分數階微積分在滑?？刂浦械膽醚芯?

張 鑫， 魯文儒， 繆仲翠， 姜子運， 徐文波

(1.蘭州交通大學 自動化與電氣工程學院，甘肅 蘭州 730070；2.甘肅省人工智能與圖形圖像處理工程研究中心,甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

滑?？刂频奶攸c是在其設計過程中不需要系統(tǒng)提供十分精確的動力學模型，只需要利用軌跡的跟蹤誤差或者位置控制誤差合理設計滑模面即可，并擁有響應快、魯棒性好等特點，這種方法在此類非線性、不確定性的系統(tǒng)中應用十分廣泛[1～4]?；？刂频脑O計主要包括滑模面和趨近律的設計，其中趨近律的設計問題一直備受關注。

趨近運動作為滑模運動中的一大重要組成部分，其過程是指系統(tǒng)由任意的初始位置向切換面趨近，最終得以到達切換面的一種運動形式。能夠合理選用趨近律，可以加快趨近的速度、減少系統(tǒng)抖振。在傳統(tǒng)的滑模控制理論當中，十分常用的趨近律主要是等速趨近律、指數趨近律等[5]。

不同于整數階微積分理論，分數階微積分的階次是能夠任意選取的，從而大大提升了控制系統(tǒng)設計過程中的靈活度[6]。近年來，許多學者將分數階微積分與滑模控制相結合，形成分數階滑模控制[7]。 其中，文獻[8]以一類不確定性系統(tǒng)為研究對象，提出了一種基于分數階微積分理論的滑?？刂品椒?，并在磁軸承系統(tǒng)和陀螺儀系統(tǒng)上進行了驗證。文獻[9]以永磁同步電機為研究對象，提出一種參數自整定的分數階滑?？刂品椒?。文獻[10]以永磁同步電機為研究對象，針對其位置控制，提出一種分數階滑模控制器。文獻[11]將分數階滑模控制策略應用于一種撓性航天器上，以此實現對航天器姿態(tài)跟蹤問題的解決，并取得了較好的效果。文獻[12]則在直流調速系統(tǒng)中使用一種改進型的分數階滑?？刂品椒?，以此實現對直流調速系統(tǒng)動態(tài)性能的改善，達到減小抖振的效果。但是以上文獻均沒有從數學角度來充分證明分數階微積分與滑?？刂葡嘟Y合后的趨近問題以及滑?？刂扑嬖诘亩墩瘳F象。

本文利用分數階微積分與滑?？刂铺岢龇謹惦A滑模趨近律，重點從數學角度分析了分數階趨近律的趨近速度問題以及滑?？刂扑嬖诘亩墩瘳F象，并且通過仿真實驗證明的所提出分數階趨近律的有效性和穩(wěn)定性。

1 分數階趨近律設計

目前，在控制領域中應用較多的分數階微積分定義有三種，分別為：Grunwald-Liouvile(GL)定義、Riemann-Liouvile(RL)定義以及Caputo定義[13]。Caputo型分數階微積分初始條件的定義與整數階微積分的相一致，近年來在工程應用中得到了廣泛的研究。

m-1<α≤m

(1)

引理1[8]：已知如下系統(tǒng)

Dαx(t)=f(x,t)

(2)

如果x=0是該非自治分數階系統(tǒng)的平衡點，且f(x,t)滿足Lipschitz條件。假設存在一個Lyapunov函數V(t,x(t))滿足下列條件

α1‖x‖≤V(t,x)≤α2‖x‖,

V(t,x)≤-α3‖x‖

(3)

式中α1，α2和α3均為正常數，β∈(0,1)。則式(2)是漸近穩(wěn)定的。

本文設計的分數階趨近律為

Dαs=-ksign(s)

(4)

其中,0<α<1?？刂葡到y(tǒng)狀態(tài)到達滑模面速度通過改變階次α和系數k改變。

2 分數階趨近律性能分析

2.1 穩(wěn)定性分析

證明：采用Lyapunov函數

(5)

根據Caputo分數階微積分定義形式(1)

(6)

對式(5)兩端進行求導，結合所選取分數階趨近律和式(6)，得

(7)

利用sign(D1-α(-ksign(s)))=-ksign(s)[14]，得

=-ksign(sT)sign(s)=-k

(8)

2.2 趨近律穩(wěn)態(tài)抖振分析

以傳統(tǒng)指數趨近律為例

(9)

當S趨近于0時，在滑模面上的極限為

(10)

2.3 趨近速率分析

趨近速率分析：

1)指數趨近律趨近時間

由式(9)可得

(11)

當滑模面s>0時

(12)

當滑模面s<0時

(13)

(14)

2)分數階趨近律趨近時間

為解決此問題，使用?階Riemnnan-Liouvile分數積分，然后使用標準導數。

(15)

Gamma函數定義為

(16)

由文獻[15,16]得

(17)

利用s(t)-s(0)=J?(-ksign(s))簡化上式為

(18)

由式(18)得

(19)

所以分數階趨近律趨近時間為

(20)

由式(14)、式(20)可得

(21)

從上面的推導可以得出結論：分數階趨近律的趨近速度要比指數趨近律的趨近速度快。

3 仿真實驗

n關節(jié)機械臂動力學模型如下[17]

(22)

將本文所提出來的分數階趨近律與傳統(tǒng)指數趨近律進行對比分析，選擇滑模面為

(23)

策略1指數趨近律控制律[18]

策略2分數階滑?？刂坡?/p>

根據機械臂動力學模型，qd(t)為關節(jié)期望位置,q(t)為關節(jié)實際位置，定義關節(jié)位置跟蹤誤差為

e(t)=qd(t)-q(t)

(24)

對式(24)求二次導為

(25)

對式(23)求一次導為

(26)

將式(22)和式(24)代入式(26)得

(27)

對式(4)求一次導為

(28)

由式(27)和式(28)得到控制律為

(29)

以兩關節(jié)機械臂為例，通過FOMCON[19]工具箱進行仿真分析。

當給定期望軌跡為單位階躍響應時，得到如下結果。圖1為三種方法下的單位階躍響應曲線，表1為三種方法下的單位階躍響應性能指標，由圖1和表1可知，本文所提方法可以較好地滿足單位階躍響應中動態(tài)性能指標與穩(wěn)態(tài)性能指標的要求(當以正弦為輸入信號時)。

圖1 階躍響應曲線

表1 單位階躍響應性能指標

圖2為機械臂兩個關節(jié)的控制輸入曲線。由圖2可得，在指數趨近律下系統(tǒng)抖振明顯，即本文所提出的分數階趨近律可以使機械臂運行更加平滑穩(wěn)定，很大程度上削弱了抖振。

圖2 控制輸入曲線

圖3為在兩種趨近律下兩個關節(jié)的位置跟蹤曲線。由圖3可知，在分數階趨近律下兩個關節(jié)的位置跟蹤效果更好，跟蹤速率更快，控制精度更高。

圖3 位置跟蹤曲線

圖4為位置跟蹤誤差曲線，選取角位移調整時間與位置誤差的均方根誤差作為判斷參考值，所得數據比較結果如表2所示。

圖4 位置跟蹤誤差曲線

表2 控制方法數據比較

為了進一步驗證在分數階趨近律下系統(tǒng)的抗干擾能力，引入干擾

f(t)=200×exp(-(t-3)2/(2×0.12))

(30)

式中 200為干擾峰值，3為干擾中心位置，0.1為干擾時間寬度。仿真得到如圖5的位置跟蹤誤差曲線。由圖5可得，分數階微積分的引入可以增強系統(tǒng)的魯棒性。

圖5 干擾下的位置跟蹤誤差曲線

4 結 論

本文首先介紹了分數階微積分的相關定義，然后以機械臂為研究對象，把分數階微積分與滑?？刂葡嘟Y合，提出一種分數階趨近律，并利用仿真實驗與指數趨近律進行了對比分析，得到如下結論：

1)分數階趨近律的引入主要表現在能夠柔化運動軌跡，具有更優(yōu)良的平滑特性，同時在很大程度上實現了對抖振的削弱。此外，分別在分數階趨近律以及傳統(tǒng)指數趨近律下關節(jié)1的角位移調整時間分別為1.75,0.71 s，關節(jié)2的角位移調整時間分別為1.62,0.90 s，同時各關節(jié)的均方根誤差也大大減小。

2)在引入干擾后在分數階趨近律下的控制器具有更好的魯棒性，系統(tǒng)的抗干擾能力更強。

因此，與傳統(tǒng)指數趨近律相比，分數階趨近律，在很大程度上使各關節(jié)的跟隨速度與跟隨效果得到增強，系統(tǒng)抖振明顯減小。