橢圓切線的一種尺規(guī)作圖新方法

重慶市銅梁二中 李 波 （郵編：402560）

以下是2021年5月高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆賽區(qū)初賽的一道題目：在平面直角坐標系xoy中，曲線C1:（x+1）2+y2＝16，曲 線過M（-1，0）斜率不為零的直線與C1交于A、B，N（1，0），線段AN、BN的 垂直平分 線分別 為l1、l2，求證：

（1）l1、l2均與C2相切；（2）l1、l2的交點P在定直線上.

不難看出，M、N恰好是橢圓C2的左、右焦點，圓C1的圓心是C2的左焦點且半徑為C2的長軸長.那么，若將M、N的條件放寬成x軸上關(guān)于原點對稱的點，結(jié)論是否成立呢？

1 推廣

性質(zhì)1如圖1，設(shè)橢圓b＞ 0 ），圓C1:（x+m）2+y2＝（2a）2（0 ＜m＜a），過M（-m，0 ）的斜率不為零的直線交C1交于A、B、N（m，0），線段AN、BN的垂直平分線分別為l1、l2，則

圖1

（1）l1、l2均與C2相切當且僅當m＝c，這里

（2）如果m＝c，那么l1、l2的交點P在C2的左準線上.

證明（1）令∠AMx＝θ（θ≠0），則A（2acosθm，2asinθ），AN的中點的坐標為（acosθ，asinθ）.

當AN的斜率不存在時，l1的方程為y＝那么，l1與C2相切當且僅當b＝得m＝c.此 時 ，A（c，±2b）.由 于A、B關(guān)于M對稱，得B（-3c，? 2b），則l2的方程為若l1的方程為y＝b，則若l2的方程為y＝-b，則結(jié)論成立.

當AN的斜率存在時由，則l1的方程為，與C2的方 程聯(lián) 立 ，整 理 得[b2sin2θ+（m-acosθ）2]x2+2a（m-acosθ）（a-mcosθ）x+a2[（a-mcosθ）2-b2sin2θ]＝0.于是，判別式

△＝4a2b2sin2θ[b2sin2θ+（m-acosθ）2-（a-mcosθ）2]＝4a2b2sin2θ（a2-b2-m2）.

由于l1與C2相切等價于△＝0，即a2-b2-m2＝0，得m＝c.

仿照上面的做法，可證l2與C2相切的情形.

（2）由于A，B關(guān)于M對稱，則B（-2acosθm，-2asinθ）.將 ① 中 的 sinθ，cosθ換 成-sinθ，-cosθ，得l2的方程因為m＝c，由①-②整理得，

性質(zhì)1的第一部分，也可以用幾何方法證明.

如圖2，F(xiàn)1、F2是橢圓1（a＞b＞0）的左右焦點，圓C1:（x+c）2+y2＝（2a）2，過F1的斜率不為零的直線交C1交于A、B，線段AF2、BF2的垂直平分線分別為l1、l2.

圖2

設(shè)直線AB與C2交于Q、H.連接QF2，則QF1+QF2＝2a.因 為QF1+QA＝2a，所 以QF2＝QA，即Q在l1上.因此，Q是C2和l1的一個交點.在l1上任取異于Q的點Q′，連接Q′F1，Q′F2，則Q′F1+Q′F2＝Q′F1+Q′A＞AF1＝2a，故Q′在橢圓C2之外.因此，l1與C2相切于點Q.類似地，l2與C2相切于點H.

雙曲線也有類似的結(jié)論，即

性質(zhì)2F1、F2是雙曲線的左右焦點，過F1的斜率不為零的直線交圓C1:于A、B，線段AF2，BF2的垂直平分線分別為l1，l2，則

（1）l1、l2與C2相切；（2）l1、l2的交點在左準線上.

下面將利用性質(zhì)1，得到如下結(jié)論.

性質(zhì)3設(shè)橢圓的左、右焦點分為F1、F2，P是橢圓上異于左、右頂點的動點射線F1P與圓C1:（x+c）2+y2＝（a+c）2交于點N，線段PF2與圓C2:（x-c）2+y2＝（a-c）2交于點M，則線段MN的垂直平分線與橢圓E相切于點P.

證明因為|PF1|+|PF2|＝2a，|MF2|＝ac，所以|PF1|+|PM|＝2a-（a-c）＝a+c＝|F1N|.于是|PN|＝|PM|，即△NPM為等腰三角形.

如圖3，作圓C3:（x+c）2+y2＝（2a）2，并延長F1N交C3于點Q，連接QF2.由于QN＝QF1-NF1＝a-c＝MF2，則進 而QF2//MN.因此，△NPM與△QPF2是一對相似的等腰三角形，則它們的底邊的垂直平分線重合.另一方面，由性質(zhì)1第一部分的幾何證明過程可得：線段QF2的垂直平分線與橢圓E相切與點P.于是，結(jié)論成立.

圖3

事實上，性質(zhì)3給出了用尺規(guī)作圖求橢圓上一點（不是左右端點）切線的方法.設(shè)橢圓）的左、右焦點分為F1、F2，

第一步 分別以F1、F2為圓心作半徑為ac，a+c的圓O1、O2；

第二步 在橢圓E上任取一點P，連結(jié)PF2交O2于M；作射線F1P交O1于N；

第三步 作線段MN的垂直平分線l；

由性質(zhì)3，l是E在點P處的切線.

性質(zhì)4設(shè)雙曲線的左、右焦點分為F1、F2，P是雙曲線E右支上異于右頂點的動點線段F1P與圓C1:（x+c）2+y2＝（a+c）2交 于 點N，線 段PF2與 圓C2:（x-c）2+y2＝（c-a）2交于點M，則線段MN的垂直平分線與雙曲線E相切于點P.

2 相似橢圓的一個性質(zhì)

在圖1中，圓C1與x軸正半軸的交點與點N關(guān)于橢圓C2的右頂點對稱，這樣使得C1的半徑始終是C2的長軸長.受此啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)了相似比為1:2的橢圓的一個性質(zhì).

性質(zhì)5設(shè)M（-m，0），N（m，0），過M的斜率不為零的直線交C2于A、B，線段AN、BN分別與C1交于P、Q，則S△ABN＝2S四邊形MQNP.

證明如圖4，設(shè)圓O:x2+y2＝r2（r＞0 ），圓M:（x+m）2+y2＝（2r）2（-r＜m＜r，m≠0 ），M（-m，0），N（m，0），過M的斜率不為零的直線交圓M于A、B，線段AN、BN分別與圓O交于P、Q.連接OP，則AM＝2OP.在△MNA和△ONP中，由余弦定理，得

圖4

雙曲線也有類似于性質(zhì)5的結(jié)論.

性質(zhì)6設(shè)雙曲線

M（-m，0），N（m，0），過M的斜率不為零的直線交C2于A、B，線段AN，BN分別與C1交于P、Q，則S△ABN＝2S四邊形MQNP.