基于浸入與不變原理的電力系統(tǒng)混沌振蕩分析與控制

王定勝， 張宏立， 王 聰， 張紹華

(新疆大學 電氣工程學院，烏魯木齊 830047)

電力系統(tǒng)是一種典型的大規(guī)模復雜非線性動態(tài)系統(tǒng)，非線性、多變量、強耦合的特點，為其帶來豐富的動力學行為，在一定條件下會產(chǎn)生突發(fā)性分岔、無規(guī)則混沌振蕩等現(xiàn)象[1-4]。電網(wǎng)在運行過程中易受到參數(shù)改變、外部擾動、負荷變化等影響，大大限制了其運行過程中穩(wěn)定安全域，如果不對其及時采取糾正措施，將會造成電網(wǎng)的轉角失穩(wěn)、電壓崩潰、頻率振蕩等危害，嚴重時甚至造成大規(guī)模的停電事故，對電網(wǎng)產(chǎn)生不可逆的損壞，增加安全隱患[5]。因此，如何快速有效地抑制電力系統(tǒng)中的混沌振蕩現(xiàn)象，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定域，保障電網(wǎng)的安全運行，成為行業(yè)內(nèi)研究的熱門課題。

近年來，關于電力系統(tǒng)混沌振蕩的抑制問題被越來越多的重視，有關這方面的研究對此提出過許多新的控制方案。文獻[6]在簡單電力系統(tǒng)模型中采用狀態(tài)負反饋方法，通過鎮(zhèn)定系統(tǒng)的不穩(wěn)定周期軌道，以達到抑制混沌振蕩的目的。文獻[7]采用延遲反饋控制法(delayed feedback control，DFC)對電力系統(tǒng)進行混沌控制，該方法在證明過程中需要確定復雜的反饋系數(shù)和延遲時間才能夠保證系統(tǒng)的穩(wěn)定。文獻[8]論述了基于Washout-filter法通過改變電力系統(tǒng)的分岔點來維持系統(tǒng)穩(wěn)定的可能性，一定程度上增加了系統(tǒng)的穩(wěn)定運行域?；Ｗ兘Y構控制憑借其控制響應迅速、不受參數(shù)影響，魯棒性強等方面的優(yōu)勢，廣泛應用在電力系統(tǒng)的分岔、混沌等問題的控制策略中。文獻[9]利用反演思想設計的滑模變結構控制器，應用到二階電力系統(tǒng)模型的混沌控制中，有效實現(xiàn)了該方法的穩(wěn)定控制效果，但其對問題的描述過于片面。文獻[10]通過增加等效快速終端的方法，對模糊滑?？刂七M行改進，來抑制電力系統(tǒng)中的混沌振蕩現(xiàn)象，但是為了解決系統(tǒng)控制中因不可避免的抖振帶來的影響，需要在控制信號端對其進行柔性化處理。文獻[11]對具有兩個不確定參數(shù)的互聯(lián)電力系統(tǒng)混沌行為的研究中，設計了基于模糊理論的滑?？刂破?，一定程度改善了混沌互聯(lián)電力系統(tǒng)的控制問題。除上述的研究外，現(xiàn)在還衍生出各種組合改進算法，如：有限時間無源自適應控制[12]、自適應全局滑?？刂芠13]、分布式神經(jīng)網(wǎng)絡自適應控制[14-15]。以上研究著重于電力系統(tǒng)二階模型進行討論，其形式過于簡單，很難全面地展現(xiàn)電力系統(tǒng)詳細的運行狀態(tài)信息。

浸入與不變(immersion and invariance，Ⅰ&Ⅰ)原理由Astolfi等[16-18]提出，其思想是通過降維處理將控制系統(tǒng)“浸入”到一種低維流形中，通過控制率的設計，能夠將其流形保持不變和吸引，從而保證整個系統(tǒng)的穩(wěn)定?；冖?Ⅰ原理引出的控制策略不僅能夠快速處理非線性系統(tǒng)的控制問題，對系統(tǒng)中不確定項的自適應問題也能夠實現(xiàn)精確跟蹤，具有較強的魯棒性。該方法的核心是根據(jù)設計指標確定一個低階的動態(tài)系統(tǒng)，然后建立與被控系統(tǒng)之間的映射關系，使系統(tǒng)狀態(tài)漸近地跟隨低階動態(tài)系統(tǒng)，這個過程可以視為使被控系統(tǒng)“浸入”低階動態(tài)系統(tǒng)。這里的低階動態(tài)系統(tǒng)和滑模控制算法中的滑動平面相似，兩者的不同點在于Ⅰ&Ⅰ控制方法不強制要求系統(tǒng)狀態(tài)運行到指定的滑動模態(tài)，只需要滿足控制要求的漸近收斂條件即可，故不僅可大幅降低由滑模面快速切換引起的高頻振動，還可實現(xiàn)母線電壓動態(tài)平滑控制。

目前國內(nèi)對于Ⅰ&Ⅰ原理的相關研究，大多是將其應用到氣動彈性系統(tǒng)，無人飛行器等剛體機械系統(tǒng)中[19-21]。本文通過建模與分析，將Ⅰ&Ⅰ原理引入到四階電力系統(tǒng)的混沌抑制過程中，對混沌電力系統(tǒng)的實施穩(wěn)定控制。仿真試驗結果表明，基于Ⅰ&Ⅰ原理設計的控制律和自適應律，能夠對電力系統(tǒng)混沌振蕩實現(xiàn)穩(wěn)定控制，對系統(tǒng)外部不確定擾動實現(xiàn)精確辨識。

1 電力系統(tǒng)動力學分析

電力系統(tǒng)的組成，主要包括發(fā)電機、動態(tài)負荷、電網(wǎng)絡三大模塊，發(fā)電機是電網(wǎng)的輸入端，其運行狀態(tài)能夠在電力系統(tǒng)穩(wěn)定運行中發(fā)揮導向性作用，其穩(wěn)定性表現(xiàn)在它的動態(tài)特性上。動態(tài)負荷模塊反映的是負載端的功率消耗(包括有功功率和無功功率)隨電壓改變而快速變化的情況。電網(wǎng)絡部分集中描述系統(tǒng)中各參數(shù)之間的相互關系。在電網(wǎng)實際中，常將實數(shù)部分有功功率Pi和虛數(shù)部分無功功率Qi分開來。常見的電力系統(tǒng)混沌振蕩現(xiàn)象是由無功功率Qi的變化所引起，是系統(tǒng)穩(wěn)定運行的重大隱患。本文采用經(jīng)典雙機三節(jié)點電力系統(tǒng)模型，系統(tǒng)模型的接線圖如圖1所示。E0為無窮大系統(tǒng)母線電壓幅值；Y0為節(jié)點導納。

圖1 雙機三節(jié)點電力系統(tǒng)模型Fig.1 Two machine three node power system model

根據(jù)電路原理，電力系統(tǒng)含不確定參數(shù)Qi非線性數(shù)學模型常規(guī)OED形式

(1)

式中：δ為功率角；ω為功率角速度；θ為負荷母線相角；V為節(jié)點電壓；Q1為系統(tǒng)的無功負荷，不確定參數(shù)項。

通過對電壓平衡曲線的研究，表明無功功率Q1的變化，可以改變電力系統(tǒng)的運行狀態(tài)，引發(fā)電力系統(tǒng)產(chǎn)生豐富的動力學行為。

圖2所示，在Q1=[10,11.5]內(nèi)，系統(tǒng)運行狀態(tài)在穩(wěn)定和分岔間來回切換，只能保持小范圍的穩(wěn)定，當Q1變化到10.946 7時，系統(tǒng)發(fā)生第一次Hopf分岔，此時系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為0.012，該點為亞臨界Hopf分岔，表明系統(tǒng)已經(jīng)由分岔引起失穩(wěn)，若繼續(xù)增大，則會發(fā)生第二次Hopf分岔和Fold分岔，且兩點間隔僅為0.004 7，表明系統(tǒng)在此區(qū)間內(nèi)非常敏感，進而可能發(fā)生混沌振蕩現(xiàn)象。下面選取兩個特例值，分析Q1對系統(tǒng)運行的具體影響。

圖2 電壓平衡曲線Fig.2 Voltage balance curve

當Q1=11.376 0時，系統(tǒng)電壓初值在0.97左右，表現(xiàn)為增幅振蕩，約經(jīng)過10 s后，系統(tǒng)逐漸失穩(wěn)，電壓變?yōu)椴豢煽貭顟B(tài)，隨后出現(xiàn)電壓崩潰現(xiàn)象，電壓曲線和相圖如圖3所示。

圖3 Q1=11.376 0電壓曲線和相圖Fig.3 Voltage curve and phase diagram when Q1=11.376 0

當Q1=11.367 7時，系統(tǒng)運行狀態(tài)發(fā)生本質(zhì)上改變，進入混沌狀態(tài)，表現(xiàn)為不規(guī)則振蕩，系統(tǒng)徹底變?yōu)闊o序態(tài)，電壓曲線和相圖如圖4所示。

圖4 Q1=11.376 7時電壓時序圖和相圖Fig.4 Voltage curve and phase diagram when Q1=11.376 7

2 基于Ⅰ&Ⅰ原理ABSMC設計

電壓穩(wěn)定是整個電網(wǎng)安全運行的關鍵。如何維持電壓在運行過程中穩(wěn)定輸出，正是解決電力系統(tǒng)穩(wěn)定運行的首要前提?；Ｗ兘Y構控制是解決非線性系統(tǒng)控制問題的重要方法，其突出優(yōu)點是當系統(tǒng)到達滑模面時，控制器能夠實現(xiàn)其根據(jù)切換面做指定的滑動模態(tài)運動，而整個過程與原系統(tǒng)的結構及參數(shù)是無關的，因此滑?？刂茖Ρ豢貙ο蟊憩F(xiàn)出很好的魯棒性。反演是一種較為成熟的控制器構造思想，其通過對原系統(tǒng)進行降價，取得低維的子系統(tǒng)，在此基礎上，設定虛擬控制量，并通過選取Lyapunov函數(shù)，來保證系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性，再逆推控制律算法。這樣先保證穩(wěn)定性，再設計控制器的思想，確保整個系統(tǒng)一直處于穩(wěn)定狀態(tài)。利用Ⅰ&Ⅰ原理，可以對外部擾動進行估計時，更加地靈活有效，有別于一般的自適應算法，它是利用擾動的估計誤差，使其漸進收斂來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通過設計流形并保持其吸引與不變來實現(xiàn)。本文以誤差估計為對象，建立不變流形，以控制目標估計誤差能夠收斂到0來設計合適的控制律和自適應律。

為提高控制方法的適應性，對式(1)的非線性數(shù)學模型增設外部擾動d，設計低維模型，表示為

(2)

式中：Δ=16.666 7sin(θ-δ+0.087 3)V-0.166 7ω+1.880 7；u為待設計的控制律。

根據(jù)反演法，設定功率角速度的預期控制目標為eδ，定義狀態(tài)變量誤差

e1=δ-eδ

(3)

(4)

(5)

此處，取虛擬控制量為

(6)

式中，系數(shù)k1>0，有

e2=ω-α

(7)

(8)

定義估計誤差

(9)

(10)

由自適應反演滑?？刂?(adaptive backstepping sliding mode control，ABSMC)方法，設計滑模面為

s1=e2+c1e1

(11)

式中，系數(shù)c1>0，則

(12)

(13)

設計控制律

[εtanh(s1/σ)+h1s1]

(14)

為消除滑模控制帶來的抖振和控制不連續(xù)問題，在控制律的設計過程中加入連續(xù)的反正切函數(shù)-εtanh(s1/σ)-h1s1作為趨近律，以改善控制品質(zhì)。

構造正定矩陣

(15)

定義誤差流形

(16)

式中，β(δ,ω)為待設計補償函數(shù)。

假定上述流形能夠不變，則擴展電力系統(tǒng)模型，對照式(2)有

(17)

根據(jù)(17)中對b和β(δ,ω)的定義，有

e2=ω-α

(18)

(19)

同理，由ABSMC方法設計新的滑模面

s2=e2+c2e1

(20)

式中，系數(shù)c2>0，則

(21)

由式(21)得，新的控制律設計為

(22)

式中，系數(shù)k2>0，在控制律設計中加入調(diào)節(jié)系數(shù)σ，增強其控制能力。調(diào)節(jié)系數(shù)可以影響控制器的響應速度和超調(diào)量，具有更強的靈活性。

Ⅰ&Ⅰ原理要求，設計合適的擾動估計自適應律φ及額外補償項β(δ,ω)，要能確保以上設計的流形保持不變和吸引，根據(jù)式(17)的定義，有

(23)

(24)

(25)

β(δ,ω)=γ2ω

(26)

s2{-b-ε2[tanh(s2/σ)+h2s2]-k2e1}-b2

(27)

為保證式(27)負定，這里需要令ε2>max|b|，有

(28)

綜上，是基于Ⅰ & Ⅰ原理的ABSMC的設計和證明過程。

3 數(shù)值仿真

為驗證本文所提方案的有效性，進行仿真試驗。系統(tǒng)的初始條件設定以下(δ,ω,θ,V)=(0.3,0,0.2,0.97)，外部擾動取d=2cos(0.4πt)，c1=5，c2=1，k1=3，k2=1，ε=2，h2=3，γ2=100，σ=0.1。

取無功功率Q1=11.376 7，根據(jù)第1章的分析可知，在此參數(shù)下，電力系統(tǒng)會在Q1的作用下產(chǎn)生混沌振蕩現(xiàn)象，可以很好地驗證理論證明結果。設置仿真區(qū)間0～20 s時間，試驗結果如圖5～圖11所示。

圖5 Q1=11.376 7控制對比曲線Fig.5 Control comparison curve when Q1=11.376 7

圖5變量響應曲線表示，通過對比是否加入控制器變化可以看出，系統(tǒng)自由演化發(fā)生無規(guī)則混沌振蕩，在控制器的介入下，系統(tǒng)各參數(shù)變量實現(xiàn)快速收斂，達到穩(wěn)定狀態(tài)；從圖6中各變量與電壓關系相圖可以看出，最終各變量δ，ω和θ都可以實現(xiàn)關于電壓V穩(wěn)定；在控制率的設計過程中，因為加入了反演控制的思想，如圖7誤差曲線所示，保證了所設計變量誤差e1，e2最終都能收斂到0。

圖6 δ，ω，θ分別與電壓相圖Fig.6 δ，ω，θ phase diagram with voltage respectively

圖7 δ,ω變量誤差曲線Fig.7 δ,ω variable error curve

圖8展示了兩種不同趨近律對輸入控制信號的影響變化。對比得出，在本文所提出的控制方法中，以雙曲正切函數(shù)作為趨近律，可有效改善控制率的輸入品質(zhì)，抑制了滑模控制抖振現(xiàn)象，從而使本文的控制策略具有較好的魯棒性。

圖8 不同趨近律的輸入曲線Fig.8 Input curves of different reaching laws

由于不同控制器的參數(shù)會對系統(tǒng)產(chǎn)生不同的控制效果，σ作為控制器的調(diào)節(jié)系數(shù)，可以改善控制器的調(diào)節(jié)作用。圖9給出了系統(tǒng)的電壓V隨參數(shù)σ變化的響應曲線，可以看出σ的不同取值，會影響到控制曲線的超調(diào)量和響應速度。在σ∈[0.1,10]內(nèi)，隨著σ的減小，可以降低控制曲線的超調(diào)量，并且在響應速度上有所提高。

圖9 系統(tǒng)電壓隨調(diào)節(jié)系數(shù)變化曲線Fig.9 Variation curve of system voltage with regulation coefficient

基于Ⅰ&Ⅰ的ABSMC控制方法的突出優(yōu)勢是可以對系統(tǒng)的動態(tài)擾動進行實時的精確辨識，我們在系統(tǒng)運行在第20秒時加入控制器，表示前后的對比變化。從圖10可以看出，在經(jīng)過一次較大的超調(diào)后，擾動估計量最終能夠實時擬合到給定真值。觀測器的超調(diào)量與精度都和參數(shù)γ2有關。圖11顯示，隨著γ2的增大，可以不斷縮小擬合的誤差，但其超調(diào)量卻增加明顯。本文提出的方法具有較好的動態(tài)跟蹤性能和自適應能力，能夠有效使電力系統(tǒng)運行在期望的狀態(tài)。

圖10 擾動估計誤差曲線Fig.10 Disturbance estimation error curve

在圖12中，給定相同的仿真初始條件，將本文所提方案與傳統(tǒng)的反演控制(backstepping control，BSC)和ABSMC相比較。由于反演思想的引入，可以保證了BSC、ABSMC與Ⅰ&Ⅰ ABSMC三種方法均能實現(xiàn)電力系統(tǒng)穩(wěn)定控制。與其他兩種方法通過對比可以發(fā)現(xiàn)，在Ⅰ&Ⅰ ABSMC控制器作用下，大約在1.5 s處便可使狀態(tài)變量收斂，系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)，大大縮短了系統(tǒng)的過渡時間，提高了系統(tǒng)的響應速度。

圖11 擾動估計量觀測曲線Fig.11 Observation curve of disturbance estimator

圖12 控制效果對比曲線Fig.12 Control effect comparison curve

在工程實際中，電力系統(tǒng)并非只有混沌振蕩這一種不穩(wěn)定狀態(tài)，還有可能發(fā)生電壓崩潰的可能。根據(jù)前文的分析，當Q1=11.376 0時，即為電壓崩潰。為此取相同的初始值和參數(shù)設置，進行如下仿真試驗。

圖13為變量響應曲線，展示了在電壓崩潰下的控制效果?？梢钥闯?，大約在12 s左右，如果任由系統(tǒng)自由演化，將會發(fā)生電壓崩潰；而在控制器的介入下，可及時糾正電壓下降行為，改變系統(tǒng)運行，各參數(shù)變量實現(xiàn)快速收斂，達到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖13 Q1=11.376 0控制對比曲線Fig.13 Control comparison curve when Q1=11.376 0

為符合工程實際，在其10 s后施加控制器。如圖14所示，在Q1=11.376 7時，觀測器仍然可以對外部擾動實現(xiàn)精確辨識。雖然與混沌振蕩不同的兩種狀態(tài)，但其最終的控制效果和辨識能力可以說明本文所提方案對電力系統(tǒng)的穩(wěn)定控制具有普遍的適用性。

圖14 Q1=11.376 0擾動估計量觀測曲線Fig.14 Observation curve of disturbance estimator when Q1=11.376 0

4 結 論

本文將Ⅰ&Ⅰ原理應用到四階電力系統(tǒng)中，在四階電力系統(tǒng)的混沌振蕩的數(shù)值分析中發(fā)掘兩種不同的系統(tǒng)失穩(wěn)狀態(tài)。針對其無功負荷參數(shù)變化引起的系統(tǒng)不穩(wěn)定的問題，同時考慮到電網(wǎng)實際運行中存在的外部干擾，對系統(tǒng)模型加入了不確定擾動項，利用Ⅰ&Ⅰ原理對不確定擾動進行估計預測，根據(jù)反演思想，設計ABSMC，確保了控制律設計的魯棒性。控制器的整體設計過程中，結合了反演法與滑模控制兩者的優(yōu)勢，既保證了整個設計過程中系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也提高了系統(tǒng)的響應速度和自適應性；并且在設計時增加控制率的調(diào)節(jié)系數(shù)，增加了控制律調(diào)節(jié)能力。通過對理論分析進行數(shù)值仿真試驗，結果表明，本文所設計的控制律，能夠對混沌電力系統(tǒng)的外部擾動實現(xiàn)準確的辨識，電力系統(tǒng)各狀態(tài)變量快速達到收斂，系統(tǒng)運行的穩(wěn)定性和響應速度得到提升。本文控制方案的提出為電力系統(tǒng)的混沌振蕩控制提供了一種新可行性方案。