Z型梁結(jié)構(gòu)壓電式能量采集性能分析

施海天， 魏 莎,2， 丁 虎,2， 陳立群,2

(1.上海大學 力學與工程科學學院， 上海 200444；2.上海市應用數(shù)學和力學研究所， 上海 200072)

近年來，隨著石油、煤炭等資源的日益減少，人類對能源的需求不斷增加，能源問題已成為人類亟待解決的重要問題。從外部環(huán)境振動中獲取能量是目前國內(nèi)外研究熱點之一，振動型能量采集器將環(huán)境中普遍存在的機械能轉(zhuǎn)換為電能，可以實現(xiàn)自供能傳感、控制與驅(qū)動，具有靈活、節(jié)能環(huán)保、可持續(xù)等優(yōu)勢，在航空航天、生物醫(yī)療、工業(yè)生產(chǎn)、交通監(jiān)管、環(huán)境監(jiān)測和軍事偵查等領域均具有廣闊的應用前景[1-5]。壓電式能量采集器因其功率密度高、設計靈活等特點，已成為重要的振動能量采集方式之一。

壓電懸臂梁式振動型能量采集器在外激勵頻率接近固有頻率時可實現(xiàn)有效的能量采集效果，但在遠離共振區(qū)域時，其采集性能將大幅降低。由于一般工程環(huán)境中的振動常具有較寬的頻帶，所以設計的能量采集器需拓寬頻帶，提高能量采集性能。目前拓寬頻帶的方式主要有多結(jié)構(gòu)陣列、多模態(tài)轉(zhuǎn)化、非線性設計等方法[6-10]。在結(jié)構(gòu)陣列設計方面，Song等[11]設計了一種磁耦合壓電式能量采集器陣列，實現(xiàn)雙重能量采集模式，對雜散磁場和環(huán)境振動均可實現(xiàn)有效能量采集。Xie等[12]設計了一種L型壓電耦合圓筒式能量采集器，通過陣列式L型結(jié)構(gòu)，有效地提高了能量采集的頻帶帶寬。在多模態(tài)轉(zhuǎn)化方面，Liu等[13]利用聚偏氟乙烯壓電薄膜制備了一種由兩個不同結(jié)構(gòu)尺寸懸臂梁組成的雙諧振能量采集器，該能量采集器可以將工作頻帶由37～51 Hz拓寬至30～52 Hz并輸出0.12～0.19 μW的功率。馬天兵等[14]設計了一種多層折疊梁結(jié)構(gòu)，在較低的頻率范圍內(nèi)實現(xiàn)多個模態(tài)的能量采集，有效地提高了壓電能量采集的性能。在非線性設計方面，鄒鴻翔等[15]利用屈曲梁結(jié)構(gòu)設計了二維平面內(nèi)采集振動能量的裝置，通過合理設計，面內(nèi)壓電振動能量采集器可以在低頻、寬頻、弱激勵下有效俘獲能量。Jiang等[16]設計了一種帶有振蕩器的軸向加載壓電式懸臂梁能量采集器，利用內(nèi)共振機制，壓電梁表現(xiàn)出硬化型非線性特征，使幅頻峰值向兩側(cè)彎曲，能量采集的帶寬得到較大的提高。Yang等[17]提出了一種將雙穩(wěn)態(tài)與內(nèi)共振相結(jié)合的混合非線性壓電能量采集器，與同結(jié)構(gòu)的固定磁鐵式雙穩(wěn)定系統(tǒng)相比，頻率帶寬增加了二倍。

盡管在壓電懸臂梁式振動型能量采集器的基礎上，一些學者為拓寬能量采集帶寬進行了不同方式的梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化與改進，但結(jié)合實際工程應用，仍然較難實現(xiàn)寬頻帶、多頻率和多維度能量采集性能。本文設計了Z型梁結(jié)構(gòu)壓電式能量采集器，理論分析了Z型梁的固有特性，并采用有限元方法驗證其準確性。通過研究發(fā)現(xiàn)，Z型梁結(jié)構(gòu)壓電式能量采集器在滿足一定外激勵的情況下，可發(fā)生不同模態(tài)間的相互作用，實現(xiàn)不同模態(tài)共振頻率下的能量采集，并且通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)后，可實現(xiàn)能量采集器工作頻帶的變化與拓寬，改善能量采集效果。

1 Z型梁結(jié)構(gòu)能量采集器模型

1.1 結(jié)構(gòu)設計

優(yōu)化壓電懸臂梁式結(jié)構(gòu)能夠有效的提高能量采集的性能，目前主要的研究有附加集中質(zhì)量改變固有頻率以匹配實際環(huán)境振動頻率，非線性磁力的附加拓展頻帶，研究異型梁實現(xiàn)二自由度的能量采集等[18]，但仍然難以匹配實際工程中的激勵寬頻帶、多方向等問題。結(jié)合實際梁的多模態(tài)、多自由度的特點，本文設計了一種Z型梁結(jié)構(gòu)壓電式振動能量收集器。圖1為Z型梁結(jié)構(gòu)三維模型示意圖，Z型梁由3段矩型梁構(gòu)成，以底層矩型梁作為壓電材料基板，根據(jù)每段梁始末位置的邊界條件，相互耦合得到總體模態(tài)，以此實現(xiàn)在一定范圍內(nèi)集中更多固有頻率的目的。

圖1 Z型梁結(jié)構(gòu)三維模型示意圖Fig.1 Three dimensional model of Z-shapedbeam

1.2 動力學模型

圖2(a)為Z型梁結(jié)構(gòu)振型示意圖，以各個角節(jié)點為原點建立單獨坐標系，將Z型梁分段為三段單獨的梁結(jié)構(gòu)，由于梁的橫向振動與縱向振動，產(chǎn)生了橫向位移與縱向位移如圖2(b)所示，在不考慮阻尼的情況下，每段梁的橫向自由振動的運動方程為

圖2 Z型梁振型與位移示意圖Fig.2 Vibration mode and displacement diagram of Z-shaped beam

(1)

每段梁的縱向自由振動的運動方程為

(2)

式中:Ei為第i段梁的彈性模量；Ii為第i段梁截面慣性矩;ρi為第i段梁密度;Ai為第i段梁的截面面積。

將控制方程中梁的橫向與縱向自由振動進行如下分離變量

wi(xi,t)=Wi(xi)Q(t)

(3)

ui(xi,t)=Ui(xi)Q(t)

(4)

將式(3)、式(4)代入式(1)、式(2)，可得到模態(tài)函數(shù)與模態(tài)坐標的通解為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

T·C=0

(10)

1.3 模態(tài)分析

為研究Z型梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)對固有頻率的影響，取梁的材質(zhì)為鋁，設計每段矩形梁的長寬厚尺寸為60 mm×12 mm×0.45 mm，材料的彈性模量為Ei=70 GPa，密度為ρi=2 700 kg/m3,泊松比為0.33，并取角度θ1=θ2，理論計算出角度變化對Z型梁的模態(tài)與固有頻率的影響，并與有限元軟件Comsol的仿真結(jié)果進行對比。

圖3為不同角度下Z型梁固有頻率的理論計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果。從圖3中結(jié)果可以看到，兩者較為吻合。當角度在0°～90°時，隨角度增大，一階固有頻率減小，二階固有頻率增大，三階固有頻率略微降低；當角度大于90°時，一、二階固有頻率幾乎不再變化，三階固有頻率增幅較大。由于Z型梁角度的變化會引起固有頻率的較大變化，通過合理優(yōu)化角度參數(shù)，可以提高Z型梁的模態(tài)集中性，設計合適的多模態(tài)、寬頻帶壓電式能量采集器。

圖3 不同角度下Z型梁結(jié)構(gòu)的固有頻率Fig.3 Natural frequency of Z-shaped beam under different angles

2 Z型梁結(jié)構(gòu)有限元建模

Z型梁結(jié)構(gòu)的機電耦合模型示意圖,如圖4所示。圖4中能量采集器由Z型梁和雙晶壓電片構(gòu)成，雙晶PZT粘貼于Z型梁的第一段主梁上，并以并聯(lián)方式連接于外接電路。

圖4 型梁結(jié)構(gòu)機電耦合模型示意圖Fig.4 Schematic diagram of electromechanical coupling model of Z-shaped beam

建立Z型梁結(jié)構(gòu)中壓電材料的有限元數(shù)學模型，將壓電材料和梁離散成若干個三角形單元,如圖5所示。根據(jù)三角形單元內(nèi)節(jié)點的關系，壓電晶體的位移函數(shù)[20]為

圖5 Z型梁結(jié)構(gòu)三角形網(wǎng)格劃分示意圖Fig.5 Finite element mesh generation of Z-shaped beam

(11)

式中:uc，Vc分別為三角形單元中任一點的矢量位移和電壓矢量；u,V分別為節(jié)點位移矢量和節(jié)點電壓矢量；Nu,Nν分別為位移形狀函數(shù)和電壓形狀函數(shù)矩陣。

(12)

(13)

式中,Nn為第n個節(jié)點的形狀函數(shù)，利用局部坐標可以將形函數(shù)表示為

Nn=(1+xxn)(1+yyn)(1+zzn)

(14)

通過節(jié)點的位移場和應變場可以求解節(jié)點電壓強度和電位移密度。由此可以建立任何一個三角形單元的機電耦合電壓動力學方程。

(15)

根據(jù)動力學方程式(15)，利用有限元軟件Comsol可以分析得到簡諧外激勵力作用下Z型梁結(jié)構(gòu)的任意一個壓電單元的振動位移和輸出電壓V，將單元電壓V利用軟件耦合后可以得到Z梁結(jié)構(gòu)的輸出電壓V0。

3 Z型梁結(jié)構(gòu)參數(shù)分析與優(yōu)化

為進一步深入研究Z型梁結(jié)構(gòu)的振動能量采集性能，利用有限元軟件Comsol構(gòu)建Z型梁結(jié)構(gòu)的三維模型，采用三角形單元劃分網(wǎng)格，分析不同結(jié)構(gòu)尺寸、激勵大小方向以及外接負載等參數(shù)對Z型梁結(jié)構(gòu)能量采集性能的影響規(guī)律。其基本參數(shù)如表1所示[21]。

表1 Z型梁結(jié)構(gòu)基本參數(shù)

與壓電懸臂梁進行對比，取Z型梁結(jié)構(gòu)第一段作為壓電懸臂梁構(gòu)型，并保持基本結(jié)構(gòu)尺寸一致。為不失一般性，Z型梁結(jié)構(gòu)的角度取為90°，在基座激勵0.2g的加速度作用下，壓電式懸臂梁與90°折角Z型梁結(jié)構(gòu)的電壓-頻率曲線,如圖6所示。由圖6中可以看出，Z型梁結(jié)構(gòu)相較于懸臂梁，在0～60 Hz內(nèi)，電壓響應幅值得到較大提高，同時模態(tài)頻率也明顯降低，出現(xiàn)第二個較高的電壓峰值，可實現(xiàn)多模態(tài)能量采集。

圖6 壓電懸臂梁與90°Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線Fig.6 Voltage frequency curve of piezoelectric cantilever beam and 90 ° Z-shaped beam structure

根據(jù)此前理論推導的Z梁固有頻率和折角θi的關系可知，在折角大于90°后，除第三階固有頻率發(fā)生較大變化，第一、第二階固有頻率變化較小，因此不予研究。圖7(a)為設計折角為0°～90°的Z型梁結(jié)構(gòu)輸出電壓-頻率曲線圖。模態(tài)頻率的變化規(guī)律與Z型梁的理論模態(tài)頻率分析相符合，同時電壓峰值也隨設計折角發(fā)生變化。隨著角度的增大，第一、第二階固有頻率的間距增大，電壓峰值也隨之增大，但相應的第三階頻率有所降低，電壓峰值不斷下降。在折角為90°時，第三階模態(tài)的電壓峰值非常低，難以實現(xiàn)能量的有效采集。圖7(b)所示的功率隨角度的變化規(guī)律與電壓隨角度的變化趨勢一致，圖7(c)所示的位移隨角度的變化規(guī)律與電壓隨角度的變化趨勢也一致。由圖7中結(jié)果可知，通過角度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計，可以有效的實現(xiàn)多模態(tài)能量采集，并且避免結(jié)構(gòu)因大位移而產(chǎn)生破壞。

圖7 不同角度下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線、功率-頻率曲線與自由端位移-頻率曲線Fig.7 Voltage and free end displacement frequency curves of Z-shaped beam structure under different angles

為實現(xiàn)Z型梁結(jié)構(gòu)的多模態(tài)能量采集，得到更加平穩(wěn)的電壓響應，設計Z型梁的結(jié)構(gòu)夾角為30°，并保持表1中梁的基本參數(shù)不變，分析尺寸參數(shù)對壓電能量采集性能的影響規(guī)律。保持帶有壓電層的主梁不變，改變第二、第三段梁的長度，不同段梁長的Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線，分別如圖8和圖9所示，梁長在一定范圍變化時均可實現(xiàn)多個模態(tài)的有效電壓能量采集。隨第二段梁長的增大，一階電壓響應峰值先減后增，二階和三階電壓響應峰值均增大。當?shù)诙瘟簽?20 mm和150 mm時，二階電壓響應的峰值和頻率幾乎不再變化。位移隨梁長度的變化規(guī)律與電壓隨梁長度的變化趨勢基本一致。如圖9所示，隨第三段梁長的增大，各階固有頻率均降低，自由端的位移均增大，一、二階電壓響應峰值先減后增，三階電壓響應峰值不斷增大。圖10為在三段梁長度同時變化下的Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線圖。在長度為150 mm時，第一、第二階固有頻率非常接近，且出現(xiàn)細長的電壓-頻率曲線，但非共振帶處電壓值依舊非常低，并沒有拓寬能量采集的工作頻帶。由此說明，在三段梁長度同時變化的情況下，不能顯示出更寬頻的能量采集性能。

圖8 不同第二段梁長度下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線與自由端位移-頻率曲線Fig.8 Voltage and free end displacement frequency curves of Z-shaped beam with different lengths of the second segment beam

圖9 不同第三段梁長度下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線與自由端位移-頻率曲線Fig.9 Voltage and free end displacement frequency curves of Z-shaped beam with different lengths of the third segment beam

圖10 三段梁長度同時變化下的Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線Fig.10 Voltage frequency curve of Z-shaped beam structure with three beam lengths changing at the same time

圖11(a)為第二段梁厚度變化下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線。隨第二段梁厚度的增大，第一階固有頻率發(fā)生較小偏移，第二階固有頻率明顯增大。隨著第二段梁厚度的增大，一、二階電壓峰值明顯增大，三階電壓峰值減小。位移隨梁厚度的變化規(guī)律與電壓隨梁厚度的變化趨勢基本一致，但第二階固有頻率附近的自由端位移變小。當?shù)诙瘟汉穸扔?.6 mm增加至0.8 mm時第二階電壓的變化差遠大于厚度由0.8 mm增加至1.2 mm時電壓的變化差。此外，隨著厚度的增加，一、二階固有頻率之間非共振帶處的電壓值不斷增加，有效拓寬了工作頻率范圍。在1.2 mm厚度的情況下，以0.5 V為有效輸出電壓，工作頻帶可達17.4～36.3 Hz。如圖12所示為第三段梁厚度變化下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線與自由端位移-頻率曲線，隨著厚度的增加，各階固有頻率均降低，此外一階電壓峰值略微降低，二階電壓峰值不斷增加，三階電壓峰值變化不大，自由端位移隨厚度的變化趨勢與電壓隨厚度的變化趨勢一致。通過分析Z型梁的結(jié)構(gòu)尺寸，梁長度對壓電能量采集性能起主導作用，影響較為復雜。隨著第二段梁厚度的增加，第一、第二階固有頻率之間非共振帶處的電壓值不斷增加，有效拓寬了工作頻率范圍，由此說明可通過合理優(yōu)化尺寸結(jié)構(gòu)設計不同多模態(tài)、寬頻的Z型梁結(jié)構(gòu)能量采集器。

圖11 不同第二段梁厚度下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線與自由端位移-頻率曲線Fig.11 Voltage and free end displacement frequency curves of Z-shaped beam with different thickness of the second segment beam

圖12 不同第三段梁厚度下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線與自由端位移-頻率曲線Fig.12 Voltage and free end displacement frequency curves of Z-shaped beam with different thickness of the third segment beam

圖13為不同激勵加速度下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線與功率-頻率曲線。如圖13(a)所示，Z型梁結(jié)構(gòu)在不同激勵基座加速度作用下的電壓響應隨加速度的增大而增加。在0.8g的基座加速度下，90°折角Z型梁的一階電壓響應峰值可以達到14 V，同時圖13(b)中輸出電功率最大可達7.89 mW。在保持0.2g基座加速度的情況下，不同方向激勵下Z型梁電壓-頻率曲線,如圖14所示。相較于相近尺寸的傳統(tǒng)壓電懸臂梁[22]在1g基座加速度下縱向振動產(chǎn)生最大電壓約為1.6 V，Z型梁結(jié)構(gòu)對橫向激勵和縱向激勵均有較高的電壓響應。

圖13 不同激勵加速度下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線與功率-頻率曲線Fig.13 Voltage and power frequency curves of Z-shaped beam under different excitation accelerations

圖14 不同激勵方向下Z型梁結(jié)構(gòu)電壓-頻率曲線Fig.14 Voltage frequency curves of Z-shaped beam under different excitation directions

圖15為不同外接電阻下Z型梁結(jié)構(gòu)功率-電阻曲線，分別討論了30°和90°兩種結(jié)構(gòu)折角下的能量采集性能。如圖15所示，不同固有頻率下的能量采集最大功率對應不同的外接電阻。如圖15(a)所示，在0.2g的基座加速度下，90° Z型梁結(jié)構(gòu)在第一階固有頻率處的最優(yōu)電阻解約為12 kΩ，產(chǎn)生的最大功率為0.52 mW；在第二階固有頻率處的最優(yōu)電阻解約為18 kΩ，產(chǎn)生的最大功率為0.27 mW，而在第三階固有頻率處的功率幾乎為零。如圖15(b)所示，在0.2g基座加速度下，30° Z型梁結(jié)構(gòu)的前三階固有頻率均存在有效功率，對應的最優(yōu)電阻分別為8 kΩ，22 kΩ，12 kΩ，產(chǎn)生的最大功率分別為0.05 mW，0.09 mW，0.11 mW。

圖15 不同外接電阻下Z型梁結(jié)構(gòu)功率-電阻曲線Fig.15 Voltage frequency curves of Z-shaped beam under different excitation directions

4 結(jié) 論

本文提出了一種Z型梁結(jié)構(gòu)壓電式振動能量采集器，通過理論分析計算了Z型梁折角變化對結(jié)構(gòu)固有頻率的影響規(guī)律，并采用有限元方法驗證了理論分析的準確性和壓電能量采集性能，分析結(jié)果表明：

(1)該Z型梁結(jié)構(gòu)可實現(xiàn)更多模態(tài)共振頻率下的有效能量采集。相較于同尺寸結(jié)構(gòu)壓電懸臂梁，設計折角0～90°的Z型梁結(jié)構(gòu)，控制頻率范圍在0～50 Hz，能夠?qū)崿F(xiàn)三個模態(tài)共振頻率下的穩(wěn)定電壓采集。

(2)該Z型梁結(jié)構(gòu)可實現(xiàn)較為寬頻的能量采集。在第二段梁厚度為1.2 mm，保持有效電壓采集在0.5 V以上時，工作頻帶可達17.4～36.3 Hz。

(3)該Z型梁結(jié)構(gòu)可實現(xiàn)不同激勵方向的有效能量采集。相較于相近尺寸的傳統(tǒng)壓電懸臂梁，設計折角為90°的Z型梁結(jié)構(gòu)對橫向激勵和縱向激勵均有較高的電壓響應。

(4)該Z型梁結(jié)構(gòu)具有較高電壓和功率的能量采集性能。在設計折角為90°、保持0.2g基座加速度作用下時，該結(jié)構(gòu)一階模態(tài)下的最優(yōu)電阻解約12 kΩ，功率可達0.52 mW。在基座加速度為0.8g時，一階模態(tài)下采集的電壓峰值可達14 V，輸出電功率可達7.89 mW，同時可保持二階模態(tài)采集的電壓峰值在10 V以上。

此外，在后續(xù)研究工作中將考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線性，理論分析幾何非線性引起的非線性問題。