2021年全國新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第17題的解法探究和教學(xué)啟示

廣東省汕頭市潮南區(qū)礪青中學(xué) 鄭燦基 （郵編：515135）

1 問題提出

（2021年新高考Ⅰ卷第17題）已知數(shù)列{an}滿足

(1)記bn＝a2n，寫出b1、b2，并求數(shù)列{bn}的通項公式；

(2)求{an}的前20項和.

本題以“奇偶項交織”的遞推關(guān)系考查數(shù)列的基本知識，注重基礎(chǔ)，但形式新穎，解題方法較為豐富.

2 解法賞析

2.1 第（1）問解答

解法1由題設(shè)得b1＝a2＝a1+1＝2，b2＝a4＝a3+1＝a2+2+1＝5.

因為bn+1＝a2（n+1）＝a2n+2＝a2n+1+1＝(a2n+2)+1＝a2n+3.又bn＝a2n，所 以bn+1＝bn+3 即{bn}是以首項b1＝2，公差為3的等差數(shù)列.

所以bn＝2+3（n-1）＝3n-1.

解法2由題設(shè)得b1＝a2＝a1+1＝2，b2＝a4＝a3+1＝a2+2+1＝5.

b3＝a6＝a5+1＝(a4+2)+1＝5+3＝8，于是猜測bn＝2+3（n-1）＝3n-1.

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)n＝1時，b1＝2＝3×1-1，顯然成立；

假設(shè)當(dāng)n＝k時，bk＝3k-1成立；

則當(dāng)n＝k+1時，

bk+1＝a2k+2＝a(2k+1)+1＝a2k+1+1＝(a2k+2)+1＝a2k+3＝bk+3＝3（k+1）-1成立；

綜上所述，bn＝3n-1.

2.2 第（2）問解答

解法1

a1＝1，a3＝a1+3＝4，a5＝7，a7＝10，a9＝13，a11＝16，a13＝19，a15＝22，a17＝25，a19＝28；

a2＝2，a4＝5，a6＝8，a8＝11，a10＝14，a12＝17，a14＝20，a16＝23，a18＝26，a20＝29.

設(shè){an}的前n項和為Sn，

則S20＝a1+a2+a3+···+a20＝(1+4+7+···+28)+(2+5+···+29)

解 法 2由（1）得a2n＝3n-1，又a2n＝a(2n-1)+1＝a2n-1+1，

所以a2n-1＝a2n-1＝3n-2.

（或a2n+1＝a2n+2＝3n+1）

又a1＝1，所以a2n-1＝3n-2.

設(shè){an}的前n項和為Sn，

所以S20＝a1+a2+a3+···+a20＝(a1+a3+···+a19)+(a2+a4+···+a20)

＝145+155＝300.

3 解法探究

3.1 解法總結(jié)

按照題目的設(shè)計思路，結(jié)合以上解法，不難得出解題的思路是:首先是將奇偶項間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為純粹的偶數(shù)項的關(guān)系，進而發(fā)現(xiàn)偶子數(shù)列是等差數(shù)列，求出偶數(shù)項的通項公式a2n；其次是將a2n“返代”回遞推式，求出a2n+1或a2n-1，進而可寫出an的表達式.而實際上，我們也可以先研究奇子數(shù)列的關(guān)系.思路具體如下：

由 題 意 得a2n+1＝a2n+2＝a2n-1+1+2＝a2n-1+3，即a2n+1-a2n-1＝3.所以{ }a2n-1是以首項為1，公差為3的等差數(shù)列.所以a2n-1＝1+3(n-1)＝3n-2.所 以a2n＝a2n-1+1＝3n-1.

因此，關(guān)于“奇偶項交織”的遞推關(guān)系求解通項這類問題的通性解法可以歸納：首先是將奇偶項間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為純粹的偶數(shù)項(或奇數(shù)項)的關(guān)系，求出偶數(shù)項(或奇數(shù)項)的通項公式a2n（或a2n-1）；其次是將a2n（或a2n-1）“返代”回遞推式，求出a2n-1（或a2n），進而可寫出an的表達式.

3.2 試題內(nèi)容的等價形式

本題中提供的數(shù)列遞推模型中，當(dāng)n為奇數(shù)時，an+1＝an+1；當(dāng)n為偶數(shù)時，an+1＝an+2；由于數(shù)列 1，2，1，2，…，1，2，…可寫成···，其通項公式為因此本題中數(shù)列遞推模型可寫成可以利用累加法求出其通項公式,即：

不難得到 ，a2n＝3n-1，a2n-1＝3n-2,所以{an}的奇子數(shù)列和偶子數(shù)列都為等差數(shù)列.

3.3 試題的拓展

由于遞推公式的類型較多，下面主要以an+1＝pan+f(n)(p為常數(shù))進行分析舉例.在an+1＝pan+f(n)中，若f(n)中含有(-1)n這個結(jié)構(gòu)，根據(jù)以上分析，可以將“奇偶項交織”的遞推關(guān)系用分段形式進行表達呈現(xiàn)，例如：

類型an+1＝■■■an+1，n為奇數(shù),an+2,n為偶數(shù).an+1＝■■■an+n，n為奇數(shù),an+n+1,n為偶數(shù).an+1＝■■■2an-2，n為奇數(shù),2an+1,n為偶數(shù).an+1＝■■■2an+n-2，n為奇數(shù),2an+n+1,n為偶數(shù).類型等價形式an+1＝an+3 2+1 2×()-1 n an+1＝an+n+1 2+1 2×()-1 n an+1＝2an-1 2+3 2()-1 n an+1＝2an+n-1 2+3 2()-1 n求通項的方法3.1中總結(jié)的通性解法3.1中總結(jié)的通性解法3.1中總結(jié)的通性解法3.1中總結(jié)的通性解法累加法累加法構(gòu)造數(shù)列為等比數(shù)列構(gòu)造數(shù)列為等比數(shù)列

以上所舉類型，通過等價改寫，不僅解法上是多樣的，而且對問題的本質(zhì)、題目的思路設(shè)計都有很好的指導(dǎo)意義.但需要指出的是，以“奇偶項交織”的遞推關(guān)系類型，有時等價寫成“合二為一”的遞推模型進行求解，并不利于解題，相反，可能會將問題復(fù)雜化.例如可以等價寫成但是這樣的改寫，不能簡化解題.相反，如果題目條件是以的形式呈現(xiàn)，我們反而要寫成“奇偶項交織”的遞推關(guān)系利用本文3.2中總結(jié)的通性解法進行求解.

3.4 舉例說明

例1（2012年全國卷理第16題）數(shù)列{an}滿足an+1+（-1）nan＝2n-1，則 {an}的前 60 項和________.

解由題意得由a2n+1＝-a2n+4n-1＝-(a2n-1+2(2n-1)-1)+4n-1＝-a2n-1+2.所以a2n+1-1＝-(a2n-1-1)，不 妨 設(shè)a1＝t，若t＝1，所 以a2n-1-1＝0 即a2n-1＝1，所 以a2n＝a2n-1+4n-2-1＝4n-2.所以S60＝30×1+

若t≠1，{a2n-1-1}是以首項t-1，公比為-1的等比數(shù)列.所以a2n-1-1＝(t-1)(-1)n，所以a2n-1＝(t-1)(-1)n+1.所以a2n＝a2n-1+2(2n-1)-1＝(t-1)(-1)n+4n-2.

設(shè){an}的前n項和為Sn，則S60＝30×1+

點評由a2n-1＝(t-1)(-1)n+1和a2n＝(t-1)(-1)n+4n-2.可以看出求{an}的前n項和為Sn時，當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn的結(jié)果與a1的值無關(guān)，因此本題采用特殊法，取a1＝1進行求解，過程會更簡單些..

4 高考題對教學(xué)的啟示

4.1 把脈高考命題方向

立足高中課程標(biāo)準(zhǔn)，研究高考真題，把脈高考命題方向是每位高中數(shù)學(xué)教師在進行高三復(fù)習(xí)迎考時的一項重要工作.從近幾年的高考數(shù)列考查內(nèi)容和方向來分析，變化不大，保持了較高的穩(wěn)定性.建議在數(shù)列復(fù)習(xí)教學(xué)中，師生繼續(xù)體悟數(shù)列的基本概念、基本性質(zhì)、常用公式，能夠熟練掌握研究數(shù)列通項公式與前n項和的基本方法，著重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.2 提高數(shù)學(xué)運算能力

4.2.1 掌握求數(shù)列通項公式的常用方法

高考數(shù)列試題常以等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識及綜合運用為主.要會用“基本量思想”求解等差、等比數(shù)列的通項公式；能由具有特定特征的遞推關(guān)系式求解通項公式（如累加法、累乘法等），并會通過“構(gòu)造新數(shù)列”(如加常數(shù)、取倒數(shù)等)研究數(shù)列的通項公式；會利用an與Sn的關(guān)系求通項公式；會用歸納猜想的方法研究數(shù)列的通項公式，并能用數(shù)學(xué)歸納法證明之.同時，還應(yīng)熟練掌握一些基本方法(如因式分解、配方法).

4.2.2 理解與掌握求數(shù)列前n項和的方法

要會熟練使用公式法、錯位相減、裂項相消、分組求和、奇偶分析和并項求和等方法研究數(shù)列前n項和.這些方法中，有的方法是教材中公式推導(dǎo)所使用的方法，建議在數(shù)列復(fù)習(xí)教學(xué)中重視對公式的推導(dǎo)并借機發(fā)揮；有的方法是教材所配習(xí)題所需要使用的研究方法，師生也應(yīng)積極交流并鞏固認知.

4.2.3 加強運算能力的訓(xùn)練

數(shù)列解答題的計算量一般來說不大，但若涉及錯位相減求和、奇偶分析和并項求和等方法，計算量會變大，非常容易出錯.為了提高計算的速度和準(zhǔn)確率，在平時教學(xué)中既要暴露計算問題，更要用充足的時間進行計算訓(xùn)練.

4.3 促成學(xué)生轉(zhuǎn)化應(yīng)用能力

縱觀數(shù)列試題的命制，其考查內(nèi)容離不開定義和性質(zhì)，但考查的形式和角度不再單一化，而呈多樣化的趨勢.有時把數(shù)列知識巧妙滲透在數(shù)學(xué)文化中，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際的能力；有時會給出新定義和新情景，要求考生在新定義和新情景中明晰數(shù)列知識的角色參與.這些題目的備考重點是學(xué)生要理解好數(shù)列的本質(zhì)內(nèi)涵,熟悉數(shù)列知識的背景,靈活利用已知解決未知，實現(xiàn)知識間的相互轉(zhuǎn)化.