課堂因“意外”而精彩

江蘇省興化市楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校 袁小強(qiáng) （郵編：225799）

課堂的預(yù)設(shè)是指教師為了有效地開(kāi)展課堂教學(xué)，完成計(jì)劃中的教與學(xué)的任務(wù)，教師對(duì)課堂中即將發(fā)生的活動(dòng)計(jì)劃達(dá)成的目標(biāo)進(jìn)行預(yù)先的設(shè)計(jì)與勾畫(huà).事實(shí)上，教師在實(shí)施課堂教學(xué)時(shí)，經(jīng)常遇到一些“意外”，也就是教師課堂預(yù)設(shè)之外，而這種意外往往是在建構(gòu)數(shù)學(xué)概念之前，也是新知識(shí)生成之時(shí)，教師要善于抓住這樣的“拐點(diǎn)”，將“節(jié)外生枝”變成“意外的精彩”，教學(xué)原本就是即席創(chuàng)造，這樣讓課堂變得有趣，充滿對(duì)智慧的挑戰(zhàn)和對(duì)好奇心的刺激，使師生的生命力得到充分發(fā)揮、張揚(yáng).

1 課堂意外生成

上新授課《拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程》，在探究拋物線的定義時(shí)，給出一個(gè)數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)，提問(wèn)：從做的數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)中，你發(fā)現(xiàn)了哪些關(guān)系？生 1：PF+PA＝定值，這是一個(gè)意外，原來(lái)設(shè)想學(xué)生可以很快找到PF＝PC，從而輕松得到拋物線的定義.既然學(xué)生提出了，也可以探究一下，先不打算調(diào)整學(xué)生的思路，嘗試一下是否可以走下去，追問(wèn)：和為定值，前面貌似研究過(guò)，應(yīng)該是什么曲線？學(xué)生小聲地說(shuō)：橢圓.繼續(xù)追問(wèn)：是橢圓嗎？但畫(huà)出來(lái)是什么？學(xué)生回答：拋物線.質(zhì)疑：那怎么矛盾了?。磕睦锍鰡?wèn)題了？

2 引發(fā)師生研討

學(xué)生在沉思，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.師：帶著這個(gè)問(wèn)題，重新回看一下剛剛看的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，小組討論一下.生2：A點(diǎn)也在動(dòng)，不是橢圓，橢圓定義是到兩個(gè)定點(diǎn)的距離，F(xiàn)點(diǎn)是定點(diǎn)，A點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn).師：很好，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)和橢圓的定義不矛盾了，可以繼續(xù)研究拋物線的方程嗎？剛剛同學(xué)已經(jīng)找到了關(guān)系：PF+PA＝定值，但是點(diǎn)A在動(dòng)，還能繼續(xù)研究嗎？

3 摸著石頭過(guò)河

生3：可以研究，雖然A點(diǎn)在動(dòng)，但是A點(diǎn)在一條定直線上.師：既然可以繼續(xù)研究，嘗試一下，要研究拋物線的方程一般步驟是什么？生4：建系，設(shè)點(diǎn)，列式，代點(diǎn)，化簡(jiǎn).師：很好！怎么建立合理的平面直角坐標(biāo)系呢？生4：顯然以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立，這樣拋物線的方程最簡(jiǎn)單.師：很好！那就按照你的方式建系.要研究P點(diǎn)軌跡，先設(shè)一些已知量，設(shè)PF+PA＝2a，F(xiàn)點(diǎn)是定點(diǎn)，可設(shè)為F（c，0），A點(diǎn)在定直線x＝m上，大家自己嘗試研究一下P點(diǎn)的軌跡方程.生5： 設(shè)P（x，y），由PF+PA＝2a，可 得移 項(xiàng) 平 方 化 簡(jiǎn).師：很好！生 5：平方.師：能直接平方嗎？生4：大于零才能，有絕對(duì)值，先去絕對(duì)值，分類討論.當(dāng)x≥m時(shí)，要 保 證 2a+mx≥0，也就是m≤x≤m+2a時(shí)，平方化簡(jiǎn)得y2＝（2c-4a-2m）x+（2a+m）2-c2，當(dāng)x＜m時(shí)要保證x+2a-m≥0，也就是m-2a≤x＜m時(shí)，平方化簡(jiǎn) 得y2＝（4a-2m+2c）x+（2a-m）2-c2，綜上：當(dāng)m≤x≤m+2a時(shí)，P點(diǎn)的軌跡方程為：y2＝（2c-4a-2m）x+（2a+m）2-c2，當(dāng)m-2a≤x＜m時(shí)，P點(diǎn)的軌跡方程為：y2＝（4a-2m+2c）x+（2a-m）2-c2.師：很好！這樣我們畫(huà)出的圖形是拋物線嗎？生6：顯然不是，由于m、a是定值，x的范圍是[ ]m-2a，m+2a也定了，而拋物線是可以無(wú)限延伸的.師：非常好！為何出現(xiàn)這種狀況？生6：繩子長(zhǎng)度定了，有限制.師：這樣研究有局限性，和我們拋物線圖形不符合，我們可以換個(gè)思路來(lái)研究P點(diǎn)的軌跡方程嗎？

4 回到問(wèn)題本身

師：我們回頭繼續(xù)再來(lái)看題目：除了PF+PA＝定值，還有其他關(guān)系嗎？生7：CP+PA＝定值.師：找到兩組等量關(guān)系，怎么研究P點(diǎn)的軌跡更方便呢？生7：PF＝CP.師：為什么這樣研究更方便呢？生7：F點(diǎn)是定點(diǎn)，C點(diǎn)在定直線l上.師：剛剛生2也說(shuō)F點(diǎn)是定點(diǎn)，A點(diǎn)在定直線上，一樣嗎？生7：不一樣，剛剛是和為定值，現(xiàn)在是等量關(guān)系，化簡(jiǎn)更簡(jiǎn)單.師：很好！化簡(jiǎn)是更簡(jiǎn)單些，還有其他理由嗎？生8：定值有限制，PF＝CP無(wú)限制，剛剛研究的只能在[]m-2a，m+2a，現(xiàn)在可以跳出繩子的長(zhǎng)度限制條件.師：生8用了個(gè)“跳出”，很好！這樣我們和A點(diǎn)沒(méi)關(guān)系了，只需滿足PF＝CP，你想象一下，這樣的點(diǎn)是不是可以無(wú)限延伸？接下來(lái)我們研究拋物線的方程.生9：以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)建系，設(shè)F（c，0），則直線l:x＝-c，設(shè)P（x，y），由PF＝CP，得師：需要取絕對(duì)值分類討論嗎？生9：不需要，直接平方化簡(jiǎn)得y2＝4cx.師：很好！大家比較一下以上兩種方法，哪種研究拋物線更方便？生：第二種.師：大家現(xiàn)在可以給出拋物線的定義嗎？生10：PF＝CP，也就是到一個(gè)定點(diǎn)和到一定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線.師：很好！生10不僅用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)了拋物線定義，同時(shí)還用自然文字語(yǔ)言刻畫(huà)了，記得研究橢圓和雙曲線時(shí)有限制條件，那么你認(rèn)為拋物線需要補(bǔ)充嗎？生11：定點(diǎn)不能就在定直線上.師：如果定點(diǎn)在定直線上時(shí)，軌跡是什么？生11：過(guò)點(diǎn)F垂直于直線l的直線.

5 生成核心概念

師：很好！現(xiàn)在可以給出拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.我們把焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離記作p，那么以上拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程就為：y2＝2px.問(wèn)題：在建立橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，選擇不同的坐標(biāo)系我們得到了不同的形式的標(biāo)準(zhǔn)方程.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些不同的形式？請(qǐng)大家自主完成.（利用時(shí)間，制作幾何畫(huà)板）

6 辨析釋疑解惑

這時(shí)，生1有點(diǎn)疑惑，明明畫(huà)出的圖象是一樣的，怎么表達(dá)式不一樣還分段呢？師看出生1的表情：生1還有什么疑惑呢？生1：雖然繩子是有限制的，感覺(jué)圖象在繩子范圍內(nèi)應(yīng)該是一樣的，所以表達(dá)式也一樣，為什么不一樣呢？師：既然生1有疑惑，有同學(xué)可以幫忙解決一下嗎？我們先研究當(dāng)m-2a≤x＜m時(shí)，P點(diǎn)的軌跡方程為：y2＝（4a-2m+2c）x+（2a-m）2-c2的 情 況.生12：剛剛我們把量換了，c用表示的，得y2＝（4a-2m+p）x+（2a-m）2-（）2，a、m、p好像有關(guān)系.師：很好！大家結(jié)合圖形思考一下a、m、p有關(guān)系嗎？生13：我發(fā)現(xiàn)了，PF＝CP，那么2a＝m+，代入上式就得到：y2＝2px，和拋物線方程一樣.師：非常棒！三個(gè)量a、m、p其實(shí)它們有2a＝m+這個(gè)等量關(guān)系，通過(guò)代換消元就可以得到y(tǒng)2＝2px，但是僅限于m-2a≤x＜m，也就是直線x＝m的左側(cè)，其實(shí)P點(diǎn)也可以在x＝m的右側(cè)，只要保證PF+PA＝2a，大家用類似的方法處理一下.生1：當(dāng)m≤x≤m+2a時(shí)，P點(diǎn)的軌跡方程為：y2＝（2c-4a-2m）x+（2a+m）2-（c）2，由 于c＜m，所 以x的系數(shù)2c-4a-2m＜0，也是拋物線，不是標(biāo)準(zhǔn)方程.師：非常好！你能猜想一下拋物線的開(kāi)口方向嗎？生1：向左.師：直線x＝m的左側(cè)時(shí)軌跡是拋物線開(kāi)口向右，直線x＝m的右側(cè)時(shí)軌跡是拋物線開(kāi)口向左.生1：是一個(gè)封閉的曲線.師：很好！這是我們剛剛的猜想，我們用幾何畫(huà)板驗(yàn)證一下我們大家的猜想.

教師展示動(dòng)畫(huà)過(guò)程，思考：現(xiàn)在，你又有什么發(fā)現(xiàn)？和上面的代數(shù)研究有區(qū)別和聯(lián)系嗎？生1：我終于明白了.由于繩子長(zhǎng)度是定值，所以圖象有限制，是個(gè)封閉的圖形，是又兩個(gè)拋物線構(gòu)成的，分別在直線的兩側(cè)，我開(kāi)始沒(méi)發(fā)現(xiàn)直線右側(cè)也有圖象.

7 “意外”拓展思維

師：生1給了大家一個(gè)新的思考方向，新的視角，你是怎么想到的？生1：前面將來(lái)到兩定點(diǎn)距離之和，差的絕對(duì)值為定值，分別是橢圓和雙曲線，這里是到定點(diǎn)和定直線距離之和為定值.師：生1用的是類比的方法來(lái)研究的，我們還能提出哪些問(wèn)題可以研究呢？生13：到定點(diǎn)和定直線距離差的絕對(duì)值為定值.師：很好！前面我們研究的是到兩個(gè)定點(diǎn)距離和、差為定值，我們還可以研究？生：積、商.師：非常棒！兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為定值，只要不是1，就是前面研究的阿波羅尼斯圓，當(dāng)然還可以平方和、平方差、立方和、立方差，兩點(diǎn)除了可以研究距離還可以研究什么？生14：斜率，向量.斜率的和差積商、向量數(shù)量積為定值等等.生14：兩個(gè)定點(diǎn)還可以變?yōu)槎c(diǎn)和定直線，到到定點(diǎn)和定直線距離之積、比、平方和、平方差為定值等等.師：太厲害了！有興趣的同學(xué)課后可以仿照研究橢圓、雙曲線、拋物線方程的方法嘗試著研究它們的軌跡方程.

8 課堂“意外”的反思

8.1 “意外”發(fā)展學(xué)生的高階思維能力

高階思維是指發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動(dòng)或認(rèn)知能力，這種思維能力是創(chuàng)新能力、問(wèn)題解決能力、決策力和批判性思維能力的核心.從學(xué)習(xí)內(nèi)容角度看，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是高階思維培育的主陣地，必須將高階思維的培育融于日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中.從教與學(xué)的方式角度看，培養(yǎng)高階思維，需要采用探究性學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、小組討論等方式，需要提供以學(xué)習(xí)者為中心的環(huán)境，營(yíng)造情境化的學(xué)習(xí)氛圍，展現(xiàn)基于過(guò)程的教學(xué)模式，注重知識(shí)生成和批判性思維的運(yùn)用等.通過(guò)對(duì)問(wèn)題的思考、探究、比較，對(duì)拋物線定義的辨析，發(fā)展學(xué)生的判性思維性思維能力.

8.2 “意外”發(fā)展學(xué)生的深度學(xué)習(xí)能力

美國(guó)心理學(xué)家布魯納說(shuō)：“最好的動(dòng)機(jī)莫過(guò)于學(xué)生對(duì)所學(xué)材料本身內(nèi)在的興趣，有新發(fā)現(xiàn)的自信感.”學(xué)生可以用自己的“發(fā)現(xiàn)”作為最高獎(jiǎng)勵(lì)而推進(jìn)學(xué)習(xí)的過(guò)程.“深度學(xué)習(xí)”是學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)新知識(shí)發(fā)展過(guò)程中，學(xué)會(huì)遷移學(xué)習(xí)知識(shí)，運(yùn)用學(xué)習(xí)知識(shí)分析、解決問(wèn)題，并在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷提升發(fā)展自身學(xué)習(xí)能力和素養(yǎng)的過(guò)程.學(xué)生在課堂上提出新的想法思路是，教師應(yīng)當(dāng)順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生思維，經(jīng)過(guò)大家熱烈的討論，思維碰撞，不斷探究、質(zhì)疑、補(bǔ)充、完善，最后得出拋物線的定義，概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)借助知識(shí)的生成過(guò)程促使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，從而實(shí)現(xiàn)新課程倡導(dǎo)的“一切為了學(xué)生”的核心理念.

8.3 “意外”發(fā)展學(xué)生的主人翁意識(shí)

課堂教學(xué)過(guò)程超出了教師的預(yù)設(shè)，但這才是課堂的精彩之處，讓學(xué)生成為課堂的真正的主人，讓學(xué)生充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性，積極提出問(wèn)題，主動(dòng)參與探究，合作交流，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中實(shí)現(xiàn)再創(chuàng)造的過(guò)程，使學(xué)生的潛能和創(chuàng)造性得到發(fā)揮，培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)自己的信心，喜歡去積極探究，刨根究底，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界.