2021年江西預(yù)賽壓軸題的向量證法與變式探究

上海市育才中學(xué) 龔新平 （郵編：201801）

向量是一種重要的數(shù)學(xué)工具，它在平面幾何等諸多學(xué)科方面有著重要應(yīng)用，很多數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)或關(guān)系都可以用向量數(shù)量積和向量分解定理等形式來準確表達.2021年全國高中數(shù)學(xué)預(yù)賽試題中很多都有向量的影子，如2021年上海高三數(shù)學(xué)競賽填空壓軸題就能利用向量表達三點共線的條件加于解決.以下本文將對2021年江西預(yù)賽平面幾何壓軸題利用向量方法給予證明，并在此基礎(chǔ)上變式探究幾個相關(guān)問題.

1 問題呈現(xiàn)

（2021江西預(yù)賽）如圖1，銳角 △ABC中，以高AD為直徑的圓O，交AC、AB于E、F，過 點E、F分別作圓O的切線，若兩切線相交于點P，證明：直線AP重合于△ABC的一條中線.

圖1

2 向量證明

3 變式探究

3.1 向 量與 中 線 向 量有 怎 樣 的 等量關(guān)系呢？

分析事實上，若將λ＝μ代入等式①即可得到故向量

改編題1在△ABC中，邊BC中點為M，高AD＝2，D為垂足，且BD＝3，CD＝1，以高AD為直徑的圓O，交AC、AB于E、F，過點E、F分別作圓O的切線，若兩切線相交于點P，求證：

3.2 是否存在點P，使A、B、P、C四點依次構(gòu)成平行四邊形呢？

分析當，即bc＝2R2時構(gòu)成平行四邊形.

改編題2在△ABC中，高AD＝2，D為垂足，且BD＝2，CD＝1，以高AD為直徑的圓O，交AC、AB于E、F，過點E、F分別作圓O的切線，若兩切線相交于點P，求證：四邊形ABPC為平行四邊形.

3.3 是否存在點P，使得向量與互為負向量呢？

分析如圖2，當即bc＝8R2時

圖2

改編題3在△ABC中，邊BC中點為M，高AD＝2，D為垂足，且BD＝4，CD＝2，以高AD為直徑的圓O，交AC、AB于E、F，過點E、F分別作圓O的切線，若兩切線相交于點P，求證：A為MP的中點.

3.4 系數(shù)λ的取值范圍是什么？點P可以取到直線AM上的哪些點？2

分析如圖3，由易知：

圖3

4 點評結(jié)語

數(shù)學(xué)競賽中的平面幾何問題一般都要用到一些重要定理，如梅涅勞斯定理、塞瓦定理等，本文僅利用平面向量分解基本定理，結(jié)合向量數(shù)量積運算，并用新教材中投影向量的概念表達垂直關(guān)系，成功建立了系數(shù)λ、μ的線性方程組，從而證明了λ＝μ，這是解題的核心與關(guān)鍵！有興趣的讀者可以進一步嘗試運用向量方法解答2021年廣西預(yù)賽的平面幾何問題.