關(guān)注細(xì)節(jié)梯度 滲透情景育人
——記《等差數(shù)列的性質(zhì)（第一課時）》的磨課實踐

浙江省溫嶺市新河中學(xué) 江 楊 （郵編：317502）

筆者參加了一次地區(qū)的高一教學(xué)活動，并上了一節(jié)公開課《等差數(shù)列的性質(zhì)（第一課時）》，下面回顧這節(jié)課的“打磨”過程與反思所得.

一拿到課題，本著激發(fā)探究的興趣又體現(xiàn)新課程的理念，想構(gòu)建一個情境引入，但實在太難，難在性質(zhì)的探究更多是從具體的習(xí)題中得到，而非來自生活實際情境.由此感覺好像只能走“講授—例題—練習(xí)—總結(jié)”的“老套路”，但公開課這樣缺乏新意，很無奈但也要轉(zhuǎn)換思路，于是進(jìn)行了第一次整體課題設(shè)計的“打磨”，最后經(jīng)過與組內(nèi)老師探討和反復(fù)思考確定下來走“例題（問題）—探究—練習(xí)—總結(jié)”的“新路子”.并考慮一題多變，變式到底，邊變邊練，讓問題的提出和解決顯得自然而然，探究得出性質(zhì)變得水到渠成.

1 第一次教學(xué)片斷（實錄）

回顧等差，引入例題.已知數(shù)列{ }an為等差數(shù)列，a2＝5，a10＝21，求公差d（學(xué)生大多用基本量法求得）.

點評以例題入手，開門見山，既是例題又是問題，不走枯燥推導(dǎo)性質(zhì)、先講授知識，后講解例題的“老套路”.

問1有無其他方法得出公差d?

生：兩數(shù)直接相減得16，除以下標(biāo)的差8，所以公差為2.

（肯定的同時引導(dǎo)學(xué)生觀察、推廣，得出性質(zhì)1）

性質(zhì)1通項公式一般式：an＝am+_____（m、n∈N*）?d＝______.（課前印發(fā)了學(xué)案，留有性質(zhì)的填空，同時PPT展示）

問2你會證明這個一般式嗎？（對猜想的性質(zhì)作嚴(yán)格的證明）

變式1在等差數(shù)列{an}中，若am＝n，an＝m（m≠n，m、n∈N*），求am+n.

（2）求a4+a8

問3你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：a2+a10＝a4+a8＝26.

問4你能推廣得出相應(yīng)性質(zhì)嗎？（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，總結(jié)，歸納出性質(zhì)，證明）

性質(zhì) 2對稱性：若m+n＝p+q（m、n、p、q∈N*），則______＝______；

特 別 地 ，若m+n＝2t（m、n、t∈N*），則am+an＝______.

（學(xué)生填空，后PPT展示）

點評性質(zhì)2是等差數(shù)列中非常重要性質(zhì)——下標(biāo)和相等，對應(yīng)的兩項和也相等.這里重在學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)歸納出性質(zhì).

變式2若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1+a2+… +a9＝72，則a2+a4+a9＝______.

變式3若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1+a4+a7＝15，a2a4a6＝45，求公差d.

（通過兩道變式訓(xùn)練，達(dá)到應(yīng)用鞏固目的.變式2實際上是將性質(zhì)2推廣至多項）

（3）將{an}中的第1項，第7項，第13項……抽出組成新的數(shù)列{bn}的第1項，第2項，第3項……，問：{bn}是否為等差數(shù)列？證明你的結(jié)論.

生：是的.

問5為什么？你能證明嗎？

（學(xué)生感覺想當(dāng)然，一時無從下手，引導(dǎo)學(xué)生回到定義，關(guān)鍵找到bn＝a3n-1，n∈ N*）

變式4若{an}、{bn}為等差數(shù)列，下列數(shù)列為等差數(shù)列嗎？

變式5已知{an}為等差數(shù)列，a1+a2+… +a6＝10，a7+a8+ … +a12＝70，則

a13+a14+ … +a18＝______.（由第（3）小題結(jié)論可很快得出三者成等差關(guān)系）

性 質(zhì)3若{an}，{bn}等 差 ，則 ①ak，ak+m，ak+2m…（k，m∈N*）也為等差數(shù)列；②{an+C}，{λan}，{an+bn}即___________也為等差數(shù)列；

③a1+a2+ … +an，an+1+an+2+...a2n，a2n+1+a2n+2+…+a3n，…仍成等差數(shù)列.

點評為了引出性質(zhì)3的①②③性質(zhì)，考慮從特殊出發(fā)，先有①，再有②，后有③，層層遞推，順勢而為，讓性質(zhì)的得出自然而然.

至此，這節(jié)課的內(nèi)容已完成，然后讓學(xué)生對知識層面進(jìn)行總結(jié)再上升到數(shù)學(xué)思想.

2 第一次課后點評

以上是第一次校內(nèi)公開課，課后教研員和組內(nèi)老師從細(xì)節(jié)出發(fā)提出了很多寶貴的意見，以下是主要的幾點：

（1）考慮到學(xué)生層次是否內(nèi)容量太大（所教高中層次處在縣市中游水平）；

（2）是否可以降低難度，設(shè)定梯度.例如可以將變式1中字母改為特殊值；

（3）性質(zhì)3的③涉及求和，應(yīng)在學(xué)好等差數(shù)列前n項和后去涉及，是否不應(yīng)在本節(jié)出現(xiàn).

3 第二次教學(xué)片斷（摘錄）

教研員和組內(nèi)老師給予了中肯的意見和研討，基于以上建議，進(jìn)行第二次“打磨”：

（1）將變式 1：“在等差數(shù)列{an}中，若am＝n，an＝m（m≠n，m、n∈N*），求am+n”改 為“ 等差 數(shù) 列{an}中，若a10＝100，a100＝10，求 公 差d及a110”，再此基礎(chǔ)上再提問：“在等差數(shù)列{an}中，若am＝n，an＝m（m≠n，m、n∈N*），求am+n”.學(xué)生在具體數(shù)字中能快速解決，字母只作延伸，點醒學(xué)生即可，課堂不再演算.

（2）變式2和3考慮也設(shè)定坡度，并進(jìn)行修改.

變式2“若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1+a2+… +a9＝72，則a2+a4+a9＝______”改 為 ：“ 若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a4+a5+a6＝72，則a5＝_____;a2+a4+a9＝_______”.設(shè)定了臺階“求a5”，同時將條件中的前n項和調(diào)整得更簡單，更符合本節(jié)課題范圍.

變式3“若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1+a4+a7＝15，a2a4a6＝45，求公差d”改 為 ：“ 在 等 差 數(shù)列{an} 中 ，a2+a4+a6＝15，a2a4a6＝45，且a2、a6為方程x2-mx+n＝0的兩個實根，求m、n的值及公差d”.增加了韋達(dá)定理的關(guān)聯(lián)，設(shè)定了臺階“求m、n”，這里還預(yù)設(shè)了一個提問：“這里的m、n指什么”，只要邁上了這個臺階，就能容易得出a2、a6和公差d，相較于原題直接求公差d，變得簡單了很多，符合所教對象的層次.

（3）第（3）小題考慮學(xué)生不易歸納出bn＝a3n-1，所以直接將第（3）小題“{an}中的第1項，第7項，第13項……抽出組成新的數(shù)列{bn}的第1項，第2項，第3項……，問：{bn}是否為等差數(shù)列？證明你的結(jié)論.”改為：“數(shù)列{bn}的通項滿足bn＝a3n-1，證明：{bn}為等差數(shù)列.”再讓學(xué)生分析{bn}是怎樣的數(shù)列？

4 第二次課后點評

修改后再次在校內(nèi)上課，總體感覺與預(yù)想的較為接近了，組內(nèi)老師也基本肯定，但也有老師提出總覺得去地區(qū)上公開課引入不夠出彩，然而由于《等差數(shù)列的性質(zhì)（第一課時）》這一課題比較局限性，大家也沒有什么好建議，因為平時教學(xué)中也都沒有這方面的情景引入，通常還是接著上一節(jié)《等差數(shù)列》進(jìn)行引入，如何才能“畫龍點睛”呢？于是在苦思冥想后進(jìn)行第三次“打磨”，決定將個人的一次南京旅行和愛國教育與本節(jié)例題有機(jī)結(jié)合，作為課題引入.

5 第三次公開課片斷（實錄）

師：同學(xué)們，前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念，今天來研究下它的性質(zhì).先從一段旅行談起，今年春節(jié)我和家人去了南京旅游，這次旅游給我印象最深的是南京大屠殺紀(jì)念館，30萬同胞的生命在短短幾天被殺害（PPT展示旅游時拍下的照片），那一幕幕觸目驚心的照片深深扎在我心頭，其中回憶最深的是紀(jì)念館出口一個不起眼的角落，那里在不停滴水，每滴水的間隔是d秒，每過d秒就會出現(xiàn)一個頭像，代表著一個中國人被殺害，我被深深震撼到了，大家想知道d為幾秒嗎？想知道日本侵略者是多么慘無人道地殺害平民百姓嗎？

生：想（學(xué)生低沉地回答）

師：老師換一種形式給出答案.問題：假如第三個人被殺害時，秒針指向是時鐘的6刻度，那么當(dāng)?shù)谄邆€人被殺害時，秒針還沒走過一圈，指向的是時鐘的54刻度，你們能算出是每過幾秒殺一個人嗎？誰能最快地算出d？抽象成數(shù)列問題怎么表示？

生1：將兩數(shù)直接相減得48，除以下標(biāo)的差4，所以公差為12，即12秒.

生2：抽象為數(shù)列問題：{ }an為等差數(shù)列，a3＝6，a7＝54，求公差.

（引導(dǎo)學(xué)生觀察、推廣，得出性質(zhì)1）

性質(zhì)1通項公式一般式：an＝am+_______（m、n∈N*）?d＝_______（課前印發(fā)了學(xué)案，留有性質(zhì)的填空，同時PPT展示）

問2你會證明這個一般式嗎？（對猜想的性質(zhì)作嚴(yán)格的證明）

變式1等差數(shù)列{ }an中，若a10＝100，a100＝10，（1）求公差d及a110；

再提問在等差數(shù)列{ }an中，若am＝n，an＝m（m≠n，m、n∈N*），求am+n呢？

（2）求a5及a4+a6；

師：你有什么發(fā)現(xiàn)?

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，總結(jié)，歸納出性質(zhì)2并證明

性質(zhì)2對稱性：若m+n＝p+q（m、n、p、q∈N*），則______＝______；

特 別 地 ，若m+n＝2t（m、n、t∈N*），則am+an＝______.

（學(xué)生填空，后PPT展示）

變式2若數(shù)列{ }an為等差數(shù)列，a4+a5+a6＝72，則a5＝______，a2+a4+a9＝______.

變式3在等差數(shù)列{ }an中，a2+a4+a6＝15，a2a4a6＝45，且a2、a6為方程x2-mx+n＝0的兩個實根，求m、n的值及公差d.

師：這里的m、n指代什么？

生：兩根和與積，即a2+a6，a2·a6.

（通過這個提問引導(dǎo)，學(xué)生很快解決）

變式4{an}為等差，a1+a4+a7＝15，a2a4a6＝45，求an.

（在變式3的基礎(chǔ)上，提高難度，課堂上點到為止，留給學(xué)生課后思考）

（3）數(shù)列{bn}的通項滿足bn＝a3n-1，求證：bn也為等差數(shù)列.

師：你會證明嗎？從中你發(fā)現(xiàn)什么？

（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，總結(jié)，歸納出性質(zhì)，證明）

變式5若{an}為等差數(shù)列，下列數(shù)列為等差數(shù)列嗎？

A.{2an}； B.{a2n-1}；

C.{an+2}；D.{an+bn}

性 質(zhì)3若{an}、{bn}等 差 ，則 ①ak，ak+m，ak+2m…（k、m∈N*）也為等差數(shù)列 ② {an+C}，{λan}，{an+bn}即____________也為等差數(shù)列.

（原來的變式5涉及求和刪去）

至此，這節(jié)課的內(nèi)容已完成，同樣讓學(xué)生對知識層面進(jìn)行總結(jié)再上升到數(shù)學(xué)思想.最后，升華到愛國主義育人理念的滲透，我低沉地說：“愿逝者安息，讓我們勿忘國恥”，同時為了前后呼應(yīng)，PPT上展示出那個“12秒?yún)^(qū)域”的圖片和文字說明以及國家公祭日等圖片，此時無聲勝有聲.

6 課堂成功與反思所得

經(jīng)過三次“打磨”和試上，最后在地區(qū)上課時取得非常成功的課堂效果，得到了同行們肯定與鼓勵.

回顧整個磨課實踐，感觸頗深.現(xiàn)在的學(xué)生很多只會簡單的套用公式，不會探究，不會轉(zhuǎn)化問題解決，這與我們的教學(xué)方式有很大關(guān)系.傳統(tǒng)的教學(xué)以教師為主線，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識的傳授，常常采用滿堂灌，特別是一些習(xí)題課，懶于體現(xiàn)學(xué)生的主體性，鍛煉他們探究能力，更不提的人文情感教育的滲透.實際上，都是教師高高在上，疏于“理政”的結(jié)果導(dǎo)致的，只要創(chuàng)造性的使用教材，融入自己的智慧，同時群策群力，廣納良言，在教學(xué)過程多想善思，用好引趣、激疑、探究等手段，一定能提高學(xué)生的“究知”能力，能更好地備出一節(jié)有效課.

前蘇聯(lián)教育學(xué)家蘇霍姆林斯基說過：“教師進(jìn)行勞動和創(chuàng)造的時間好比一條大河，要靠許多小的溪流來滋養(yǎng)它”.一節(jié)真正有品質(zhì)的課需要為之傾心費力，只有潛下心來，專心“打磨”每個細(xì)節(jié)，才能得到奪目的“玉器”，正所謂：“玉不琢不成器”.