負剛度吸振器對有限長彈性梁的抑振效果研究

劉海平， 黃志鋒， 邊新孝

(北京科技大學 機械工程學院，北京 100083)

梁式結(jié)構(gòu)屬于工程實際中一種典型結(jié)構(gòu)，如鋼軌、輸油管道、橋梁、航天器上的展開臂等，由于結(jié)構(gòu)剛度低，阻尼小，振動控制難度大，利用動力吸振器對梁結(jié)構(gòu)的振動進行控制具有重大意義。近年，學者針對動力吸振器對梁結(jié)構(gòu)的振動控制開展過許多研究。Jacquot[1]通過在無阻尼懸臂梁上附加集中參數(shù)阻尼器和動力吸振器，研究分布參數(shù)系統(tǒng)的最優(yōu)隨機振動抑制問題。Thompson等[2]針對鋼軌的橫向與垂向振動峰值頻段設計了一種由阻尼層與雙層質(zhì)量塊構(gòu)成的動力吸振器。Bae等[3]提出一種改進的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的概念，并針對調(diào)諧質(zhì)量阻尼器對懸臂梁振動響應的控制進行研究。戚健儒等[4]設計短、長兩種鋼軌試驗模型，采用力錘錘擊激勵方式，對比測試了吸振器安裝前后鋼軌振動量級及鋼軌振動衰減率的變化。張新亞等[5]為了實現(xiàn)對簡支箱梁多階模態(tài)參與振動響應的控制，基于調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(tuned mass damper,TMD)定點理論及多自由度系統(tǒng)等價質(zhì)量識別法，得到箱梁結(jié)構(gòu)附加TMD的最優(yōu)參數(shù)。馬信欣等[6]將行人激勵簡化為移動簡諧加載，建立人群-人行橋-TMD振動系統(tǒng)，用Simulink對此簡支梁橋進行定質(zhì)量TMD與變質(zhì)量TMD的減振分析。周笛等[7]基于反共振原理，設計了一種可調(diào)頻式的管道動力吸振器，將其安裝在管路共振位移最大處，可以實現(xiàn)不同頻率下管道減振。孫倩等[8]建立包含復合吸振器的彈性車體-軌道耦合垂向動力學模型，該方案可同時實現(xiàn)對車體剛體振動和彈性振動的有效抑制。

隨著對振動控制系統(tǒng)的深入研究，學者發(fā)現(xiàn)，在動力吸振器中引入負剛度元件能夠極大降低共振峰值，同時有效抑振頻帶更寬。因此，近年針對負剛度動力吸振器的研究獲得持續(xù)關(guān)注。

彭海波等[9]提出一種含有負剛度彈簧元件的新型動力吸振器，通過固定點理論對該類吸振器的最優(yōu)參數(shù)展開研究。王孝然等[10]提出一種含有負剛度彈簧元件的三要素型動力吸振器模型，利用固定點理論和最小化幅頻曲線的最大值得到系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)。Huang等[11]提出一種具有負剛度的動力吸振器來抑制軸系縱向振動的傳遞；同年，Huang等[12]又采用負剛度動力吸振器控制剛性基礎的力傳遞。郝巖等[13]將黏彈性材料模型中的Maxwell模型引入到吸振系統(tǒng)，形成一種含負剛度元件的Maxwell模型動力吸振器，根據(jù)H∞優(yōu)化準則得到最優(yōu)參數(shù)。Liu等[14]為了降低有碴軌道鋼軌部分的振動傳遞和輻射噪聲，研制了一種負剛度鋼軌動力吸振器。Zhou等[15]研究動力吸振器與負剛度的兩種構(gòu)型，并根據(jù)固定點理論和穩(wěn)定性最大化準則兩種優(yōu)化方法進行了參數(shù)優(yōu)化。陳杰等[16]提出新型的被動振動控制結(jié)構(gòu)，即含有慣容器和負剛度彈簧元件的動力吸振器振動控制結(jié)構(gòu)，通過理論分析和最優(yōu)設計證明其可以有效抑制梁的橫向振動。

以上針對動力吸振器的研究和優(yōu)化設計，均是以系統(tǒng)的單點響應或單點傳遞率作為控制量和評價指標。顯然，此類評價方法限于動態(tài)信息有限而無法全面評價動力吸振器的振動控制效果。功率流方法綜合力和速度響應的大小及相位關(guān)系，給出振動傳輸?shù)囊粋€絕對度量，是研究復雜系統(tǒng)振動的有效工具。

宛敏紅等[17]針對附加動力吸振器的簡支矩形薄板，利用結(jié)構(gòu)導納理論，推導出集中簡諧力偶作用下系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的功率流表達式。徐振邦等[18]通過子結(jié)構(gòu)導納綜合法建立柔性主系統(tǒng)和有底座吸振器耦合的動力學模型，以系統(tǒng)中的凈功率流和振幅為考核指標，探討底座參數(shù)對減振效果的影響。Yang等[19]研究了二自由度系統(tǒng)的振動功率流特性，用解析近似和數(shù)值積分方法獲得振動系統(tǒng)的時均功率流以及系統(tǒng)的動能，利用功率吸收比和非線性振子的動能，定量地評價非線性吸振器相對于現(xiàn)有非線性振子的有效性。Zhou等[20]通過功率流方法確定時間平均功率流輸入和傳輸?shù)膭幽?，用功率流密度向量表示復合材料板?nèi)部的振動傳播路徑。

綜上，現(xiàn)有針對負剛度動力吸振器的研究主要以集中參數(shù)模型為主，通過優(yōu)化設計討論其振動控制效果。實際中，受工程結(jié)構(gòu)邊界條件和動態(tài)彈性特征的影響，負剛度動力吸振器的有效性將發(fā)生改變。此外，針對此類系統(tǒng)采用單點的響應特征或傳遞特性無法全面了解其振動控制效果。在此基礎上，考慮采用功率流法研究兩類負剛度動力吸振器對彈性簡支梁動態(tài)響應的控制效果。首先，利用所建理論模型，以彈性簡支梁的第1階模態(tài)作為振動控制對象，利用固定點理論和最大值最小化理論獲得負剛度動力吸振器的最優(yōu)設計參數(shù)。然后，采用功率流理論對安裝不同類型動力吸振器彈性簡支梁的振動控制效果進行評價。最后，通過對比研究，明確關(guān)鍵設計參數(shù)。相關(guān)研究為負剛度動力吸振器的工程應用提供一定理論參考。

1 安裝負剛度吸振器彈性梁模型

彈性梁為等截面簡支梁，彈性模量E，密度ρ0，截面慣性矩I，在距離坐標原點l/4處作用一干擾力P0sin(ωt)，在彈性梁中點布置負剛度動力吸振器。彈性梁水平方向坐標為x，垂直方向坐標為u，坐標原點位于彈性梁左端點，u(x,t)為梁撓度。

此處，重點考慮負剛度動力吸振器安裝方式對彈性簡支梁動態(tài)響應的控制效果，具體模型如圖1所示?？梢?圖1(a)為在傳統(tǒng)線性動力吸振器中引入接地負剛度元件；圖1(b)為吸振子一端通過彈簧與彈性簡支梁連接，另一端則通過并聯(lián)阻尼元件和負剛度元件與大地相連。

當取消圖1中動力吸振器模型的負剛度元件時，負剛度動力吸振器模型退化為傳統(tǒng)線性動力吸振器模型,如圖2所示。綜合圖1和圖2所建四種模型，論文重點考慮安裝不同形式負剛度動力吸振器對有限長彈性簡支梁動態(tài)響應控制效果的影響。其中:模型3和模型4為傳統(tǒng)線性動力吸振器，區(qū)別在于阻尼元件安裝位置不同；模型1和模型2則分別對應前述兩類傳統(tǒng)線性動力吸振器的基礎上引入負剛度元件。上述四種模型重點從理論角度，研究阻尼元件安裝位置和負剛度元件對傳統(tǒng)線性動力吸振器振動抑制效果的影響。

圖1 安裝負剛度動力吸振器的彈性簡支梁模型Fig.1 Elastic simply supported beam models with negative stiffness dynamic vibration absorber

圖2 安裝傳統(tǒng)線性動力吸振器的彈性簡支梁模型Fig.2 Elastic simply supported beam models with conventional linear dynamic vibration absorbers

需要說明，上述四種模型均為線性系統(tǒng)，采用隨機激勵和正弦激勵對耦合系統(tǒng)的傳遞特征影響不大。故，通過采用正弦激勵可以得到一些普適性結(jié)論。

2 動力學建模

根據(jù)圖1(a)所示模型，建立系統(tǒng)運動微分方程

(1)

式中：彈性梁的設計參數(shù)包括，ρ為單位長度質(zhì)量，ρ=ρ0bh，b和h分別為寬度和高度，u(x,t)為垂向撓度，δ為Dirac函數(shù)，p(x,t)為干擾力；考慮梁的阻尼機理，定義c1為黏性外阻尼系數(shù)，cs為應變速度內(nèi)阻尼系數(shù),其中，c1=aρ，cs=γE，a，γ為比例系數(shù);動力吸振器的設計參數(shù)包括，c為阻尼系數(shù)，k為正剛度系數(shù)，k1為負剛度系數(shù)。

采用分離變量法，簡支梁的位移表達式

(2)

式中：振型函數(shù)可以寫成φi(x)=sin(iπx/l)，i=1,2,…，不隨時間變化;qi(t)為隨時間變化的振幅。

對式(1)兩邊同時乘以φi(x)，在(0,l)上積，利用振型正交性得到

(3)

(4)

引入?yún)?shù)

式(3)可以寫成

(5)

對式(5)進行拉式變換，設Qi=H1iejωt，Y=H12ejωt，s=jω，可以得到

(6)

引入?yún)?shù)

(7)

可以解得

(8)

引入?yún)?shù)

λ=ω/ωi,ν=ω2/ωi,β=f/Ki

通過式(8)可以得到模型1第i階模態(tài)對應的幅頻響應

(9)

式中：F1=αν2+ν2-λ2;G1=2λν;N1=(A2αμν2+1+α)ν2+(-4ξiξν-αν2-A2μν2+λ2-ν2)λ2;M1=2A2αξμν3λ+2αξiν2λ-2A2ξμνλ3+2ξνλ+2ξiν2λ-2ξiλ3-2ξνλ3。

引入振幅放大因子，可以得到

(10)

根據(jù)圖1(b)所示模型建立系統(tǒng)運動微分方程

(11)

采用針對模型1的求解方法，對式(11)進行拉式變換，設Qi=H2iejωt，Y=H22ejωt，s=jω，可以寫出模型2第i階模態(tài)對應的幅頻響應

(12)

式中：F2=αν2+ν2-λ2;G2=2λν;N2=(4ξiξν+αν2+1+ν2-λ2)λ2+(-A2αμν2-α+A2μλ2-1)ν2;M2=-2αξiν2λ-2A2ξμν3λ-2ξλν-2ξiν2λ+2ξiλ3+2ξνλ3。

引入振幅放大因子，可以得到

(13)

3 功率流

為了評價負剛度動力吸振器對彈性簡支梁動態(tài)響應的控制效果，從了解系統(tǒng)內(nèi)部振動能量分布情況出發(fā)，采用功率流方法，綜合考慮振源輸入系統(tǒng)的總功率流、注入主振系的凈功率流和動力吸振器消耗的功率流的變化特征，揭示其吸振機理和振動控制效果。

根據(jù)功率流的定義，當結(jié)構(gòu)在某點受一簡諧激振力P0=|P0|sin(ωt)時，該點的速度響應為V0=|V0|sin(ωt+φ)，則在一個周期內(nèi)該點的時間平均功率流為

(14)

式中:Yi和Zi分別為結(jié)構(gòu)的點導納和點阻抗;上標“*”為復共軛。

對于未附加動力吸振器的主振系，輸入系統(tǒng)的總功率可以表示為

(15)

對于附加動力吸振器的系統(tǒng)，在激振力作用下，振源輸入系統(tǒng)的總功率流為

(16)

式中:i=1，2，…，n為節(jié)點數(shù)，上標“*T”為復共軛轉(zhuǎn)置。

動力吸振器消耗的功率流為

(17)

式中，PA為動力吸振器在其安裝位置引起的吸振力。

根據(jù)機械能守恒，可以得到注入主振系的凈功率流為

W1,2=W1-W2

(18)

4 計算結(jié)果分析

本文重點研究負剛度動力吸振器不同安裝方式對彈性簡支梁動態(tài)響應的控制效果。為了便于分析，選擇彈性梁的設計參數(shù)如表1所示。

表1 簡支梁的設計參數(shù)

根據(jù)模態(tài)疊加理論，彈性結(jié)構(gòu)頻響特性主要受前幾階模態(tài)影響較大，故為了簡化分析過程，此處以彈性梁的第1階模態(tài)作為振動控制對象。其中，第1階模態(tài)對應的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)固有頻率由式(5)得出。在此基礎上，利用固定點理論[21-23]可以求出4個模型中不同形式動力吸振器的最優(yōu)設計參數(shù)表達式如表2所示。系統(tǒng)質(zhì)量比取值μ=0.05，一般質(zhì)量比的取值范圍為1%～5%。進而，可以得到不同模型對應的最優(yōu)設計參數(shù)如表3所示。

表2 不同動力吸振器模型最優(yōu)設計參數(shù)表達式

表3 不同模型設計參數(shù)(質(zhì)量比μ=0.05)

4.1 頻響曲線

利用所建模型及最優(yōu)設計參數(shù)給出安裝不同形式動力吸振器彈性簡支梁L/4處加載點的幅頻響應放大系數(shù)曲線,如圖3所示。

圖3 不同模型對應彈性梁放大系數(shù)曲線Fig.3 The elastic beam amplification factor curves for different models

由圖3可見，第1階模態(tài)固有頻率處，通過引入負剛度元件，在顯著降低諧振峰值的同時有效抑振頻帶更寬。其中，模型2對應負剛度動力吸振器的抑振效果最好。在彈性簡支梁第3階模態(tài)固有頻率處，四種動力吸振器均可實現(xiàn)不同程度的減振效果，且模型1的減振效果顯著。此外，受動力吸振器安裝位置影響(位于第2階模態(tài)振型的節(jié)點處)，對應彈性梁幅頻響應放大系數(shù)曲線第2個諧振峰不受影響。

4.2 功率流曲線

采用功率流方法，安裝不同形式動力吸振器彈性簡支梁的總功率流如圖4所示?？梢姡軇恿ξ衿饔绊懙?階模態(tài)頻率附近共振峰得到衰減；相比傳統(tǒng)線性動力吸振器，考慮負剛度元件的影響對應系統(tǒng)總功率流曲線共振峰值被進一步衰減。

圖4 不同模型對應彈性梁總功率流曲線Fig.4 The elastic beam total power flow curves for different models

同樣地，圖5給出不同安裝形式動力吸振器消耗的功率流。由圖顯見，在傳統(tǒng)線性動力吸振器中插入負剛度元件可以顯著增加其功率消耗能力。

圖5 不同模型對應動力吸振器消耗功率流曲線Fig.5 The dynamic vibration absorber power flow consumption curves for different models

從功率流的角度，選擇凈功率流作為評價不同形式動力吸振器對彈性簡支梁幅頻響應振動控制效果的指標，計算結(jié)果如圖6所示?？梢?，在彈性簡支梁的第1階模態(tài)固有頻率處四種動力吸振器均可實現(xiàn)不同程度的減振效果，且模型1和模型2的減振效果顯著。產(chǎn)生該現(xiàn)象的原因在于動力吸振器中引入了負剛度元件[24]。在彈性簡支梁第1和第2階模態(tài)固有頻率之間的較寬頻帶內(nèi)，負剛度動力吸振器的減振效果明顯優(yōu)于線性動力吸振器。在彈性簡支梁第3階模態(tài)固有頻率對應諧振峰處，四種動力吸振器均可實現(xiàn)不同程度的減振效果，且模型1的減振效果最顯著。

圖6 不同模型對應彈性梁凈功率流曲線Fig.6 The elastic beam net power flow curves for different models

4.3 時域響應

實際中，系統(tǒng)所受環(huán)境激勵呈現(xiàn)多頻寬帶特征，為了研究負剛度動力吸振器對彈性簡支梁動態(tài)響應的振動抑制效果，在時間域展開討論。假設彈性簡支梁所受外激勵F=∑sin(ωit)，ωi=8 rad/s，ωi=35 rad/s，ωi=78 rad/s，ωi=138 rad/s，ωi=216 rad/s，ωi=312 rad/s。

彈性簡支梁L/4處加載點的位移為

(19)

引入?yún)?shù)

Ust=φ1(L/4)Hst，Ust為彈性簡支梁L/4處加載點的靜態(tài)位移。

對彈性簡支梁L/4處加載點的位移進行無量綱處理，得到

(20)

圖7給出多頻力激勵條件下，安裝不同形式動力吸振器彈性簡支梁L/4處加載點的位移時程響應曲線。由圖可見，安裝負剛度動力吸振器彈性簡支梁的振動控制效果明顯優(yōu)于安裝線性動力吸振器彈性簡支梁。而且，模型2的振動控制效果最優(yōu)。

圖7 不同模型對應彈性梁位移時程曲線Fig.7 The elastic beam displacement and time seriescurves for different models

5 影響因素分析

根據(jù)前述內(nèi)容的分析，模型2對應負剛度動力吸振器對彈性簡支梁第1階模態(tài)振動響應的控制效果最好。因此，本章重點針對該類負剛度動力吸振器的設計參數(shù)進行影響分析，具體包括：彈性簡支梁長度L，質(zhì)量比μ，剛度比α、阻尼比ξ及外部激勵加載位置。

5.1 彈性簡支梁長度L的影響

圖8給出彈性簡支梁長度變化對負剛度動力吸振器振動抑制效果的影響。由圖可見，隨著彈性梁長度增加，結(jié)構(gòu)剛度降低故第1階模態(tài)固有頻率向低頻移動，且第1階模態(tài)固有頻率處消耗的功率峰值增大對應有效抑振頻帶變窄。可見，負剛度動力吸振器在第1階模態(tài)固有頻率處的減振效果仍然顯著。此外，彈性簡支梁長度越小，振動控制效果越好。

圖8 彈性簡支梁長度對功率流的影響Fig.8 The influence of elastic simply supported beam length on power flow

5.2 質(zhì)量比μ的影響

負剛度動力吸振器質(zhì)量比變化對其振動控制效果的影響如圖9所示。從圖中可以看出，隨著質(zhì)量比增大，減振效果變好。但是，考慮工程實際，負剛度動力吸振器附加質(zhì)量增加范圍有限。

圖9 質(zhì)量比對功率流的影響Fig.9 The influence of mass ratio on power flow

5.3 剛度比α的影響

圖10給出剛度比變化對負剛度動力吸振器振動控制效果的影響?？梢?，在第1階模態(tài)固有頻率處，最優(yōu)剛度比在(-0.7,-0.6)內(nèi)；在(-0.6,0)內(nèi)，隨著剛度比的增加，在第1階模態(tài)固有頻率處的功率峰值增大，且有效抑振頻帶變窄。此外，在第3階模態(tài)固有頻率處，剛度比在(-1,-0.7)內(nèi)，隨著剛度比增加，減振效果變好；在(-0.7,0)內(nèi)，隨著剛度比增加，第3階模態(tài)固有頻率處的功率峰值增大。

圖10 剛度比對功率流的影響Fig.10 The influence of stiffness ratio on power flow

5.4 阻尼比ξ的影響

圖11給出不同阻尼比對應安裝負剛度動力吸振器彈性簡支梁的功率流曲線。對比可見，在第1階模態(tài)固有頻率處，最優(yōu)阻尼比在(0.2,0.4)內(nèi)；在(0.3,1)內(nèi)，隨著阻尼比增加，對應彈性簡支梁第1階模態(tài)固有頻率處功率峰值變大，有效抑振頻帶變窄。在第3階模態(tài)固有頻率處，隨著阻尼比增加，減振效果變好；但是，在工程上，阻尼比不是越大越好，針對負剛度動力吸振器的阻尼比需要考慮實際應用條件。

圖11 阻尼比對功率流的影響Fig.11 The influence of damping ratio on power flow

5.5 激勵位置的影響

圖12給出不同外激勵加載位置變化對安裝動力吸振器彈性簡支梁功率流的影響。由圖可見，隨著激勵位置從L/8遞增到L/2，在第1階模態(tài)固有頻率處的功率峰值變大；在第2階模態(tài)固有頻率處，激勵位置在L/4處的功率最大，在L/2處無功率峰值；隨著激勵位置從3L/8遞減變化到L/8，在第3階模態(tài)固有頻率處的減振效果變差，在L/2處的功率最大。

圖12 加載位置對功率流的影響Fig.12 The influence of loading location on power flow

需要注意，當外激勵加載位置和動力吸振器安裝位置相同且位于簡支梁模態(tài)振型的波腹時，則振動控制效果最好。

6 結(jié) 論

為了研究負剛度動力吸振器不同安裝方式對彈性簡支梁動態(tài)響應的影響，本文分別提出四種不同類型動力吸振器與彈性簡支梁的組合模型。在此基礎上，以彈性梁的第1階模態(tài)作為振動控制對象，利用固定點理論獲得安裝不同形式動力吸振器簡支彈性梁模型的最優(yōu)設計參數(shù)。利用功率流作為動力吸振器振動抑制效果的評價指標。根據(jù)計算結(jié)果，可得到以下結(jié)論：

(1)針對目標模態(tài)頻率附近，負剛度動力吸振器對彈性簡支梁的振動抑制效果顯著優(yōu)于線性動力吸振器；且，模型2對應的負剛度動力吸振器振動控制效果最好。

(2)以彈性梁的第1階模態(tài)作為振動控制對象獲得動力吸振器的最優(yōu)設計參數(shù)，受其彈性特征影響對第1階模態(tài)響應的振動控制效果較好。

(3)將安裝典型負剛度動力吸振器彈性簡支梁(模型2)功率流作為評價指標，針對主要設計參數(shù)進行影響分析發(fā)現(xiàn)均存在最優(yōu)值。