破解圖形旋轉后精確定位的幾種方法

同濟大學附屬實驗中學 孫 虎 （郵編：201805）

圖形旋轉問題是初中幾何教學中的重點和難點，在確定圖形旋轉前后位置的過程中，學生常會陷入僵局.一方面，由于教師在平常的教學過程中經常借助繪圖軟件直接呈現旋轉的始末狀態(tài)，從而降低甚至忽略了對學生的作圖要求；另一方面，在研究旋轉前后圖形位置的問題時，教師常常引導學生先繪制草圖，再根據旋轉前后的幾何元素之間的相對關系確定精確圖形.而在實際解決問題的過程中，學生常常在繪制草圖既“猜測”運動后位置的過程中就陷入困境，從而無法確定圖形旋轉后元素之間的關系而無法成功解決問題.本文從深刻挖掘旋轉的性質入手，借助幾個問題對精確繪制旋轉后的圖形進行探討，期望能對日常教學有所啟發(fā)和幫助.

1 旋轉本質再認識

如圖1，△ABC繞平面內一點O逆時針旋轉α后得 △A′B′C′，可以將這個過程看成A、B、C三點分別繞著以O為圓心的三個同心圓旋轉α后并順次聯結A′、B′、C′各點所得的結果.由此可以得到以下幾個性質：

圖1

性質1對應點到旋轉中心的距離相等（OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′）；

性質2對應點與旋轉中心的連線所成角相等 且 都 等 于 旋 轉 角（∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′＝α）；

性質 3對應線段相等（AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′）；

性質 4對應角相等（∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′）；

性質5旋轉前后兩個圖形的對應線段或對應線段所在直線相交所成的角中必有一個等于旋轉角α，[1]（當A′B′與AB相交于點E時，有∠BEB′＝∠AOA′＝α）.

此外，還可以得到如下性質：

性質6旋轉前后對應線段所在直線與旋轉中心的距離保持不變（OH＝OH′），且對應線段所在直線就是以O為圓心，O到所在直線的距離為半徑的圓的切線.

證明聯結OB，OB′，由性質1和性質3易知OA＝OA′，OB＝OB′AB＝A′B′.

所以△AOB≌ △A′OB′（SSS）;

所以∠OBA＝∠OB′A′;在△BOH和△B′OH′中，有∠OHB＝∠OH′B′，∠HBO＝∠H′B′O，OB＝OB′，所以 △BOH≌ △B′OH′（AAS），所以OH＝OH′.

性質7旋轉可逆（△ABC繞點O逆時針旋轉α得到 △A′B′C′的過程也可以看成 △A′B′C′繞點O順時針旋轉α后得到△ABC的過程）.

借助以上對旋轉問題性質的分析，可以讓學生在解決幾何問題的過程中對圖形元素的位置和數量關系有更加深刻的認識，從而在問題解決過程中變被動解題為主動嘗試，既積累了解題經驗，又把握了旋轉問題的客觀規(guī)律和本質特征.

2 認清“三點共線”圖，“等距”“可逆”解疑難

例1（2019年長寧區(qū)二模）如圖2，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，將△ABC繞著點C旋轉，點A、B的對應點分別是點A′、B′，若點B′恰好在線段AA′的延長線上，則AA′的長等于____.

圖2

分析點C是旋轉中心，當△ABC繞點C旋轉后，A′、B′的位置都有待確定.題干中的“點B′恰好在線段AA′的延長線上”可以轉述為等價語言“A、A′、B′在同一條直線上”，但是無論哪種表述都無法直接進行精確繪圖，在教學過程中可以先引導學生先繪制出草圖，尋找出元素之間的關系再進行精確繪圖和解決問題.

解法一（畫草圖解決問題）

當△ABC旋轉至滿足條件的位置后，可以先繪制如圖3的草圖，由旋轉的性質，易知△ACA′為等腰三角形，過C作CH⊥AA′，垂足為H，因為“點B′恰好在線段AA′的延長線上”，可以獲得Rt△B′HC，因為∠B′＝∠B，且易知所以B′H＝cos∠B′·所以

圖3

評注畫草圖是解決圖形運動問題的常用方法，通過草圖尋找旋轉過程中幾何元素之間的顯著特征進行研究，從而讓旋轉的結果更加清晰.在實際教學過程中，通過繪制草圖解決運動問題的難點在于很多學生無法通過問題描述正確確定圖形的位置，甚至繪制出錯誤的草圖誤導自己的問題解決過程.那么，能否通過圖形的性質直接繪制精確的圖形呢？

解法二（依據“距離不變”解決問題）

由旋轉的性質6可知，在旋轉的過程中，線段AB所在直線與旋轉中心C的距離保持不變.如圖4，過C作AB的垂線，垂足為D.可知，BD在旋轉前后都是以O為圓心，OD為半徑的圓的切線.以此為基礎，可以將“若點B′恰好在線段AA′的延長線上”轉述為“圓O的切線恰好過點A”，便可以過點A作圓O的切線，切點為D′，依據旋轉前后“對應線段的長度相等”，可以分別延長AD′到點A′、B′，使A′D′＝AD，A′B′＝AB，最后，聯結B′C，通過以上步驟便可以精確繪制出旋轉后的圖形并求解.

圖4

評注通過對旋轉性質6的簡單運用，就可以將原先連草圖都難以畫出的圖形運動精確地繪制出運動后的狀態(tài)，在實際的解題教學過程中也比較容易讓學生理解.但是從精確繪圖的角度來說，通過圓外一點作圓的切線，精確地找到切點的難度也比較大，從這個角度出發(fā)，解法二的描述還不是最精確的作法（當然可以通過略微復雜的辦法精確找到切點）.

解法三（依據“旋轉可逆”解決問題）

由旋轉的性質7可知，旋轉前后的圖形相對位置不會發(fā)生變化.換句話說，如果通過旋轉前的位置可以畫出旋轉后的位置，那一定也可以通過旋轉后的位置畫出旋轉前的位置.對于本題而言，通過畫草圖確定旋轉后的位置比較困難，那不妨將所給圖形△ABC看成旋轉后的圖形△A′B′C，通過這種方式畫出旋轉前的圖形以確定他們的相對位置.如圖，將 △ABC重新標記為 △A′B′C，因為A、A′、B′在同一條直線上，且A′C＝AC，便可作圖.如圖5，以C為圓心、AC長為半徑畫圓，與B′A′的延長線交于點A（從解題的角度，此時已經可求AA′的長），分別以C、A為圓心，CB′、A′B′長為半徑畫弧，交于點B，△ABC即為所做旋轉前的圖形.

圖5

評注由于本題中的關鍵信息A′、B′都在旋轉后的圖形上，問題便成了“繪制一條未知直線過一個已知定點”，由于涉及到的限制較多，導致難度大增.然而，通過“旋轉可逆”的性質，將這一繪圖要求轉化為“在一條已知直線上確定一個未知點”，而且需要滿足的條件只有“到旋轉中心的距離不變”，難度幾乎沒有.可見，在解決圖形旋轉的問題中，巧妙運用旋轉可逆的性質，可以將問題的難度降低很多.

變式1在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cosA＝如圖6）.△ABC繞著點C旋轉，點A、B的對應點分別記為A′、B′，A′B′與邊AB相交于點E.如果A′B′⊥AC，那么線段B′E的長為___.

圖6

簡析變式1指出旋轉后的邊與原三角形的邊有特殊的位置關系（互相垂直），思考方式與例1幾乎一致，都可以從旋轉過程中線段與旋轉中心的距離不變、旋轉可逆兩個角度進行問題解決，具體過程請有興趣的讀者自行研究（參考答案：

3 旋轉要素不確定，等價轉換破真相

例 2已 知 ，在 △ABC中 ，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，點D、E分別在邊AC、BC上，且CD:CE＝3:4.將△CDE繞點D順時針旋轉，當點C落在線段DE上的點C′處時，BC′恰好是∠ABC的平分線，此時線段CD的長是___.

分析與常規(guī)的旋轉問題相比，本題的難點主要有以下幾個：①學生需要根據描述自己繪制符合條件的圖形；②旋轉中心是AC邊上的一個動點，位置無法確定；③旋轉后點C的落點位置也未知，以上三個難點使得大多數解題者無法確定旋轉后的圖形，從而無法準確分析各個元素之間的數量關系.

解析如圖7，根據描述無法確定線段DE的具體位置，但是，易知DE∥AB.從而確定旋轉三要素中的旋轉角α即為∠CDE＝∠A.由旋轉性質3可知DC＝DC′，所以△DCC′為頂角等于旋轉角α的等腰三角形，CC′為底邊，根據等腰三角形的三線合一的性質可以知，CC′與△DCC′頂角的角平分線互相垂直，而頂角的角平分線與∠A的角平分線互相平行.容易確定底邊的位置，等腰△DCC′的底邊與∠ABC的平分線的交點既為點C′.

圖7

步驟一作∠A的角平分線，與邊BC交于點F；

步驟二過C作CG⊥AF，交邊AB于點G;

步驟三作∠B的角平分線，與CG交于點C′；

步驟四過C′作DE∥AB，分別與邊AC、BC交于D、E兩點.

因為BC′平分∠B，所以∠ABC′＝∠EBC′，因 為DE∥AB，所 以 ∠EC′B＝∠ABC′，所 以∠EC′B＝∠EBC′，所以EC′＝BE.令CD＝3a，則有DE＝5a，CE＝4a，DC′＝DC＝3a，C′E＝DE-DC′＝2a，BE＝C′E＝2a.所 以CE+BE＝4a+2a＝6a＝12，解得a＝2，所以CD＝3a＝6.

評注解答此題的關鍵在于旋轉中心點D的具體位置的確定，而確定點D的位置又恰是本題的難點.本題中，點D的位置雖然未確定，但是通過旋轉前CD所在直線與旋轉后C′D所在直線的夾角確定旋轉角的大小，再根據旋轉過程中對應線段的長度相等的性質，得到頂角大小、一腰方向、底邊上的一個頂點確定的等腰三角形△CDC′.從而獲得CC′所在直線，再根據兩條直線相交于一點確定C′的位置，繼而解決問題.可見，在旋轉要素殘缺的問題中，充分利用旋轉性質挖掘隱藏信息，將幾何元素的關系進行轉換使得隱藏信息顯性化是解決這類問題的一大法寶.

變式2如圖9，△ABC為邊長為9的等邊三角形，E為邊AB的中點，D為BC邊上的點，將△CDE繞點D順時針旋轉（旋轉角 0＜α＜180°），點C、E的對應 點 分 別 為C′、E′，當C′E′∥AB時 恰 好 經 過△ABC的重心，則此時線段CD的長為______.

圖9

簡析由CE與AB在旋轉前夾角為90°，旋轉后相互平行可知，旋轉角α＝90°，所以△CDC′為等腰直角三角形，可知 ∠DCC′＝45°.因為C′E′經過重心，可以過重心作AB的平行線，與CC′相交于點C′.具體過程請有興趣的讀者自己嘗試（參考答案：9-3）.

4 線段關系不確定，相似性質來幫忙

例 3如圖10，在△ABC中 ，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，將△ABC繞邊AB上點P旋轉得 △A′B′C′，若CC′恰好是AA′與BB′的比例中項，則AP:PB＝____.

圖10

分析例3關注旋轉前后對應點連線之間的關系，不借助旋轉基本性質進行研究會難以入手.從旋轉的性質出發(fā)，因為對應點與旋轉中心的連線所成角都等于旋轉角α，再根據對應線段相等可知，每一組對應點與旋轉中心構成的三角形都是彼此相似的等腰三角形，通過以上分析，可以將對應點連線的問題轉化為點到旋轉中心的問題，本題便可迎刃而解.

解析如圖11，聯結A′P、B′P、CP、C′P，易知∠APA′＝∠BPB′＝∠CPC′，AP＝A′P，BP＝B′P，CP＝C′P.所以△APA′∽ △CPC′∽ △BPB′，所以當CC′2＝AA′·BB′時，CP2＝AP·BP即在Rt△ACB中：①當P為AB中點時，有AP＝BP＝CP，此時AP:PB＝1；②當△APC∽△CPB即CP⊥AB時，易知，所以有綜上有AP:BP＝或1.

圖11

評注旋轉過程中，對應點與旋轉中心所成的等腰三角形彼此相似，在這一背景下，對應點連線之間的數量和位置關系可以轉化為相似三角形之間的對應關系進行研究，通過合理的轉化，既可以讓解題思路更加清晰，也可以加深對運動本質的深刻理解.

變式3如圖12，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，BD平分∠ABC，將△ABC繞著點A旋轉后，點B、C的對應點分別記為B′、C′，如果點B′落在射線BD上，那么CC′的長度為_____.

圖12

簡析由條件中的點B′落在射線BD上，可以確定三角形旋轉后的確切位置，根據題干畫出圖形以后，雖然CC′的位置確定，但是由于△CAC′∽△BAB′，可以通過線段之比將其轉化，從而獲得結果.（參考答案

5 教學啟示

解決旋轉問題要關注圖形運動的過程.從以上旋轉問題的解決可以看出，旋轉問題初始和最終位置的確定是解決問題的重點，常規(guī)方法就是按照旋轉規(guī)則畫出每個關鍵點的對應點再順次聯結.但是本文的例1和例2都無法直接通過描述繪制出旋轉后的圖形，這就要求教師在教學過程中引導學生對旋轉的本質進行分析，緊緊抓住旋轉過程中保持不變的位置和數量關系.在應用“圖形旋轉”對幾何圖形運動問題展開探究時，要培養(yǎng)學生熟練地轉換運動和靜止這兩種不同狀態(tài)，通過拓展學生的想象空間，挖掘知識間的內在聯系，進而利用旋轉的基本性質找到解題途徑.[2]

旋轉問題的解決要注重學生邏輯思維能力和理性思維水平的培養(yǎng).幾何學培養(yǎng)邏輯思維能力的過程，是以“形”為研究對象，逐步深人地引導學生合乎邏輯地思考的過程.[3]旋轉等圖形運動問題的解決有依靠直覺的部分，比如通過繪制草圖獲得精確的位置和數量關系.但是在教學過程中，也不能忽視邏輯思維能力等理性特征的發(fā)展，因為幾何是啟發(fā)邏輯思維和培養(yǎng)演繹推理能力的最有效的途徑[4]，所以教師要通過引導學生通過對幾何性質的深度挖掘，獲取運動過程中明確的概念結構和嚴謹的邏輯體系，從而更高效地解決問題.