單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)形狀確定研究

張佳毅，鄒貽權(quán)

(湖北工業(yè)大學(xué)土木建筑與環(huán)境學(xué)院，湖北 武漢 430068)

近年來(lái)隨著我國(guó)綜合國(guó)力的增強(qiáng)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，結(jié)構(gòu)理論分析方法和施工技術(shù)等得到長(zhǎng)足的進(jìn)步，由于我國(guó)體育事業(yè)的發(fā)展，各類輕質(zhì)、高強(qiáng)、大跨建筑隨之出現(xiàn)。因索結(jié)構(gòu)具有自重輕、節(jié)省材料、施工便捷能夠適應(yīng)多樣化的建筑造型等優(yōu)點(diǎn)引起了廣大設(shè)計(jì)人員的興趣，越來(lái)越多的應(yīng)用索結(jié)構(gòu)屋蓋的大型體育場(chǎng)館相繼出現(xiàn)[1]。但索結(jié)構(gòu)屬于柔性張拉結(jié)構(gòu)，必須施加一定的預(yù)應(yīng)力才能形成承受外部荷載所需的剛度和形狀[2]。因此確定索結(jié)構(gòu)零狀態(tài)、初始態(tài)、荷載態(tài)的幾何形狀是索結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的過(guò)程中需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題。索結(jié)構(gòu)其類型主要有：?jiǎn)螌铀飨怠㈦p層索系、索桁體系等結(jié)構(gòu)體系。其中單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)應(yīng)用得最晚，該結(jié)構(gòu)形式在賈比爾.艾哈邁德體育場(chǎng)才得到首次應(yīng)用。通過(guò)賈比爾.艾哈邁德體育場(chǎng)曾無(wú)法通過(guò)驗(yàn)收的現(xiàn)象可以從側(cè)面體現(xiàn)單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的相關(guān)理論方法與施工技術(shù)仍有所欠缺[3]。在單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的相關(guān)研究中，其更多的是研究改進(jìn)力學(xué)找形方法并利用有限元分析軟件加以實(shí)現(xiàn)。

在現(xiàn)有的找形方法用于索桿體系時(shí)常使用平衡矩陣?yán)碚揫4]，力密度方法[5]和動(dòng)力松弛方法[6]進(jìn)行計(jì)算時(shí)。這些方法的研究主要應(yīng)用于索膜結(jié)構(gòu)和索網(wǎng)結(jié)構(gòu)，針對(duì)單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的效率較低。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，越來(lái)越多的設(shè)計(jì)人員開(kāi)始使用參數(shù)化設(shè)計(jì)工具進(jìn)行設(shè)計(jì)。相比于傳統(tǒng)有限元分析軟件，RHINO和Grasshopper所提供的參數(shù)化平臺(tái)可以大大地提高設(shè)計(jì)建模和分析的效率，更易實(shí)現(xiàn)單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)形狀確定的找形方法[7]。

本文擬對(duì)單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)(圖1)的找形方法和原理進(jìn)行較為全面的闡述，并在參數(shù)化設(shè)計(jì)平臺(tái)RHINO和Grasshopper上結(jié)合算例證明方法的適用性。

圖 1 輪輻式單層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)軸測(cè)圖

1 單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)初始形態(tài)確定

對(duì)于索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的初始形狀的確定問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是在索網(wǎng)的幾何構(gòu)形中形成合適的預(yù)應(yīng)力分布使之成為一個(gè)自適應(yīng)平衡體系。單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)與索膜結(jié)構(gòu)及正交索網(wǎng)結(jié)構(gòu)不同，通常索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的初始形狀確定的問(wèn)題是在給定的邊界條件下進(jìn)行，尋找符合初始態(tài)平衡條件的幾何形狀和與之相對(duì)應(yīng)的預(yù)應(yīng)力分布[8]。

然而，對(duì)于單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)而言，其初始態(tài)幾何形狀具有一定的獨(dú)特性。在結(jié)構(gòu)的平面投影和外圈壓環(huán)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)確定的條件下，則可以確定唯一的內(nèi)環(huán)索節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定唯一的單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的空間幾何形狀。

因此單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)在已知支座節(jié)點(diǎn)X、Y、Z及內(nèi)環(huán)索節(jié)點(diǎn)X、Y坐標(biāo)的條件下，可合理利用該幾何特性，確定其初始狀態(tài)下的幾何位形。該幾何特性可被稱為“共點(diǎn)三索共平面”原理。

1.1 共點(diǎn)三索共平面確定原理

“共點(diǎn)三索共平面”原理主要利用的是拉索的節(jié)點(diǎn)平衡。對(duì)于兩根共節(jié)點(diǎn)的懸索，其索力大小均大于零時(shí)，索力可在一維空間平衡，形成一維的索結(jié)構(gòu)(圖2a)公式為：

F1+F2=0

(1)

對(duì)于三根共節(jié)點(diǎn)且不共線的懸索，其索力大小均大于零時(shí)，因“共節(jié)點(diǎn)的三根索共面”，索力可在二維平面上平衡，形成平面的索結(jié)構(gòu)(圖2b)，公式為：

(2)

對(duì)于共節(jié)點(diǎn)且不共面的懸索，其索力均大于零時(shí)，索力可在三維空間平衡，形成空間的索結(jié)構(gòu)(圖2c)，公式為：

圖 2 索結(jié)構(gòu)

(3)

1.2 單層輪輻式初始態(tài)幾何確定方法

針對(duì)本文的研究對(duì)象單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)(圖3)，其內(nèi)環(huán)索節(jié)點(diǎn)均連接兩根環(huán)索與一根徑向拉索，由“三索共面原理”可知，三根通過(guò)環(huán)索節(jié)點(diǎn)連接的索必定共面。例如，拉索A′B′、BB′、B′C′通過(guò)節(jié)點(diǎn)B′連接，當(dāng)拉索BB′、A′B′、B′C′保持張力時(shí)，線段BB′、A′B′、B′C′必然在同一平面上，即點(diǎn)A、A′、B′、C′四點(diǎn)共面。

圖 3 輪輻式單層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)示意圖

根據(jù)“共點(diǎn)三索共平面”原理，在確定平面投影尺寸的情況下通過(guò)外圈壓環(huán)的Z坐標(biāo)依次確定內(nèi)圈環(huán)索節(jié)點(diǎn)的Z坐標(biāo)，通過(guò)迭代循環(huán)的方式，最終確定索網(wǎng)的初始幾何位形。具體流程如下：

步驟1 確定初始己知量：

1)己知支座節(jié)點(diǎn)的X、Y、Z坐標(biāo)，即XA、YA、ZA、XB、YB、ZB……其中支座A為最高點(diǎn)，支座F為最低點(diǎn)，指定ZF為最低點(diǎn)，指定ZF=0；

2)給定內(nèi)圈環(huán)索節(jié)點(diǎn)的X、Y坐標(biāo)，即XA′、YA′、XB′、YB′……

步驟2 第一次幾何位形計(jì)算:

1)假定第一次迭代調(diào)整因子α1確定ZA′的數(shù)值，從而確定ZB′。

假定第一次迭代調(diào)整因子α1，其取值范圍為(0,1],α1通常取1。定義ZA′=α1ZA，可通過(guò)ZA得到ZA′。由于節(jié)點(diǎn)B′和節(jié)點(diǎn)G關(guān)于X軸′對(duì)稱(圖4a)，且節(jié)點(diǎn)A、A′、B′及G′共面，從而可以確定節(jié)點(diǎn)B′和節(jié)點(diǎn)G′的初始Z坐標(biāo)。

2)確定節(jié)點(diǎn)C′的初始Z坐標(biāo)ZC′。

通過(guò)步驟2-1可知節(jié)點(diǎn)A′、節(jié)點(diǎn)B及B′的Z坐標(biāo)(圖4b)，由于節(jié)點(diǎn)B、A′、B′及C′共面，從而可以確定節(jié)點(diǎn)C′的初始Z坐標(biāo)ZC′。

圖 4 步驟示意圖

3)重復(fù)上述操作，確定節(jié)點(diǎn)D′、節(jié)點(diǎn)E′及F′的Z坐標(biāo)，得到1/4結(jié)構(gòu)的所有節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。

4)驗(yàn)算節(jié)點(diǎn)F坐標(biāo)誤差

由于1/4結(jié)構(gòu)的所有節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)均可通過(guò)“共點(diǎn)三索共平面”原理確定，節(jié)點(diǎn)A到節(jié)點(diǎn)E分別在平面B′A′G′,C′B′A′,D′C′B′,E′D′C′及F′E′D′內(nèi)(圖4c)。在此條件下，需驗(yàn)證3)中節(jié)點(diǎn)F′坐標(biāo)誤差，以確定節(jié)點(diǎn)F′是否在平面E′F′M′內(nèi)。因節(jié)點(diǎn)E′、M′關(guān)于Y軸對(duì)稱，可知兩點(diǎn)Z坐標(biāo)相同，從而得到平面E′F′M′。

設(shè)L1為該次支座節(jié)點(diǎn)F至E′F′M′的距離，若點(diǎn)F位于平面E′F′M′上方，L取正值，進(jìn)入步驟3；若點(diǎn)F位于平面E′F′M′下方，L取負(fù)值，增大1)中α1取值，重復(fù)1)，直至L為正。

步驟3 第二次幾何位形計(jì)算:

假定第二次迭代調(diào)整因子α2，其取值范圍為(0,1],α2通常取0.05。定義ZA′=α2ZA，其余運(yùn)算步驟與步驟2中相同。

設(shè)L2為該次支座節(jié)點(diǎn)F至E′F′M′的距離，若點(diǎn)F位于平面E′F′M′上方，L2取正值，減小α2的取值，重復(fù)步驟3，直至L2為負(fù)；若點(diǎn)F位于平面E′F′M′下方，進(jìn)入步驟4。

步驟4 迭代確定點(diǎn)A′的Z坐標(biāo):

定義第(i+2)次的調(diào)整因子為α3=(α1+α2)/2.其余運(yùn)算步驟與步驟二中相同。設(shè)L3為該次支座節(jié)點(diǎn)F至E′F′M′的距離。

若L3小于誤差限制值[Um]，證明節(jié)點(diǎn)位于平面E′F′M′內(nèi)，滿足“共點(diǎn)三索共平面”原理，終止運(yùn)算；

若L3大于誤差限制值[Um]且L3大于零，則調(diào)整α1=α3，重復(fù)步驟4，直至L3小于限制值[Um]；

若L3大于誤差限制值[Um]且L3小于零，則調(diào)整α2=α3，重復(fù)步驟4，直至L3小于限制值[Um]；

步驟5 生成完整結(jié)構(gòu):

由上述操作可得1/4結(jié)構(gòu)的所有節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)邊界處的對(duì)稱條件生成完整的結(jié)構(gòu)模型。

1.3 四支座簡(jiǎn)化算例

本研究通過(guò)Grasshopper可視化編程實(shí)現(xiàn)迭代流程，針對(duì)簡(jiǎn)化的四支座簡(jiǎn)化算例進(jìn)行迭代結(jié)果的實(shí)現(xiàn)。并與理論解析的四支座簡(jiǎn)化算例的理論結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，證明該“單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)初始形態(tài)方法”的可行性。

本算例為四支座單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)，算例計(jì)算條件(圖5)。

圖 5 四支座簡(jiǎn)化算例示意圖

1.3.1算例理論解析該算例結(jié)構(gòu)關(guān)于XY軸對(duì)稱，可知ZA′=ZC′，ZB′=ZD′。

(4)

將節(jié)點(diǎn)A、A′坐標(biāo)代入式(4)中得直線AA′表達(dá)方程：

(5)

因直線B′D′與AA′共面，且直線B′D′與Y軸平行，將節(jié)點(diǎn)B′坐標(biāo)代入式(5)中，得B′點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式：

ZB′=2ZA′-2500

(6)

將節(jié)點(diǎn)B、B′坐標(biāo)代入式(4)中得直線BB′表達(dá)方程：

(7)

因直線B′B′與A′C′共面，且直線A′C′與X軸平行，將節(jié)點(diǎn)B′坐標(biāo)代入式(5)中，得A′點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式，同時(shí)聯(lián)立式(6)：

ZA′=1666.67

(8)

最終可得：

(9)

1.3.2初始態(tài)幾何確定方法實(shí)現(xiàn)算例本研究在grasshopper平臺(tái)中利用可視化編程的方式實(shí)現(xiàn)“單層輪輻式索網(wǎng)初始態(tài)幾何確定方法”對(duì)四支座算例進(jìn)行找形，在本算例中，取第一次迭代調(diào)整因子α1=1，第二次迭代調(diào)整因子α2=0.05，誤差限制值[Um]=0.05,迭代程序如圖6所示。

圖 6 迭代程序示意圖

經(jīng)過(guò)12次迭代，最終得到結(jié)果(圖7)：

圖 7 找形結(jié)果示意圖

(10)

“單層輪輻式索網(wǎng)初始態(tài)幾何確定方法”實(shí)現(xiàn)的四支座算例結(jié)果與理論解析計(jì)算結(jié)果可知，ZA′的誤差值為0.0079%，ZB′的誤差值為0.0045%，該誤差值結(jié)果證明“單層輪輻式索網(wǎng)初始態(tài)幾何確定方法”的可靠性，單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)初始態(tài)幾何可用該方法找形。

2 單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)零狀態(tài)形狀確定

單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)初始態(tài)幾何位形可由上節(jié)所述“單層輪輻式索網(wǎng)初始態(tài)幾何確定方法”進(jìn)行確定，因此單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)零狀態(tài)形狀確定的問(wèn)題屬于初始態(tài)幾何已知問(wèn)題。針對(duì)該類問(wèn)題目前較為適用的是逆迭代的方法。

2.1 逆迭代基本原理

逆迭代法最開(kāi)始是用在張弦梁結(jié)構(gòu)的幾何形狀確定的問(wèn)題上[9]，然后經(jīng)過(guò)發(fā)展推廣應(yīng)用在了索網(wǎng)結(jié)構(gòu)找形分析上。逆迭代是基于相似性原理的分析方法，其基本原理為：在給定預(yù)應(yīng)力的條件下，在一次迭代后將所得的節(jié)點(diǎn)位移反向作用在初始位形上，更新節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)行下一次迭代。隨著迭代次數(shù)的增加，在預(yù)應(yīng)力和自重的作用下結(jié)構(gòu)變形后的位形，該迭代時(shí)的幾何位形，可被認(rèn)定為零狀態(tài)幾何[10]。其迭代流程如下：

1)給定索結(jié)構(gòu)的初始態(tài)幾何X,定義結(jié)構(gòu)的零狀態(tài)幾何X0；

2)給定索的預(yù)張力P，初始態(tài)幾何X在索自重和預(yù)張力(通常不平衡)作用下結(jié)構(gòu)產(chǎn)生初始位移d1，結(jié)構(gòu)變形成為X1；

3)將位移d1反向作用于X得到初始迭代幾何XK=X-d1；

4)初始迭代幾何Xk在索自重和預(yù)張力作用下結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移dk，結(jié)構(gòu)變形成為Xk+1；

5)再次將變形dk反向作用于Xk得到迭代幾何Xk+2=Xk+1-dk；

6)判斷迭代幾何Xk+2初始幾何X的位移是否小于誤差極限值[Dm]，若小于誤差極限值[Dm]，迭代幾何Xk+2即為所求零狀態(tài)幾何X0；若大于誤差極限值[Dm]，則令k=k+2,重新進(jìn)入步驟4)。

2.2 零狀態(tài)四支座簡(jiǎn)化算例

本研究針對(duì)2.3節(jié)中簡(jiǎn)化的四支座簡(jiǎn)化算例(圖8)進(jìn)行相應(yīng)的零狀態(tài)找形的研究，通過(guò)grasshopper可視化編程實(shí)現(xiàn)2.1節(jié)所述迭代流程。該算例的彈性模量均為1.6×105N/mm2，拉索強(qiáng)度等級(jí)為1670 MPa，徑向索BB′設(shè)置主動(dòng)索力F=300 kN。

圖 8 零狀態(tài)四支座簡(jiǎn)化算例示意圖

2.2.1算例理論解析由“共節(jié)點(diǎn)三索共平面”原理可知，徑向索與兩根環(huán)索在相連節(jié)點(diǎn)處平衡，即：

(11)

由結(jié)構(gòu)關(guān)于XY對(duì)稱可知，F(xiàn)A′B′=FA′D′=FB′C′=FC′D′,代入得：

(12)

由FBB′=300 kN,代入式(12)得：

(13)

2.2.2逆迭代法算例實(shí)現(xiàn)根據(jù)2.1節(jié)中所述逆迭代流程，基于grasshopper參數(shù)化設(shè)計(jì)平臺(tái)及基于該平臺(tái)開(kāi)發(fā)的有限元分析插件karamba編制零狀態(tài)找形程序。因通過(guò)誤差極限值[Dm]判斷逆迭代找形是否成功，在已知預(yù)應(yīng)力分布的條件下，應(yīng)根據(jù)逆迭代求解零狀態(tài)幾何的預(yù)應(yīng)力與已知的預(yù)應(yīng)力進(jìn)行對(duì)比，判斷逆迭代法確定零狀態(tài)是否可行。在該算例中設(shè)置最大迭代次數(shù)為20次，誤差極限值[Dm]=1.0 mm。

表1 索力對(duì)比表

該算例迭代20次后，迭代結(jié)束，此時(shí)迭代幾何X22與初始幾何X對(duì)比。迭代結(jié)果通過(guò)對(duì)比可知，該算例理論索力與逆迭代索力的索力誤差值最大為2.04%，誤差在可接受的范圍內(nèi)。并且隨著誤差極限值[Dm]的減小和迭代次數(shù)的增加，計(jì)算結(jié)果將更為精確。

3 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)和零狀態(tài)找形方法進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，并通過(guò)參數(shù)化平臺(tái)RHINO和 Grasshopper結(jié)合簡(jiǎn)化算例對(duì)找形方法進(jìn)行驗(yàn)證。研究得出以下結(jié)論：

1)針對(duì)單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的初始狀態(tài)幾何應(yīng)根據(jù)單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的幾何特性進(jìn)行迭代處理進(jìn)行幾何位形確定；

2)逆迭代法可用于索桿體系的零狀態(tài)找形問(wèn)題，同樣適用于單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的零狀態(tài)找形問(wèn)題；

3)參數(shù)化平臺(tái)RHINO和Grasshopper結(jié)合基于該平臺(tái)的各類插件可實(shí)現(xiàn)單層輪輻式索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的找形方法。