幾何直觀視域下的試題研究
——以2021年全國新高考Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題的探究為例

陳 亮 (江蘇省華羅庚中學(xué) 213200)

直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)．幾何直觀能力是數(shù)學(xué)能力的重要組成部分,是數(shù)學(xué)思維能力在解決數(shù)學(xué)問題中的主要體現(xiàn)．借助幾何直觀，能夠使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題得以簡化，有助于人們探索新思路、新方法，能夠幫助人們從本質(zhì)上理解和認(rèn)識數(shù)學(xué).本文以2021年全國新高考Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題的探究為例，談?wù)剮缀沃庇^在代數(shù)推理和解決數(shù)學(xué)問題中的作用以及教學(xué)中的啟示．

1 試題再現(xiàn)

(2021年新高考Ⅰ卷22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(解題過程略)

2 解題分析

2.1 基于對稱的函數(shù)構(gòu)造

由視角①容易想到消元，然而問題的難點是：如何打通f(x1)=f(x2)與22，只需證明x2>2-x1，由于x2,2-x1∈(1,+∞)，函數(shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f(x2)

圖1

實際上，函數(shù)f(2-x)與f(x)，f(e-x)與f(x)均相互對稱．如 圖1，作出函數(shù)f(2-x),f(e-x)的圖象可以發(fā)現(xiàn)，f(2-x)f(x)對x∈(e-1,e)恒成立，且當(dāng)x=e時，f(e-x)沒有定義，其極限為0，與f(e)相等，這就是本題最大的難點．借助函數(shù)圖象可以更為直觀地看清上述解法的邏輯主線，如果能在解題前畫出此圖象，那么按照幾何直觀的指引，代數(shù)推理的方向?qū)鼮槊鞔_，對題目與方法的理解必有很大幫助．幾何解釋為代數(shù)推理指明了方向，使得抽象的代數(shù)推理更形象直觀，內(nèi)涵更豐富，代數(shù)推理是幾何直觀的形式化、符號化，長期堅持必能提高學(xué)生數(shù)學(xué)符號語言與圖形語言的表達(dá)和轉(zhuǎn)換能力．

2.2 基于不等式放縮

函數(shù)構(gòu)造的思路簡潔、自然，是導(dǎo)數(shù)綜合問題的基本思想，體現(xiàn)高考對基本知識、方法的考查．核心素養(yǎng)下的教學(xué)觀并非空中樓閣，“四基”“四能”是核心素養(yǎng)的根基．不等式放縮的本質(zhì)是以多項式函數(shù)(尤其是一次、二次函數(shù))代替超越函數(shù)，借助多項式函數(shù)與超越函數(shù)局部具有相同性態(tài)的特點，化“超越”為“平凡”，是高等數(shù)學(xué)中的基本思想，體現(xiàn)了高考的選拔功能．

2.3 基于幾何直觀的思路探求

進(jìn)一步從幾何直觀的角度分析x1+x2

圖2

本題設(shè)計的另一個巧妙之處是直線y=e-x恰好是函數(shù)f(x)在x=e處的切線，由f(x)為上凸函數(shù)可以直觀判斷f(x)

3 溯源引流，挖掘本質(zhì)

本題的背景是函數(shù)極值點偏移，隨著直線y=k從上往下(k值從1到0減少)，x1越來越小，x2越來越大，由函數(shù)f(x)極值點“左偏”，使得x1的減少量比x2的增加量小，所以x1+x2越來越大．當(dāng)k=1時，視x1,x2為兩個等根，可得x1+x2=2．當(dāng)k=0時，根據(jù)函數(shù)f(x)在x=0處的極限值可以補(bǔ)定義f(0)=0，這樣就有x1+x2=e，x1+x2的取值范圍是(2,e)，上確界本質(zhì)是由函數(shù)的極限決定的．我們可以得到以下更為一般的結(jié)論：

結(jié)論1 已知函數(shù)f(x)=x(a-lnx)，x1,x2滿足x1≠x2且f(x1)=f(x2)，則2ea-1

4 研題反思

學(xué)生形成和使用幾何直觀時有水平和層次的差異，最初是建立和形成敏捷、準(zhǔn)確的幾何直覺，感覺與圖形相隨；之后是實施和進(jìn)行深入靈活的幾何探索，視覺與思維共行；最終使幾何直觀成為分析、解決問題的有效工具，抽象與形象互輔[1]．幾何直觀能力的形成不是一朝一夕的，需要教師在教學(xué)設(shè)計中逐步滲透，要將幾何直觀融入課程設(shè)計中．

4.1 幾何直觀是問題發(fā)現(xiàn)的有利工具

數(shù)學(xué)新知的獲取、問題的解決過程可以概括為：大膽猜測，小心論證．借助幾何直觀進(jìn)行思考，已經(jīng)成為一種重要的研究策略，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中起著不可替代的作用[2]．教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生善于對問題進(jìn)行幾何表征，從幾何關(guān)系出發(fā)，借助幾何直覺大膽地猜想，比如“認(rèn)為直線y=e-x可能是切線”“隨著直線y=k從上往下，x1+x2越來越大”，這些都是從幾何直觀出發(fā)的大膽猜測．借助幾何模型與幾何關(guān)系進(jìn)行幾何推理，以幾何結(jié)論為目標(biāo)進(jìn)行代數(shù)推理，比如當(dāng)我們從圖形關(guān)系得到了f(x1)>x1和f(x)

4.2 幾何直觀能力的提升需要幾何活動經(jīng)驗的積累

幾何活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗之一，是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一，擁有豐富的幾何活動經(jīng)驗的人，他的幾何直觀能力可能達(dá)到更高的水平．比如將“躺”在x軸上的線段站起來就是幾何活動經(jīng)驗，這在利用三角函數(shù)線作三角函數(shù)圖象的活動中有過；從“x1+x2>2”的構(gòu)造對稱函數(shù)到“x1+x2

在多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來的，而不是“證”出來的，所謂的“看”是一種直覺判斷，這種直覺判斷是建立在長期的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗之上的.幾何直觀能力的形成需要幾何活動經(jīng)驗的積累，需要在教學(xué)中有目的地設(shè)計教學(xué)情境、問題鏈、學(xué)生活動等，幫助學(xué)生概括、提煉進(jìn)而形成幾何活動經(jīng)驗，并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會利用經(jīng)驗指導(dǎo)自己解決問題、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．

4.3 幾何直觀與邏輯推理共同推動對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解

康德說：“缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的．”數(shù)學(xué)抽象概念發(fā)展的“直觀—形式—直觀”模式，是一般科學(xué)概念發(fā)展的“具體—抽象—具體”模式的特殊表現(xiàn)形式[3]，幾何直觀與代數(shù)推理深刻反映了數(shù)學(xué)活動的基本矛盾，代數(shù)推理通過形式化而實現(xiàn)精確性，又因為形式化而減弱客觀性，幾何直觀具有原始的創(chuàng)造性，但又需要代數(shù)推理保證它的嚴(yán)謹(jǐn)性．代數(shù)推理具有高度抽象性，有必要再以相對直觀的形式對其進(jìn)行重構(gòu)和深化，從而達(dá)到思維直觀化的理想目標(biāo)和可應(yīng)用性要求，使得數(shù)學(xué)達(dá)到直觀與形式的統(tǒng)一，以使數(shù)學(xué)更完美[3]．