黎曼流形上三個(gè)微分算子各自在共形度量下的關(guān)系式

田大平，汪 敏

（江漢大學(xué) 人工智能學(xué)院，湖北 武漢 430056）

0 引言

散度算子、梯度算子和Laplace算子不僅是黎曼幾何中非常重要的三個(gè)微分算子，而且在數(shù)學(xué)的許多其他分支學(xué)科中也扮演著舉足輕重的角色。散度算子是作用在黎曼流形上的光滑切向量場上的線性映射，它將黎曼流形上的光滑切向量場映射成光滑函數(shù)。梯度算子是作用在黎曼流形上的光滑函數(shù)場上的一階線性微分算子，它將黎曼流形上的光滑函數(shù)映射成光滑切向量場。將梯度算子與散度算子復(fù)合起來，便得到一個(gè)新的線性映射，即Laplace算子。在黎曼流形上，Laplace算子就是將散度算子作用于梯度算子的一個(gè)二階橢圓微分算子［1-2］。因此，黎曼流形上的Laplace算子作用在光滑函數(shù)場上，將黎曼流形上的光滑函數(shù)映射成光滑函數(shù)。

對于散度算子和梯度算子在各類問題中的研究與運(yùn)用已有許多結(jié)論，如文獻(xiàn)［3］研究了一個(gè)包含散度算子的Dirichlet問題；文獻(xiàn)［4］研究了基于散度算子和非線性分類器的紅外小目標(biāo)檢測問題；文獻(xiàn)［5］研究了具有非球相互作用鄰域的非局部梯度算子及其應(yīng)用；文獻(xiàn)［6］研究了采用改良的Gabor濾波器、梯度算子和形態(tài)學(xué)分割工具來檢測肺癌的問題；文獻(xiàn)［7］研究了交互作用Fock空間上的梯度算子和散度算子。涉及Laplace算子的研究與應(yīng)用同樣也有非常豐富的成果，如文獻(xiàn)［8］研究了Laplace算子在歐氏空間中的球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系下的表達(dá)式；文獻(xiàn)［9］研究了球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系下作用于矢量函數(shù)的Laplace算子；文獻(xiàn)［10］研究了Laplace算子在正交標(biāo)架叢上的應(yīng)用；文獻(xiàn)［11］研究了Laplace算子在Yamabe流上的特征值的單調(diào)性應(yīng)用。除了在數(shù)學(xué)的各分支學(xué)科上的應(yīng)用外，在計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科中都會涉及到Laplace算子的應(yīng)用，如文獻(xiàn)［12］研究了Laplace算子基于原子體積場對金屬玻璃剪切轉(zhuǎn)變區(qū)的預(yù)測。對于黎曼流形上的微分算子在共形的黎曼度量下關(guān)系式的研究，文獻(xiàn)［13］借助共形的黎曼度量的Christoffel記號的關(guān)系式，已經(jīng)推導(dǎo)出了黎曼流形上的光滑函數(shù)的Hessian在共形的黎曼度量下的關(guān)系式。

本文從黎曼幾何的角度出發(fā)，運(yùn)用黎曼流形上的散度算子、梯度算子、Laplace算子以及共形的黎曼度量的定義，通過計(jì)算，直接推導(dǎo)出這三個(gè)微分算子各自在共形的黎曼度量下的關(guān)系式。雖然文獻(xiàn)［1］已經(jīng)以習(xí)題的形式給出了黎曼流形上的Laplace算子在共形的黎曼度量下的關(guān)系式，并且引導(dǎo)讀者利用共形的黎曼度量的Christoffel記號的關(guān)系式來證明這個(gè)關(guān)系式，這與本文定理3的部分結(jié)論一致，但是本文定理3的證明不借助共形黎曼度量的Christoffel記號的關(guān)系式，而是直接運(yùn)用黎曼流形上的Laplace算子和共形的黎曼度量的定義來通過計(jì)算進(jìn)行證明。

1 預(yù)備知識

設(shè)M是m維光滑流形，g和g?是M上的兩個(gè)黎曼度量。記g ij和?ij分別為度量矩陣(gij)m×m和的逆矩陣中對應(yīng)位置的元素。C∞(M)表示M上的全體光滑函數(shù)的集合。記?(M)為M上的全體光滑切向量場（即C∞切向量場）的集合。對于任意的非負(fù)整數(shù)r和s，M上全體光滑的(r,s)型張量場構(gòu)成的集合記作(M)。特別地，有

定義1［1］設(shè)M是m維光滑流形，稱M上的一個(gè)光滑的一階協(xié)變張量場為M上的一個(gè)1次微分式。

我們將光滑流形M上的全體1次微分式所組成的集合記作A1(M)，即

定義2［2］設(shè)M是m維光滑流形，稱M上的一個(gè)光滑的反對稱r階協(xié)變張量場為M上的一個(gè)r次外微分式。

我們將M上的全體r次外微分式的集合記作A r(M)。根據(jù)定義，外微分式具有反對稱性質(zhì)，因此，當(dāng)外微分式的次數(shù)r＞m=dimM時(shí)，此外微分式必為零。為簡便起見，我們特別規(guī)定：M上的0次外微分式就是M上的光滑函數(shù)；M上的1次外微分式就是M上的1次微分式，也即為光滑的一階協(xié)變張量場，即有

進(jìn)一步地，令

從而，我們可以在A(M)上定義外微分運(yùn)算。

引理1［1］設(shè)M是m維光滑流形，則在M上存在唯一的一個(gè)映射，即

使得對于任意的非負(fù)整數(shù)r，有d(A r(M))?A r+1(M),并且滿足以下條件：

1）d是線性的，即對于任意的φ,ψ∈A(M),k∈R，有

2）?φ=A r(M),ψ∈A(M),有

3）?f∈A0(M)=C∞(M),df是f的微分；

4）d2=d°d=0。

我們將這樣的映射d稱為外微分（算子）。

引理2［1］設(shè)(M,g)是m維黎曼流形，則在M上存在唯一的一個(gè)與黎曼度量g相容的無撓聯(lián)絡(luò)D，稱為(M,g)的黎曼聯(lián)絡(luò)或Levi-Civita聯(lián)絡(luò)。

為了借助黎曼聯(lián)絡(luò)D在M上引入相關(guān)微分算子，我們現(xiàn)在假設(shè)(M,g)是m維有向黎曼流形。對于任意的X∈?(M)，于是DX是M上的光滑的（1，1）型張量場。將DX進(jìn)行縮并運(yùn)算，便可以得到M上的一個(gè)光滑函數(shù)，稱其為光滑切向量場X的散度，并記為divX，也就是說，divX=其中符號表示對一個(gè)張量場關(guān)于第一個(gè)反協(xié)變指標(biāo)和第一個(gè)協(xié)變指標(biāo)進(jìn)行縮并運(yùn)算。顯然，div作為從?(M)到C∞(M)的一個(gè)映射是線性的。

定義3［1］設(shè)X∈?(M)，稱由X→divX所確定的線性映射div:?(M)→C∞(M)為黎曼流形(M,g)上的散度算子，并且稱divX為切向量場X的散度。

為了求得散度算子的局部坐標(biāo)表達(dá)式，假設(shè)(U;x i)是M的一個(gè)局部坐標(biāo)系，并令則有

其中G=det(gij)。

設(shè)f∈C∞(M)，則借助黎曼度量g，可知df對應(yīng)于M上的一個(gè)光滑切向量場，記作?f，使得對于任意的X∈?(M)，有

我們稱切向量場?f為光滑函數(shù)f在黎曼度量g下的梯度場。

定義4［1］稱線性微分算子?:C∞(M)→?(M)為黎曼流形(M,g)上的梯度算子。

在M的局部坐標(biāo)系(U;x i)下，設(shè)f∈C∞(M)，則有

我們將散度算子div作用于光滑函數(shù)f的梯度場?f，便可得到一個(gè)從C∞(M)到C∞(M)的新的線性映射，記作

這是黎曼流形上的一個(gè)非常重要的微分算子。即對于任意的f∈C∞(M)，有

定義5［1］設(shè)(M,g)為黎曼流形，稱線性映射Δ:C∞(M)→C∞(M)為M上關(guān)于度量g的Laplace算子。

在M的局部坐標(biāo)系(U;x i)下，由式（1）與式（2）可得Laplace算子的局部坐標(biāo)表達(dá)式為

定義6［1］設(shè)M是m維光滑流形，g和g?是M上的兩個(gè)黎曼度量。如果存在光滑的正函數(shù)λ∈C∞(M)，使得g?=λ2g，則稱g和g?互為共形的黎曼度量，簡稱為共形度量。

2 定理及證明

本節(jié)將給出本文的主要定理，即黎曼流形M上的散度算子、梯度算子和Laplace算子各自在兩個(gè)互為共形的黎曼度量下的關(guān)系式。并且根據(jù)這三個(gè)微分算子和共形度量的定義，通過計(jì)算完成對定理的證明。

為簡便起見，下文中分別在每個(gè)微分算子的右下標(biāo)位置加上符號g和g?來表示黎曼流形M在相應(yīng)的黎曼度量下的微分算子。

首先，給出黎曼流形M上的散度算子div在共形度量下的關(guān)系式，即有下面的定理。

定理1設(shè)M是m維黎曼流形，g和g?是M上的兩個(gè)共形度量。則對于任意的X∈?(M)，在M的局部坐標(biāo)系(U;x i)下，X在(M,g)上的散度和在(M,g?)上的散度滿足如下的關(guān)系式：

特別地，若λ=ep,p∈C∞(M),則式（4）成為

證明在M的局部坐標(biāo)系(U;x i)下，由式（1）得

定理1得證。

其次，我們給出黎曼流形M上的梯度算子?在共形度量下的關(guān)系式，即有下面的定理。

定理2設(shè)M是m維光滑流形，g和g?是M上的兩個(gè)共形度量。則對于任意的f∈C∞(M)，在M的局部坐標(biāo)系(U;x i)下，f在(M,g)上的梯度和在(M,g?)上的梯度滿足如下的關(guān)系式：

特別地，若λ=ep,p∈C∞(M),則式（5）成為

證明在M的局部坐標(biāo)系(U;x i)下，由式（2）得

顯然，若λ=ep,p∈C∞(M),則式（5）成為

定理2得證。

最后，給出黎曼流形M上的Laplace算子Δ在共形度量下的關(guān)系式，即有下面的定理。

定理3設(shè)M是m維光滑流形，g和g?是M上的兩個(gè)共形度量，Δg和Δg?分別是M上關(guān)于度量g和g?的Laplace算子。則對于任意的f∈C∞(M),Δg f與Δg?f滿足如下的關(guān)系式：

特別地，若λ=ep,p∈C∞(M),則式（6）成為

證明在M的局部坐標(biāo)系(U;x i)下，由式（3）得

顯然，若λ=ep,p∈C∞(M),則式（6）成為

定理3得證。