“工”字型徑向彈性超材料零頻起始帶隙特性研究

李麗霞， 賈 琪， 解妙霞， 李 玲， 張錫成

(1. 西安建筑科技大學(xué) 機電工程學(xué)院 機械動力所，西安 710055；2. 西安建筑科技大學(xué) 力學(xué)研究院，西安 710055；3.西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院 工程結(jié)構(gòu)與抗震研究所，西安 710055)

聲子晶體[1-2]是一種可以控制固體中彈性波的周期性結(jié)構(gòu)，因其帶隙特性受到研究人員的廣泛關(guān)注，現(xiàn)有的帶隙形成機制主要為布拉格散射機制[3-5]與局域共振機制[6]。其中，基于布拉格散射機制的聲子晶體，帶隙產(chǎn)生的主要原因是周期變化的材料特性與彈性波的相互耦合作用,散射體的尺度和帶隙頻率所對應(yīng)的波長位于同一數(shù)量級，因此需要大的空間尺寸才能阻隔振動?；诰钟蚬舱駲C制的聲子晶體[7]，在彈性波激勵下，散射體振子產(chǎn)生共振，并且與彈性波相互作用，進而帶隙頻率遠低于相同晶格尺寸的布拉格帶隙，實現(xiàn)了小尺寸控制大波長，以局域共振機制為主的聲子晶體也稱為彈性超材料[8-11]。

為了促進彈性超材料在振動控制和機械工程中的應(yīng)用，獲得低頻及大帶寬帶隙是非常重要的。對于平面周期排列的彈性超材料，人們已經(jīng)進行了大量的研究，以探索具有優(yōu)良帶隙特性的超材料結(jié)構(gòu)[12-14]。Badreddine等設(shè)計了一種在X和Y方向周期排列雙面短柱的彈性超材料，運用有限元法計算得到了寬頻完全帶隙。Krushynsk等[16]研究一種含有橡膠包覆層的彈性超材料，通過平面周期布置晶格結(jié)構(gòu)可得到起始頻率低于200 Hz以下的低頻帶隙。Gao等[17]提出一種在X和Y方向周期分布雙諧振腔的二維彈性超材料，在35 Hz左右可產(chǎn)生5 Hz寬的超低頻帶隙。但是，以上研究僅基于直角坐標系進行彈性超材料的帶隙特性研究，對于柱坐標下的徑向彈性超材料并未涉及。

徑向彈性超材料是一種在徑向方向上呈周期性排列的環(huán)形結(jié)構(gòu)，具有全向帶隙特性。Shi等[18]提出一種由有機玻璃和鋼交替組成的徑向彈性超材料，得到寬頻完全帶隙。Ma等[19]研究具有晶格滑移特性的雙層徑向彈性超材料，其結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)寬頻完全帶隙特性。Li等[20]設(shè)計一種基板由鋁和環(huán)氧樹脂交替組成，并且在基板上附加周期性的橡膠和鋼塊的徑向彈性超材料，得到起始頻率低于500 Hz帶寬為100 Hz左右的帶隙。Gao等[21]設(shè)計一種以鋼為基體附加硅橡膠與鋼組合質(zhì)量塊的徑向彈性超材料，其一階帶隙中心頻率存在于300 Hz附近。雖然徑向彈性超材料以實現(xiàn)低頻阻帶為目標，但是仍然難以實現(xiàn)零頻起始頻率的阻帶。同時，目前的徑向彈性超材料實現(xiàn)的低頻帶隙往往較窄，難以滿足復(fù)雜的工程應(yīng)用環(huán)境。

研究發(fā)現(xiàn)，對周期性結(jié)構(gòu)施加固定端約束[22]，可在超低頻率范圍內(nèi)打開寬頻阻帶。Yao等[23]設(shè)計一種特殊的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，通過對結(jié)構(gòu)施加固定端約束，此系統(tǒng)可對0起始的一定頻率范圍內(nèi)的彈性波進行有效衰減。Antonakakis等[24]通過對彈性板上的特殊點施加固定端約束，研究彈性板中彎曲波的屏蔽現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)點約束形式將使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生零頻起始阻帶，并通過傅里葉級數(shù)與高頻均勻化理論[25]從數(shù)學(xué)角度研究零頻起始阻帶的產(chǎn)生原因。Yu等[26]通過對梁下基面施加固定端約束，同樣發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生0起始的阻帶。Achaoui等[27]通過對其周期性結(jié)構(gòu)底面施加約束，設(shè)計一種擁有零頻起始阻帶的寬頻二維地震超材料，可有效衰減地震波。但是，以上約束狀態(tài)的帶隙研究均基于直角坐標系下的周期結(jié)構(gòu)，并未對徑向周期性結(jié)構(gòu)開展相關(guān)研究。同時，其約束狀態(tài)下的帶隙機制并不清晰且未涉及超材料固有振動屬性研究。

本文提出一種工字型單相徑向彈性超材料，并計算其不同約束狀態(tài)下的帶隙特性。通過運用本征?？梢暬椒?，分析零頻起始帶隙產(chǎn)生及其帶隙拓寬原因。最后，研究幾何參數(shù)對帶隙特性的影響。本文提出約束作用下徑向彈性超材料，可有效衰減零頻起始的寬頻徑向振動，對超材料超低頻減振等領(lǐng)域的工程用拓展具有重要的現(xiàn)實意義。

1 “工”字型徑向彈性超材料結(jié)構(gòu)

本文提出的工字型徑向彈性超材料的單元晶格結(jié)構(gòu)，如圖1(a)所示，圖1(a)中：用a為工字型單位晶格結(jié)構(gòu)的腿寬，即晶格常數(shù)；h，d，e為工字型單位晶格結(jié)構(gòu)的腰高，腰厚與平均腿厚。單位晶格徑向周期排列形成超材料結(jié)構(gòu)的方式，如圖1(b)所示。圖1(c)、圖1(d)、圖(e)分別為三種不同約束狀態(tài)下的超材料結(jié)構(gòu)，其中深色表示超材料結(jié)構(gòu)被約束面。圖1(c)為Z向上下基面均施加固定端約束(簡稱雙面約束)的超材料結(jié)構(gòu)；圖1(d)為Z向單基面施加固定端約束作用(簡稱單面約束)的超材料結(jié)構(gòu)；圖1(e)為無固定端約束作用(簡稱無約束)的超材料結(jié)構(gòu)。其中，本文提到的約束均為剛性接觸而形成的固定端約束，忽略固定端接觸面上存在的小位移變形。

圖1 徑向彈性超材料 Fig.1 Radial elastic metamaterials

由于結(jié)構(gòu)的特殊性，提出基于圓柱坐標系下的有限元方法來研究其超材料結(jié)構(gòu)帶隙特性。首先，建立圓柱坐標系下的彈性波動方程，以便計算無限系統(tǒng)中的色散關(guān)系曲線。其中：u,v,w分別為柱坐標系的位移分量；ρ為密度；t為時間；λ和μ為材料的彈性波常數(shù)；r,θ,z分別為柱坐標系下的坐標分量。

(1)

(2)

因其晶格單元的周期性結(jié)構(gòu)是沿著徑向方向無限的，根據(jù)Bloch定理，只需考慮單個晶格單元。其晶格的邊界條件方程為

u(r+ra,z)=u(r,z)eikrra

(3)

式中：r為徑向位置；a為晶格常數(shù)；kr為徑向方向上Bloch波矢量Kr的分量。

利用等式(3)，在r上應(yīng)用周期性邊界條件，通過將Bloch波矢量Kr掃描第一不可約布里淵區(qū)的邊界，可以得到徑向超材料結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系曲線。

對于有限周期結(jié)構(gòu)，需要計算頻率響應(yīng)函數(shù)曲線來描述其傳輸特性。通過在有限周期結(jié)構(gòu)的一端沿徑向方向施加柱面加速度/位移激勵，同時在另一端記錄其所產(chǎn)生的柱面加速度/位移響應(yīng)，從而計算頻響函數(shù)。

T=20lg(a2/a1)

(4)

式中：a1為激勵端的加速度/位移激勵；a2為拾取端的加速度/位移響應(yīng)。

根據(jù)有限元理論[28]，式(1)可以轉(zhuǎn)化為具有離散形式的廣義特征值方程

(K-ω2M)u=0

(5)

式中：K為超材料結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；M為超材料結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；u為特征向量。

在獲得有限元廣義本征方程式(5)后，通過給定一組Bloch波矢量Kr，在該波矢條件下計算單一晶格單元的各階本征頻率ω，并回代至有限元方程，即可求得各階特征向量u=[u1,u2,…,un]T，繼而依據(jù)特征向量建立晶格單元中各點的位移值，并通過差異化的顏色顯示，即可獲得單一晶格單元的本征模位移矢量場[29]。本文將采用這種有效的有限元方法研究彈性超材料的帶隙特性。

2 數(shù)值結(jié)果與討論

2.1 帶隙結(jié)構(gòu)分析

應(yīng)用有限元法分別計算了三種不同約束狀態(tài)下的超材料結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系曲線。其中，幾何參數(shù)如下：晶格常數(shù)a=0.1 m，腰高h=0.1 m，腰厚d=0.06 m，平均腿厚e=0.02 m。整體結(jié)構(gòu)的材料為鋼，其楊氏模量E=2.106×1011Pa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 880 kg/m3。

圖2、圖3和圖4分別為雙面約束、單面約束和無約束狀態(tài)下的超材料結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系曲線。由圖可知，三種約束狀態(tài)下的超材料結(jié)構(gòu)均能產(chǎn)生完全帶隙。由圖2(a)可知，雙面約束下“工”字型徑向彈性超材料出現(xiàn)了零頻起始頻率，在30 000 Hz以下僅存在兩條能帶曲線，其第一帶隙(0～16 849 Hz)位于第一條能帶以下。單面約束狀態(tài)下同樣出現(xiàn)了零頻起始頻率，在15 000 Hz以下也僅存在兩條能帶，如圖3(a)所示，其第一帶隙(0～5 611.8 Hz)的截止頻率與雙面約束狀態(tài)下相比降低較多，帶隙寬度僅為雙面約束帶隙寬度的1/3。由圖4(a)觀察到，無約束狀態(tài)下在20 000 Hz以下存在四條能帶曲線，其中第一帶隙(14 298～16 993 Hz)位于第三條和第四條能帶之間，并不存在零頻起始帶隙。為了驗證能帶結(jié)構(gòu)的正確性，分別對雙面約束，單面約束和無約束狀態(tài)下的8/16個周期超材料結(jié)構(gòu)腰面加速度/位移信號拾取并進行平均處理，計算了超材料結(jié)構(gòu)頻響曲線，分別如圖2(b)、圖3(b)和圖4(b)所示，可以觀察到，加速度傳輸曲線與位移傳輸曲線存在較好的一致性，其帶隙位置與色散關(guān)系曲線所得到的帶隙結(jié)果相吻合。

圖2 雙面約束超材料的振動帶隙結(jié)構(gòu)Fig.2 Vibration band gaps structure of metamaterial with double-sided constraints

圖3 單面約束超材料的振動帶隙結(jié)構(gòu) Fig.3 Vibration band gap structure of metamaterial with unilateral constraints

圖4 無約束超材料的振動帶隙結(jié)構(gòu)Fig.4 Vibration band gap structure of metamaterial with unconstraint

2.2 帶隙形成機制分析

為研究零頻起始帶隙的機制，分別計算了三種約束狀態(tài)下能帶特殊點的本征模位移矢量場，如圖5所示。其中箭頭代表振動位移的方向，不同深淺度代表振動位移的幅值。

圖5 不同約束狀態(tài)下第一能帶起始點本征模位移矢量場Fig.5 Eigenmode shapes and displacement vector fields of the first band at the starting point in different constrained states

可以觀察到，A1點的振動模態(tài)集中在晶胞中部的徑向振動，整體呈現(xiàn)局域徑向振動模態(tài)，這是由于Z向上下兩基面施加固定端約束導(dǎo)致振動無法在上下基面產(chǎn)生；A2點，由于Z向單面施加固定端約束，下基面保持靜止，振動集中分布于晶胞上部，整體呈現(xiàn)類似“擺錘”的局域旋轉(zhuǎn)振動模態(tài)；而A3點，由于上下基面無約束，因此振動均勻分布在整個晶胞各處，整體呈現(xiàn)軸向的垂直振動模態(tài)。因此，由于面約束的作用，引起結(jié)構(gòu)固有本征模位移矢量場的改變，從而使超材料結(jié)構(gòu)的局域振動打開零頻起始帶隙。

進一步，研究雙面約束下超材料零頻起始帶隙有效拓寬的原因。由圖5中A1和A2點的振動模態(tài)可知，雙面約束和單面約束狀態(tài)下的振動模態(tài)可分別等效為一個彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)[30]和一個彈簧-擺系統(tǒng)[31]。零頻起始帶隙的截止頻率與結(jié)構(gòu)在A1點，A2點的固有頻率相關(guān)，其固有頻率可以分別由下式確定

(6)

式中：Ke為等效彈簧的剛度；Me為等效質(zhì)量。

(7)

式中：Ke為等效彈簧的剛度；J為結(jié)構(gòu)慣性矩；l為等效彈簧與旋轉(zhuǎn)中心的距離

A1點時，結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量Me(46.946)A2點(1.12×1011)。依據(jù)式(6)、式(7)，A1點的固有頻率f將顯著高于A2點。因此，約束狀態(tài)的差異將產(chǎn)生不同的局域振動模式，雙面約束超材料存在低的等效質(zhì)量Me與高的等效剛度Ke，結(jié)構(gòu)出現(xiàn)高的截止頻率，這是徑向彈性超材料零頻起始帶隙有效拓寬的主要原因。

2.3 零頻起始帶隙機制分析

進一步研究有限周期超材料結(jié)構(gòu)的振動特性，探討固定端約束狀態(tài)下超材料結(jié)構(gòu)零頻起始帶隙的產(chǎn)生機制。圖6、圖7分別表示8個周期的徑向超材料結(jié)構(gòu)在雙面約束狀態(tài)和單面約束狀態(tài)下第一帶隙中心頻率處沿徑向的位移場。在圖6中，其雙面約束狀態(tài)下第一帶隙中心頻率為8 425.5 Hz，其入射波被有效反射，并出現(xiàn)局域振動模式；在超材料陣列內(nèi)部，振動幅度在第一個晶格處最大，然后向出口呈指數(shù)衰減，在出口一側(cè)觀察到低透射率。第一晶格處的振動模式沿軸向方向是對稱的,這與試驗的結(jié)果是一致的[32]。因此，雙面約束狀態(tài)下8 425.5 Hz附近的全帶隙明顯與晶格的局部共振有關(guān)。同時，在單面約束2 805.5 Hz處，可觀察到相同的現(xiàn)象，如圖7所示。因此，固定端約束作用下徑向彈性超材料產(chǎn)生的全帶隙明顯與晶格的局域共振機制有關(guān)。

圖6 雙面約束超材料的徑向振動位移場研究Fig.6 Investigation on radial vibrational displacement fields of metamaterial with double-sided constrains

圖7 單面約束超材料的徑向振動位移場研究Fig.7 Investigation on radial vibrational displacement fields of metamaterial with unilateral constraints

3 幾何參數(shù)對帶隙特性的影響

本節(jié)研究幾何參數(shù)對雙面約束超材料的帶隙特性的影響。圖8(a)為第一帶隙隨幾何參數(shù)比值d/a的變化規(guī)律，其中，材料參數(shù)及其他幾何參數(shù)均保持不變。由圖可知，隨著d/a的增加截止頻率呈現(xiàn)先逐漸升高而后緩慢下降的趨勢，帶隙寬度先變大后減小。當(dāng)d/a=0.45時，零頻起始帶隙的寬度最大。由于雙面固定端約束作用，工字型結(jié)構(gòu)中部即作為提供等效剛度的彈簧，同時又作為提供等效質(zhì)量的質(zhì)量體(如圖8(b)所示)。當(dāng)d/a<0.45時，結(jié)構(gòu)中彈簧作用將處于主導(dǎo)地位，隨著參數(shù)d/a的增加，等效剛度Ke的不斷增加，將是帶隙寬度變大的原因。在參數(shù)d/a=0.45時，結(jié)構(gòu)中部承擔(dān)彈簧作用與質(zhì)量體作用的比例相近，使其帶隙寬度出現(xiàn)最大值。而后，隨著參數(shù)d/a的增加，結(jié)構(gòu)局域徑向振動的加強，引起結(jié)構(gòu)等效質(zhì)量Me的增加，這將是其帶隙寬度緩慢下降的原因。

圖8 帶隙特性與參數(shù)比值d/a的關(guān)系Fig.8 Relationship between parameter ratio d/a and band gap characteristics

圖9(a)為雙面約束狀態(tài)下徑向彈性超材料帶隙隨幾何參數(shù)比值e/a的變化?？梢钥闯?，第一帶隙的截止頻率值隨著e/a的增加呈現(xiàn)單調(diào)增加趨勢，其帶隙寬度也逐之變寬。為了探討帶隙寬度變化的原因，計算了不同e/a的本征模位移矢量場(如圖9(b)所示)。結(jié)果表明，隨著e/a的增加，工字型結(jié)構(gòu)的彎曲剛度不斷增大，引起結(jié)構(gòu)上下側(cè)彎曲振動作用不斷減弱，而結(jié)構(gòu)局域徑向振動逐步加強。結(jié)構(gòu)上下側(cè)與結(jié)構(gòu)中部徑向振動耦合作用的不斷增強，是導(dǎo)致其截止頻率不斷升高，帶隙寬度逐漸增加的主要原因。

圖9 帶隙特性與參數(shù)比值e/a的關(guān)系Fig.9 Relationship between parameter ratio e/a and band gap characteristics

4 結(jié) 論

本文提出一種“工”字型徑向彈性超材料，研究三種約束狀態(tài)下的帶隙特性及變化，并對其雙面約束和單面約束狀態(tài)下的零頻起始帶隙機制進行了分析，最后研究了隨著幾何參數(shù)的變化，雙面約束狀態(tài)下的“工”字型徑向彈性超材料的零頻起始帶隙的變化規(guī)律。

研究表明：“工”字型徑向彈性超材料的帶隙特性受其結(jié)構(gòu)固有振動屬性的影響，約束作用將改變結(jié)構(gòu)固有屬性，影響結(jié)構(gòu)的帶隙特性；固定端約束使 “工”字型徑向超材料結(jié)構(gòu)具有零頻起始帶隙特性，并隨著約束面的增加，有效拓寬了超材料結(jié)構(gòu)的零頻起始帶隙的寬度；零頻起始帶隙的產(chǎn)生機制是局域共振機制,約束作用在布拉格散射周期性結(jié)構(gòu)中形成局域共振模態(tài)，這是打開零頻起始帶隙的關(guān)鍵；隨著參數(shù)比值d/a的增加，帶隙呈現(xiàn)先變大后減小，其原因為工字型結(jié)構(gòu)中部即提供等效剛度，同時又提供等效質(zhì)量，等效剛度Ke與等效質(zhì)量Me隨d/a的動態(tài)變化是引起帶隙變化的主要原因；隨著參數(shù)比值e/a的增加，結(jié)構(gòu)彎曲剛度增大，彎曲振動作用的減弱與徑向振動作用的增強，促使帶隙寬度逐漸變寬。

本文提出約束作用下徑向彈性超材料，具有零頻起始帶隙，對于徑向振動具有強烈的衰減特性，對超材料超低頻減振等領(lǐng)域的工程應(yīng)用拓展具有重要的應(yīng)用前景。