巧建坐標(biāo)系 速解斜面上的拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

何仕乾

摘 要：斜面上的拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，初速度主要涉及兩個(gè)特殊方向，水平方向和與斜面垂直的方向.初速度與斜面垂直的問(wèn)題，選取不同的坐標(biāo)系，解答過(guò)程繁簡(jiǎn)差異極大.若結(jié)合各自的優(yōu)勢(shì)，則可高效解答此類(lèi)問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：斜面;拋體運(yùn)動(dòng);解法;優(yōu)化

中圖分類(lèi)號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）01-0118-03

拋體運(yùn)動(dòng)是曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的一種特殊情形，是研究曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和方法的例子.拋體運(yùn)動(dòng)，涉及運(yùn)動(dòng)的合成與分解.教材中重點(diǎn)學(xué)習(xí)了平拋運(yùn)動(dòng).平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法，一般將其分解為水平方向的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng).實(shí)際教學(xué)中，試圖通過(guò)平拋運(yùn)動(dòng)的重點(diǎn)學(xué)習(xí)，希望學(xué)生能“舉一反三”，能夠用類(lèi)似的規(guī)律和方法處理其它方向的拋體運(yùn)動(dòng).

斜面上的拋體運(yùn)動(dòng)，一般只涉及初速度方向水平的情形.拋出的物體若落在斜面上，用速度偏向角與位移偏向角的關(guān)系解答相關(guān)問(wèn)題，若落在水平面上，則按一般的平拋運(yùn)動(dòng)解答即可.筆者在教學(xué)中，經(jīng)常遇到學(xué)生探討初速度方向不水平的問(wèn)題.在指導(dǎo)學(xué)生解答相關(guān)問(wèn)題時(shí)，若學(xué)生建立不同方向的坐標(biāo)系，解答過(guò)程涉及的運(yùn)算量相差較大.如何優(yōu)化解法，提高效率，下面從一道典型習(xí)題說(shuō)起.

問(wèn)題 如圖1所示，在一傾斜角為θ，足夠長(zhǎng)的斜面上，垂直斜面向上以v0拋出一小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），不計(jì)空氣阻力，試求小球落在斜面上時(shí)的速度.

解法1 以?huà)伋鳇c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示坐標(biāo)系，相對(duì)x坐標(biāo)軸，小球做斜拋運(yùn)動(dòng).將小球的運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向兩個(gè)分運(yùn)動(dòng).即水平方向以vx=v0sinθ為初速度做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，豎直方向以vy=v0cosθ為初速度做豎直上拋運(yùn)動(dòng).

令歷時(shí)t小球落到斜面上P點(diǎn)，則

x=（v0sinθ）t，

y=-（v0cosθ）t+12gt2.

由于tanθ=yx

則有：t=v0cosθg

在p處，沿y方向的速度為vy=-v0cosθ+gt=v0（2cosθ-cosθ）

合速度為vp=v2x+v2y=（v0sinθ）2+v20（2cosθ-cosθ）2=v01+4tan2θ

與水平方向的夾角為β，則

tanβ=vyvx

=v0（2cosθ-cosθ）v0sinθ

=1+sin2θsinθcosθ.

解法2 如解法1，仍以?huà)伋鳇c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示坐標(biāo)系，由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，小球落在P點(diǎn)，即在xoy坐標(biāo)系中，斜面所在的直線(xiàn)與小球軌跡形成的拋物線(xiàn)交于P點(diǎn).

斜面所在直線(xiàn)方程為y=xtanθ①

拋物線(xiàn)的方程，由豎直上拋運(yùn)動(dòng)可知，頂點(diǎn)O′的

縱坐標(biāo)為y′=-（v0cosθ）22g，

上升到O′的時(shí)間為t′=v0cosθg，頂點(diǎn)O′橫坐標(biāo)為x′=（v0sinθ）×v0cosθg=v20sinθcosθg.

當(dāng)在O′點(diǎn)以水平速度vO′平拋小球時(shí)，其拋物線(xiàn)方程為y′=g2v2O′（x′）2.

綜上，可列出小球運(yùn)動(dòng)軌跡拋物線(xiàn)方程為

y=g2（v0sinθ）2（x-v20cosθsinθg）2-（v0cosθ）22g ②

聯(lián)立①②可得x2-2v20tanθgx=0

解得：x=0（初始拋出點(diǎn)舍去），

x=2v20tanθg.

從O點(diǎn)到P點(diǎn)，水平方向勻速運(yùn)動(dòng)，令歷時(shí)為t，則

t=xvx=2v0gcosθ

在p處，沿y方向的速度為

vy=-v0cosθ+gt=v0（2cosθ-cosθ）

合速度為vp=v2x+v2y=v01+4tan2θ

與水平方向的夾角為β，則

tanβ=1+sin2θsinθcosθ

解法3 沿斜面方向和垂直斜面方向，建立如圖3所示坐標(biāo)系，則小球的運(yùn)動(dòng)可看作兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)：

沿x方向的初速度為v0，加速度大小為ax=gcosθ的勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，沿y方向初速度為0，加速度大小為ay=gsinθ的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).

小球從拋出到落在斜面上的時(shí)間，可由x方向的運(yùn)動(dòng)求出.在x方向上，相對(duì)于斜面，類(lèi)似豎直上拋運(yùn)動(dòng)，小球離開(kāi)斜面減速至0，又反向加速回到斜面的時(shí)間相等，即有t=2×v0gcosθ=2v0gcosθ.回到斜面p點(diǎn)時(shí)，沿x負(fù)方向的速度大小為vx=v0.

打在p點(diǎn)時(shí)，沿y方向的速度即為

vy=ayt=（gsinθ）×2v0gcosθ=2v0tanθ

p點(diǎn)速度大小為：

vp=v2x+v2y=v20+（2v0tanθ）2=v01+4tan2θ

令vp與y軸的夾角為α，則tanα=vxvy=12tanθ

與水平方向的夾角為β，則β=α+θ.

tanβ=tan（α+θ）=sin（α+θ）cos（α+θ）

由tanα=12tanθ

不難得到sinα=11+4tan2θ和cosα=2tanθ1+4tan2θ

則有tanβ=1+sin2θsinθcosθ.

總結(jié) 此例中，由于初速度方向與重力加速度方向夾角不特殊，需要對(duì)涉及的兩個(gè)矢量進(jìn)行分解.分解不同矢量，在解答過(guò)程中涉及的運(yùn)算量相差很大，對(duì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決物理問(wèn)題的要求較高.拋體運(yùn)動(dòng)相關(guān)知識(shí)是高一教學(xué)內(nèi)容，對(duì)于高一學(xué)生，此例中涉及的數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)他們而言有難度，解法1將豎直方向的分運(yùn)動(dòng)整體考慮，實(shí)際教學(xué)中學(xué)生也不易掌握，他們更愿意將豎直上升過(guò)程和自由下落過(guò)程分段處理，這些需要在學(xué)生處理過(guò)程中進(jìn)行引導(dǎo)和點(diǎn)撥.

比較以上解法，關(guān)鍵在求解小球離開(kāi)斜面的時(shí)間（空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間），解法3選擇斜面為參考面，分解重力加速度無(wú)疑是快、準(zhǔn)、穩(wěn).求得時(shí)間后，在確定P點(diǎn)速度大小和方向時(shí)，解法1優(yōu)勢(shì)明顯.解法2對(duì)于數(shù)學(xué)能力較強(qiáng)的學(xué)生可嘗試，“技多不壓身”，多一種方法，多一分能力.

本例初速度方向與斜面垂直，雖然情形仍然特殊，但對(duì)于高中階段的學(xué)習(xí)，已屬于較高要求.當(dāng)初速度方向與斜面夾角不是特殊的垂直關(guān)系時(shí)，由上述兩種解法可知，仍然可由解法3求空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，由解法1確定落點(diǎn)處的水平方向和豎直方向分速度，從而求得落點(diǎn)處合速度的大小和方向.

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（物理必修2）[M].北京：人民教育出版社，2004（5）.

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