條件，計(jì)算初始種群的適應(yīng)度值以及通過優(yōu)勝劣汰獲得最優(yōu)解等步驟[9-10].需說明的是，遺傳過程中變異是隨機(jī)出現(xiàn)的，變異的概率通過指定變異率來確定，變異即是在染色體上的某一個(gè)值進(jìn)行取值范圍內(nèi)的突變，而變異的加入降低了局部收斂的概率，增加了遺傳算法在變量取值范圍內(nèi)的選擇寬度，使其能夠涵蓋更多的可能解.

3.2 非線性規(guī)劃

對于求解帶多種約束的非線性多變量優(yōu)化的最小值問題，可利用Matlab分析軟件中的常用fmincon函數(shù)實(shí)現(xiàn).本研究中需要優(yōu)化的變量是串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)的6個(gè)連桿的長度，屬于中等規(guī)模的優(yōu)化問題.利用fmincon函數(shù)命令求解中等規(guī)模的優(yōu)化問題時(shí)常采用序列二次規(guī)劃(sequential quadratic programming，SQP)算法進(jìn)行求解.研究表明，SQP算法在處理中小規(guī)模非線性規(guī)劃問題時(shí)表現(xiàn)出良好的優(yōu)化計(jì)算效果，其處理邏輯是將一個(gè)帶有等式和線性或非線性不等式約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問題，即:在某個(gè)近似解附近處理二次規(guī)劃問題以尋找最優(yōu)解;若當(dāng)下無法求解，則用該近似解構(gòu)成新的二次規(guī)劃問題，通過繼續(xù)迭代并求解，直到最終獲得最優(yōu)解[11-12].

4 算例求解與對比

由于遺傳算法與非線性規(guī)劃都是處理最小值優(yōu)化的有效手段，故本研究針對同一問題，利用2種算法進(jìn)行優(yōu)化分析，并對比2種算法的優(yōu)化結(jié)果，以分析串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)尺寸優(yōu)化的合理優(yōu)化方案.

2種優(yōu)化算法的最終優(yōu)化結(jié)果如表1所示.

表1 2種優(yōu)化算法的結(jié)果與初始設(shè)計(jì)值對比

由表1數(shù)據(jù)可知，通過對比初始設(shè)計(jì)值并將結(jié)果取整后，2種優(yōu)化算法的優(yōu)化結(jié)果都顯著低于初始設(shè)計(jì)值，達(dá)到了優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本要求.此外，從機(jī)構(gòu)桿件總長度來看，遺傳算法的優(yōu)化結(jié)果略大于非線性規(guī)劃的結(jié)果，但兩者接近.對比各個(gè)桿件的長度可知，2種優(yōu)化算法的結(jié)果差異則很小，都指向同一組桿長組合，可見優(yōu)化結(jié)果具備可靠性.

遺傳算法與非線性規(guī)劃的優(yōu)化迭代過程如圖4所示,其揭示了迭代次數(shù)與目標(biāo)函數(shù)值的關(guān)系.

由圖4(a)可見，在遺傳算法的優(yōu)化過程中，包含2條曲線，分別表示當(dāng)前迭代時(shí)刻下整個(gè)群體規(guī)模染色體解的適應(yīng)度函數(shù)值的最優(yōu)結(jié)果和平均結(jié)果.從第3代迭代開始，最優(yōu)值和平均值趨近于415.000 mm左右，最終迭代至第5代.

由圖4(b)可見，在非線性規(guī)劃優(yōu)化過程中，縱坐標(biāo)直接表示的是當(dāng)前迭代時(shí)刻的可能解對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，即機(jī)構(gòu)桿件長度總和.最初，桿件長度總和為470 mm，從第500迭代步開始到迭代結(jié)束，逐漸穩(wěn)定到410.000 mm左右，最終迭代至第712代.

圖4 2種優(yōu)化算法的迭代過程

可見，遺傳算法迭代次數(shù)較少，但2種算法的實(shí)際計(jì)算耗時(shí)接近.

將2種算法優(yōu)化后的桿長數(shù)據(jù)代入本串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)中，可計(jì)算出輸入角α與輸出角δ的運(yùn)動(dòng)關(guān)系.初始設(shè)計(jì)值及2種算法優(yōu)化結(jié)果與理想情況的差異如圖5所示.

圖5 優(yōu)化前后的輸入角—輸出角運(yùn)動(dòng)關(guān)系對比

從圖5可見，相比于初始設(shè)計(jì)值桿件長度狀態(tài)下的串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)，2種算法的優(yōu)化結(jié)果的機(jī)構(gòu)角度運(yùn)動(dòng)關(guān)系都更接近于理想情況.在輸出角δ的上升階段，遺傳算法的結(jié)果更接近理想狀況，但在輸出角δ穩(wěn)定段，遺傳算法得出的穩(wěn)定性數(shù)據(jù)較非線性規(guī)劃差.

此外，本研究將2種算法的優(yōu)化結(jié)果與理想情況的差異用均方根的形式展示，具體結(jié)果如表2所示.

表2 優(yōu)化結(jié)果與理想情況下輸出角δ運(yùn)動(dòng)關(guān)系均方根差異

由表2數(shù)據(jù)可見，優(yōu)化計(jì)算結(jié)果與初始設(shè)計(jì)值的機(jī)構(gòu)角度運(yùn)動(dòng)關(guān)系相比，2種優(yōu)化結(jié)果情況下的串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)的角度運(yùn)動(dòng)關(guān)系與理想情況的均方根差異都顯著降低.初始設(shè)計(jì)條件下，均方根總差值為231.46，其中，上升階段為336.89，平穩(wěn)階段為124.27；遺傳算法優(yōu)化結(jié)果條件下，均方根總差值為8.13，其中，上升階段為14.65，平穩(wěn)階段為1.51；非線性規(guī)劃優(yōu)化結(jié)果條件下，均方根總差值為11.19，其中，上升階段為21.73，平穩(wěn)階段為0.65.

5 結(jié) 論

本研究建立了飛機(jī)貨運(yùn)艙門串聯(lián)四連桿機(jī)構(gòu)的桿件尺寸優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，并基于遺傳算法和非線性規(guī)劃完成了相關(guān)的優(yōu)化計(jì)算.2種算法對于本案例的優(yōu)化結(jié)果差異不大，結(jié)論如下：

(1)最初設(shè)計(jì)狀態(tài)下的機(jī)構(gòu)桿件長度總和為470.000 mm，遺傳算法的桿件長度總和優(yōu)化結(jié)果為415.000 mm，非線性規(guī)劃的桿件長度總和優(yōu)化結(jié)果為410.000 mm.2種優(yōu)化算法計(jì)算都獲得了最優(yōu)解，并取得了顯著的優(yōu)化效果，其中，遺傳算法迭代次數(shù)較少，但2種算法的實(shí)際計(jì)算耗時(shí)接近.

(2)2種算法優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)輸出角δ的運(yùn)動(dòng)關(guān)系都更接近于理想狀況.與理想情況的機(jī)構(gòu)角度運(yùn)動(dòng)關(guān)系相比，2種算法優(yōu)化結(jié)果相比初始設(shè)計(jì)的均方根差異都顯著降低.在輸出角δ運(yùn)動(dòng)關(guān)系方面，非線性規(guī)劃優(yōu)化結(jié)果的上升階段與理想情況差異較大，而平穩(wěn)階段的差異較小，且角度保持更平穩(wěn).