基于擴展有限元的混凝土重力壩水力劈裂分析

石艷柯， 霍俊怡， 張多新， 石路楊

(華北水利水電大學(xué)土木與交通學(xué)院， 鄭州 450045)

隨著南水北調(diào)等大型引水、調(diào)水工程的建設(shè)，一大批水工建筑物在高水頭、大埋深等惡劣的水文地質(zhì)環(huán)境條件下服役，其安全性的評估顯得十分重要?；炷翂紊嫌纬Ｄ晔艿礁咚畨杭坝倌嗔Φ葟?fù)雜的荷載作用，且在初始裂紋面上受到水壓力的作用，致使大壩初始裂紋極易起裂，進而擴展，嚴(yán)重時會形成貫穿裂紋導(dǎo)致大壩承載力降低，影響到壩體整體性和安全性。水力劈裂是指由于水壓的抬高，在巖(土)體中引起裂紋產(chǎn)生和擴展的一種物理現(xiàn)象[1]，寧文祥等[2]通過頁巖油儲層水力壓裂裂縫形態(tài)的試驗，在油氣藏的勘探中提出了的水力壓裂技術(shù)；王志榮等[3]針對水力壓裂條件下煤層氣井初始壓裂縫轉(zhuǎn)向問題，研究了水力壓裂近井區(qū)裂縫轉(zhuǎn)向擴展機理?；炷翂我蝮w量較大，裂紋在水力劈裂作用下的分析常采用數(shù)值方法。水力劈裂作用下裂紋擴展的數(shù)值模擬涉及非線性和移動邊界問題，擴展有限元(extend finite element method， XFEM)在求解不連續(xù)問題上獨有優(yōu)勢，相對于諸多水力劈裂模擬方法(如數(shù)值流形法、有限元法、邊界元法、擴展有限元法和無網(wǎng)格法)能夠較好地解決這一問題。中外諸多學(xué)者[4-6]采用不同的數(shù)值模擬方法對混凝土壩進行了開裂研究，對單裂紋和多裂紋的擴展路徑及裂紋影響因素進行了對比分析，得到了混凝土壩的斷裂破壞全過程。甘磊等[7-9]考慮不同初始裂紋位置及長度等因素，對混凝土壩裂紋擴展進行了詳細(xì)的分析，結(jié)果表明縫內(nèi)水壓作用對重力壩建基面抗滑穩(wěn)定不利。董玉文等[10]和高景泉等[11]通過預(yù)置混凝土壩踵位置處裂紋，對裂紋面上不同分布水壓力載荷作用進行開裂分析，并對重力壩水力劈裂的部位、位移、應(yīng)力分布特性進行了分析。靳旭等[12]主要考慮壩體單一裂紋的存在對重力壩應(yīng)力分布的影響，其結(jié)果表明基巖彈性模量對裂紋擴展影響較小，并可適當(dāng)?shù)叵∈杈W(wǎng)格提高工作效率，但在實際工程中裂紋往往是多條存在且在壩踵位置處極易開裂，且水力壓裂對裂紋擴展影響較大，在重力壩開裂分析中應(yīng)給予考慮，但并未考慮。王新萍等[13]基于擴展有限元對煤層轉(zhuǎn)向壓裂進行數(shù)值模擬，對裂紋軌跡進行了精確的預(yù)測，并將數(shù)值模擬結(jié)果與試驗結(jié)果進行比較，證明了該算法的準(zhǔn)確性和可靠性。劉金龍[14]以Cohesive單元為基礎(chǔ)建立儲層裂縫水力壓裂數(shù)值模型，研究了裂縫在儲層中的擴展規(guī)律及其擴展過程中縫間的相互干擾作用，參考該方法可簡便且精確地對人為控制裂縫的擴展。郭秉喬等[15-16]采用擴展有限元模型和黏聚力裂紋模型對含有多個初始裂紋的混凝土重力壩進行擴展分析，結(jié)果表明隨著裂紋的逐漸擴展，混凝土壩整體的剛度和承載力減低。石路楊等[17-18]建立了地下隧洞水力劈裂的擴展有限元法模型，分析了水壓力對地下隧洞的穩(wěn)定性的影響和隧洞在內(nèi)水壓力和裂紋內(nèi)水壓的共同作用下的破壞過程。

有限元軟件ABAQUS功能的日益完善，子程序XFEM已經(jīng)可以解決多數(shù)工程中的斷裂問題，已能夠有效并較為精準(zhǔn)地對裂紋擴展進行數(shù)值模擬。文獻[13-14]借助ABAQUS軟件實現(xiàn)了水力壓裂裂紋數(shù)值分析，郭秉喬等[15-16]也借助該軟件內(nèi)的子程序?qū)χ亓芜M行裂紋擴展分析，并得到較理想的結(jié)果。

重力壩上游面多數(shù)為直斷面，選取的寧利碾壓混凝土重力壩上游面為直斷面與折斷面的組合面，上述文獻中對該結(jié)構(gòu)形式的重力壩裂紋擴展分析較少，文獻[19]裂紋擴展分析考慮該結(jié)構(gòu)形式的黃登重力壩，但僅考慮壩體裂紋的擴展，未對壩踵位置處裂紋進行分析?，F(xiàn)建立二維混凝土重力壩水力劈裂數(shù)值分析模型，基于擴展有限元基本原理和最大周向拉應(yīng)力強度因子理論[20]，采用ABAQUS軟件子程序XFEM對帶初始裂紋的混凝土壩進行裂紋擴展分析。通過在壩踵預(yù)置不同長度和位置的初始裂紋，分析裂紋的開裂路徑與長度、角度及裂紋面水壓力之間的關(guān)系。此外，在壩體預(yù)置多條初始裂紋，對不同裂紋長度擴展的路徑及裂紋尖端應(yīng)力進行分析，并選取壩體關(guān)鍵點及裂紋相對張開口位移進行分析，為后續(xù)的該類型混凝土壩裂紋擴展分析提供一定的參考依據(jù)。

1 擴展有限元的基本理論

1.1 擴展有限元位移模式

擴展有限元法(XFEM)是在常規(guī)有限元分析框架下，在裂紋單元引入加強函數(shù)(例如表述裂紋貫穿和裂尖單元兩側(cè)位移不連續(xù)的加強函數(shù))來表示裂紋的存在。在XFEM中，裂紋的位移場如式(1)所示，含裂紋的擴展有限元計算網(wǎng)格如圖1所示。

(1)

(2)

圖1 XFEM加強模式Fig.1 XFEM enrichment mode

式中：I、K、J、M分別為常規(guī)有限元節(jié)點集、裂紋貫穿單元節(jié)點集、裂紋尖端單元節(jié)點集和裂紋交叉單元節(jié)點集；NI、NK、NJ、NM分別為相應(yīng)節(jié)點集的插值函數(shù)；uI為常規(guī)有限元節(jié)點的自由度，uK、uJ、uM為節(jié)點附加自由度；H(x)為裂紋貫穿單元的附加函數(shù)，來擴展有限元與常規(guī)有限元位移相協(xié)調(diào)，同時可以表征裂紋貫穿位置的位移不連續(xù)的性性質(zhì)；φJ(rèn)(x)為裂尖單元的附加函數(shù)，能夠精確地表征裂尖位置的位移場；JM(x)為多裂紋交叉位置處單元的附加函數(shù)，以實現(xiàn)主次裂紋的匯合;r、θ為裂尖在局部極坐標(biāo)系下的半徑、夾角。式(1)中等號右側(cè)第一項表示常規(guī)單元，第二項表示裂紋貫穿單元，第三項表示裂紋交叉單元，第四項表示裂紋尖端單元。

1.2 水力劈裂的控制方程

對于含有附加函數(shù)的富集單元，裂紋面上同一點的相對位移w(即裂紋開裂寬度)可根據(jù)式(1)求得

(3)

根據(jù)虛功原理，結(jié)合構(gòu)造的位移模式，帶裂紋結(jié)構(gòu)水力劈裂問題的虛功方程[12]表示為

(4)

將式(1)代入虛功方程式(4)中，并結(jié)合式(3)即可得到水力劈裂問題的擴展有限元支配方程為

Kd=f

藍(lán)寶石英文名稱為Sapphire，源于拉丁文Spphins，意思是藍(lán)色。象征著穩(wěn)健、端莊和聰慧。自古以來，人們迷醉于藍(lán)寶石內(nèi)所蘊含的安靜和強烈的力量。據(jù)說，藍(lán)寶石是距離神靈最近的寶石，它湛藍(lán)的顏色在任何時候都不會改變，甚至影響到藍(lán)色天空的形成。

(5)

d={uI，uK，uJ}

(6)

(7)

(8)

(9)

2 計算模型及參數(shù)

寧利水庫位于云南省麗江市寧蒗縣，由樞紐工程和輸水渠道組成，樞紐主要建筑物由攔河大壩、上游攔砂壩和導(dǎo)流隧洞灌溉干渠組成。大壩為碾壓混凝土重力壩，最大壩84.0 m，壩軸線長252.0 m。依托于此工程，選取大壩標(biāo)準(zhǔn)斷面建立二維平面模型進行裂紋擴展分析。壩體高84 m，壩頂寬8 m，壩體總寬71.76 m，上游迎水面由垂直面與壩坡比1：0.2的折斷面組成，下游壩面壩坡比為1∶0.76，沿壩軸線分別取上游、下游取92 m和60 m，土體垂直向下取100 m，壩體斷面如圖2所示。

模型的邊界條件及荷載條件為：在壩基左右邊界施加水平向約束，壩基底部邊界施加豎向約束，考慮的荷載有壩體與壩基的自重、上游庫水壓力及裂紋面上的水壓力P，其中上游水壓力以超載系數(shù)為2.5的梯度線荷載施加，因庫水面與起始裂紋面的水頭差一定，故將裂紋面上水壓力視為均布荷載，以垂直于裂紋面的均布線荷載施加。

根據(jù)文獻[11，15]所研究的結(jié)果，在壩踵處預(yù)置裂紋只會不斷向基巖底部擴展，壩體內(nèi)預(yù)置的裂紋只會向下游面擴展，并未形成貫穿壩體與壩基的裂紋，因此將壩基和壩體視為一個整體進行裂紋擴展分析，未考慮壩體與壩基的接觸滑移對裂紋的影響。壩體與壩基均采用有限元軟件ABAQUS中平面應(yīng)變單元CPE4R模擬，裂紋通過預(yù)置的方式布置，并和壩體與壩基組裝形成一個整體，使用最大周向拉應(yīng)力強度因子理論[20]，借助于軟件中的子程序XFEM對重力壩進行裂紋擴展分析，研究裂紋的數(shù)量、位置及裂紋面水壓力對裂紋擴展的影響，方便進一步對重力壩進行安全評估。寧利重力壩為碾壓混凝土重力壩，為標(biāo)準(zhǔn)的“金包銀”，需要考慮不同材料的分層，但因預(yù)置初始裂紋長度較長貫穿外部材料層，裂尖深入內(nèi)部材料層，故仍將壩體混凝土材料視為各向同性。因?qū)幚亓稳匀惶幱诖ㄖ?，其碾壓混凝土的斷裂能參?shù)并未及時獲得，因此參照文獻[19]中相似的重力壩材料參數(shù)，給出表1所示的壩體混凝土與壩基基巖的材料參數(shù)。

L為裂紋長度；θ為預(yù)置裂紋與水平夾角；H為壩頂；G為壩踵； J為壩趾圖2 重力壩裂紋預(yù)置示意圖Fig.2 Pre-crack diagram of the dam

表1 基巖和壩體混凝土的材料參數(shù)Table 1 Material parameters of the bedrock and the dam

3 數(shù)值結(jié)果分析

3.1 壩踵裂紋擴展分析

由于混凝土重力壩的獨有結(jié)構(gòu)形式，重力壩的壩踵位置處易產(chǎn)生大應(yīng)力區(qū)域，據(jù)此在壩踵位置通過預(yù)置不同裂紋長度L(2、5、8、10 m)和角度θ(15°、30°、45°、60°)的初始裂紋進行開裂分析，裂紋預(yù)置位置如圖2所示。

L=5 m，θ=30°時，考慮裂紋面不同水壓力大小作用影響，裂紋的具體擴展路徑如圖3所示。當(dāng)不考慮裂紋面水壓力作用即P=0時，由于上游水體的超載作用和壩體自重的作用，導(dǎo)致初始裂紋逐步向壩基底部擴展，并隨著裂紋面水壓力的增加，裂紋開裂深度逐漸增加，P=104Pa和P=105Pa，裂紋進入穩(wěn)態(tài)擴展，當(dāng)裂紋面水壓力進一步增加(P=106Pa)，裂紋失穩(wěn)擴展，直至形成了貫穿裂紋，致使壩體承載力失效，影響到了壩體的安全度。

圖4給出了初始裂紋與水平向夾角θ=30°且裂紋面水壓力P=105Pa時不同初始裂紋長度L的擴展路徑，當(dāng)θ=30°時，裂紋起裂方向與初始裂紋夾角約為48°，裂紋的擴展方向與初始裂紋長度無關(guān)。

圖5給出了初始L=5 m且P=105Pa時不同θ的擴展路徑，隨著θ的增加，裂紋起裂方向與初始裂紋的夾角逐漸降低，當(dāng)θ=60°時，由于裂紋面的水壓力與壩體自重、超載靜水壓力的等效作用力正好與初始裂紋的預(yù)置方向垂直，并依據(jù)最大主應(yīng)力起裂準(zhǔn)則，此時裂紋起裂方向與初始裂紋的夾角趨于0°即沿初始裂紋方向起裂；當(dāng)θ=45°時，裂紋的擴展深度最低，且擴展長度最短，主要是此時裂紋面的水壓力抵消了部分壩體自重影響。

圖3 不同裂紋面水壓力的裂紋擴展路徑(初始L=5 m)Fig.3 Crack propagation path under different water pressure on the crack surface (initial L = 5 m)

圖4 不同初始裂紋長度擴展路徑(初始θ=30°)Fig.4 Crack propagation path under different initial crack length (initial θ= 30°)

圖5 不同初始裂紋角度擴展路徑(初始L=5 m)Fig.5 Crack propagation path under different initial crack angles (initial L = 5 m)

3.2 壩體裂紋擴展分析

圖3～圖5已經(jīng)對待建混凝土重力壩進行了壩踵位置的單裂紋擴展分析，得到了壩踵位置處預(yù)置裂紋的不同長度、位置及裂紋面水壓作用下擴展規(guī)律。為了進一步對壩體裂紋擴展規(guī)律分析，考慮自重、上游超載水壓作用和裂紋面水壓力作用，通過預(yù)置多條初始裂紋A、B、C，圖6給出了不同裂紋長度多條初始裂紋下擴展的等效mises應(yīng)力，表2為不同位置處關(guān)鍵點位移數(shù)值。

由圖6可看出，隨著預(yù)置裂紋B的長度增加，預(yù)置裂紋尖端mises應(yīng)力值逐漸增大，裂紋B開裂深度加大，不斷地向下游壩基面方向擴展。裂紋A與C尖端雖出現(xiàn)應(yīng)力集中，但裂紋面驅(qū)動力(主要由裂紋面處的剪應(yīng)力提供)不足以支撐裂紋進行擴展。

表2給出預(yù)置裂紋B不同長度下的壩體壩頂H、壩踵G、壩趾J的位移值及裂紋最大張開位移數(shù)值可以看出隨著裂紋長度的增加，壩頂位移及裂紋張開度也相應(yīng)增加，但壩踵G和壩趾J位置處的位移受預(yù)置裂紋B的長度影響較小。

圖6 多裂紋擴展模式下等效應(yīng)力云圖Fig.6 Equivalent stress diagram of multiple crack propagation

表2 不同裂紋長度下壩體關(guān)鍵點位移對比Table 2 Displacement comparison of key points of the dam under different crack lengths

圖7所示為B裂紋的張開位移變化趨勢，當(dāng)B裂紋初始長度為5 m時，其最大張開位移Δux、Δuy、Δusum數(shù)值相差較小，均小于1 mm。隨著裂紋B的初始長度增加，裂紋最大張開位移也隨著增加，豎向張開位移Δuy增幅較大，水平向最大張開位移Δux增幅較小，說明垂直于裂紋面的法向力主要控制水力劈裂裂紋的張開位移，裂紋面的剪切力對裂紋張開位移貢獻較小，裂紋初始長度對裂紋張開口位移有著顯著的影響。

圖7 裂紋B的最大張開位移Fig.7 Maximum opening displacement of crack B

4 結(jié)論

基于擴展有限元XFEM基本原理，選取某待建混凝土重力壩，考慮不同裂紋長度、位置及裂紋面水壓力進行壩踵及壩體裂紋的水力劈裂數(shù)值分析，為混凝土重力壩劈裂分析提供一定的參考依據(jù)?？紤]重力壩自重、上游超載靜水壓力和裂紋面水壓力荷載作用，對壩踵和壩體預(yù)置初始裂紋水力壓裂分析，可以得到如下結(jié)論。

(1)壩踵預(yù)置裂紋長度L=5 m，角度θ=30°時，隨著裂紋面水壓力數(shù)值的增加，由裂縫面剪應(yīng)力提供的驅(qū)動力也隨之增大，裂紋不斷向壩基底部邊界擴展，重力壩承載力逐漸降低，影響到結(jié)構(gòu)整體安全性。

(2)壩踵位置處裂紋面水壓力P=105Pa，角度θ=30°時，不同長度的預(yù)置裂紋起裂與預(yù)置裂紋夾角基本相同，且最終擴展深度也基本相同，此時裂紋面的剪應(yīng)力大小主要由結(jié)構(gòu)自重及超載靜水壓力提供；壩踵處預(yù)置與水平向不同夾角θ的初始長度L=5 m的裂紋，當(dāng)裂紋夾角θ=45°時，裂紋擴展深度最淺，θ=60°時與初始裂紋夾角趨于0°，主要是復(fù)雜荷載在平行于裂紋方向的分量先增大后減小。

(3)隨著折斷面處初始裂紋長度的增加，裂紋尖端應(yīng)力值逐漸增大，且裂紋面驅(qū)動力不足以支撐裂紋A、C擴展，裂紋B的擴展深度隨之加深，不斷向下游壩基面擴展。

(4)壩體預(yù)置裂紋B隨著裂紋長度的增加，壩頂位移及裂紋張開度也相應(yīng)增加，但壩踵和壩趾位置處的位移受預(yù)置裂紋B的長度影響較小。