以真情實(shí)景、客觀存在為本落實(shí)數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)
——由正確答案不能得分引發(fā)的思考

張?zhí)N祿 霍秋萍 (山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)東校 250109)

要問(wèn)當(dāng)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)最流行的話題是什么，我們幾乎會(huì)異口同聲地說(shuō)：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．”高中數(shù)學(xué)課堂刮起了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的東風(fēng)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，新高考也將從能力立意轉(zhuǎn)到素養(yǎng)導(dǎo)向．整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的方方面面仿佛都沉浸在核心素養(yǎng)的海洋之中，教師備課、上課、聽(tīng)課、評(píng)課、做課題研究、寫(xiě)文章等每一個(gè)環(huán)節(jié)只要少了“核心素養(yǎng)”就好像已經(jīng)落伍了．然而在一次考試中有兩個(gè)題目，學(xué)生的解答與現(xiàn)實(shí)生活實(shí)際完全吻合，只是由于與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)提供的“標(biāo)準(zhǔn)答案”不同而不能得分，這引發(fā)了筆者的關(guān)注和思考．很多根深蒂固的習(xí)慣性做法使數(shù)學(xué)應(yīng)用變得舉步維艱，甚至背離了方向．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要真正落地生根，甚至開(kāi)花結(jié)果，我們?nèi)沃囟肋h(yuǎn)．

1 沒(méi)有得分的正確答案

例1有4張卡片，正反兩面上分別標(biāo)有1和2，3和4，5和6，7和8.選其中3張并排在一起組成三位數(shù)，不同的三位數(shù)有多少個(gè)？

例1是某次考試中的一個(gè)題目，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)提供的標(biāo)準(zhǔn)答案為下面的解法1．

解法1 完成這件事共分3個(gè)步驟：第一步，選擇一個(gè)數(shù)放在首位上，有8種不同的選擇；第二步，再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)數(shù)中選一個(gè)數(shù)放在第二位上，有6種選擇；第三步，再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)數(shù)中選一個(gè)數(shù)放在第三位上，共有2種選擇．于是可構(gòu)成8×6×4=192個(gè)不同的三位數(shù)．

閱卷時(shí)發(fā)現(xiàn)，個(gè)別學(xué)生解答時(shí)用的是下面的解法2．

解法2 阿拉伯?dāng)?shù)字“6”倒過(guò)來(lái)可作“9”用．若不用卡片“5,6”，有6×4×2=48種.若用卡片“5,6”，這張卡片可提供5,6,9三個(gè)數(shù)字共3種情況，然后再選擇一個(gè)位置放好共3種情況；還剩下2個(gè)位置、3張卡片，有6×4=24種.于是一共可組成不同的三位數(shù)有48+3×3×24=264個(gè)．

筆者認(rèn)為解法2符合客觀存在，應(yīng)該得全分，課堂教學(xué)時(shí)也是這樣處理的．可結(jié)果是由于解法2與標(biāo)準(zhǔn)答案不同而不能得分．無(wú)論筆者如何“申辯”，還是不能得到閱卷組長(zhǎng)的認(rèn)同．其理由是題目中沒(méi)有注明“6”可作“9”用．考試以后學(xué)生紛紛質(zhì)疑筆者，為什么不能得分、到底什么情況下“6”可作“9”用．筆者無(wú)奈，只能極不情愿地告訴學(xué)生，只有在題目有說(shuō)明的情況下“6”方可作“9”用并能得分．同樣的問(wèn)題還發(fā)生在下面的例2．

例2對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品一一進(jìn)行測(cè)試，直到區(qū)分出所有的次品為止，若所有次品恰好到第6次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能？

例2也是該次考試中的一個(gè)題目，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)提供的標(biāo)準(zhǔn)答案為下面的解法1．

與例1類似，閱卷時(shí)有個(gè)別學(xué)生解答時(shí)用的是下面的解法2．

例2是各類教輔資料和網(wǎng)絡(luò)上的一個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題，所提供的解法也多為解法1．與例1類似，解法2也是由于與標(biāo)準(zhǔn)答案不同而不能得分．這次閱卷組長(zhǎng)拿出了一本教輔資料上的一道例題及其解法作為依據(jù)．

例3某產(chǎn)品有3只次品，7只正品，每次取出1只測(cè)試，取后不放回．求：

(1) 3只次品恰好到第5次全部被測(cè)出的概率；

(2) 3只次品恰好到第k次全部被測(cè)出的概率P(k)的最大值與最小值．

(3≤k≤10)．

筆者認(rèn)為例3的解法1是不妥當(dāng)?shù)?，若?次發(fā)現(xiàn)第3件次品，或者前7次發(fā)現(xiàn)的全部是正品(剩下的3只就是3件次品)，都應(yīng)該叫3只次品恰好到第7次全部被測(cè)出；第8次發(fā)現(xiàn)第3只次品，或者說(shuō)前8次中有一件次品，都屬于3只次品恰好到第8次全部被測(cè)出；第9次發(fā)現(xiàn)第3只次品，或者說(shuō)前9次中有2件次品，都屬于3只次品恰好到第9次全部被測(cè)出；k的取值范圍應(yīng)為3≤k≤9．例3第(2)問(wèn)的正確解法應(yīng)為下面的解法2．

但無(wú)論筆者如何解釋，閱卷組長(zhǎng)還是沒(méi)有同意，并且許多閱卷教師也提出了反對(duì)意見(jiàn)，甚至有部分教師認(rèn)為包括例1在內(nèi)筆者是在“強(qiáng)詞奪理、鉆牛角尖”．最終結(jié)果是例2采用解法2的學(xué)生被判零分．筆者認(rèn)為例1、例2的解法2與現(xiàn)實(shí)生活實(shí)際完全吻合，在現(xiàn)實(shí)世界中也是“真實(shí)存在”的．這種正確解法不能得分使筆者陷入極端的困惑之中，并由此聯(lián)想到了中國(guó)足協(xié)由于考慮不周而引發(fā)的幾起“鬧劇”．

2 中國(guó)足球史上的幾起“鬧劇”

許多球迷朋友知道，中國(guó)足協(xié)經(jīng)常制定出漏洞百出、令人啼笑皆非的規(guī)則和政策．這些規(guī)則和政策使得各種“鬧劇”時(shí)有發(fā)生，諸如“6,9風(fēng)波”“洗牌門”“輸球進(jìn)中超”等．

1999年中乙決賽遭遇了排名難題，中國(guó)足協(xié)不得不從小組比賽并列第二名的毅騰連鐵和綿陽(yáng)豐谷中通過(guò)抽簽決定其中一支隊(duì)伍晉級(jí)八強(qiáng)．當(dāng)時(shí)郎效農(nóng)主任的具體做法是讓兩隊(duì)代表分選“單”“雙”，然后各從0至9的數(shù)字中抽出一數(shù)相加，如果和是單數(shù)，那么選“單”者獲勝，如果和是雙數(shù)，選“雙”者獲勝．結(jié)果在抽簽當(dāng)場(chǎng)選擇單數(shù)的毅騰教練王軍將紙條交給郎效農(nóng)后，郎效農(nóng)當(dāng)場(chǎng)詢問(wèn)王軍數(shù)字，王軍答曰“9”．由于此時(shí)綿陽(yáng)隊(duì)總經(jīng)理李海生目睹了整個(gè)問(wèn)答過(guò)程，隨即答道：“綿陽(yáng)隊(duì)也是9．”正是依靠這個(gè)似是而非的9(也可能是6)綿陽(yáng)隊(duì)晉級(jí)．事后毅騰連鐵向足協(xié)提出了申訴，一時(shí)間兩個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字“6”和“9”搞得足協(xié)焦頭爛額．

2003年末代甲A，中國(guó)足協(xié)定下一個(gè)特殊的沖超規(guī)則，即捆綁式中超資格積分公式：中超資格積分=2002年的排名×0.5+2003年的排名．這個(gè)看似理想的計(jì)算方法，卻差一點(diǎn)使“輸球進(jìn)中超”成為現(xiàn)實(shí)．因?yàn)榘凑者@一特殊規(guī)則，最后一輪重慶隊(duì)只有輸給青島隊(duì)(無(wú)論輸贏，重慶隊(duì)都是2003年的倒數(shù)第二名)，在天津隊(duì)輸球的前提下就會(huì)通過(guò)提高青島隊(duì)的名次而擠掉天津隊(duì)，重慶隊(duì)若是贏球則徹底失去沖超希望．于是出現(xiàn)了震驚中國(guó)足壇、在世界足壇也是極為罕見(jiàn)的“輸球保級(jí)戰(zhàn)”鬧?。疫\(yùn)的是最后一輪天津隊(duì)贏了球保住了進(jìn)入中超的資格，才避免了貽笑大方的結(jié)局發(fā)生．

2008年中國(guó)足協(xié)針對(duì)武漢光谷的退出制定了一個(gè)有巨大漏洞的規(guī)則：所有比賽都判武漢0∶3輸，但這些比賽都算正常比賽．上海申花隊(duì)很好地利用了這一規(guī)則漏洞，在與山東魯能隊(duì)的比賽中(下一輪申花要對(duì)陣已退出的武漢光谷，只要湊夠4張黃牌，就可以在不用比賽的情況下消掉身上的黃牌)申花隊(duì)一共主動(dòng)申請(qǐng)到10張黃牌和1張紅牌．這就是震驚中國(guó)足壇的申花隊(duì)“洗牌門”事件．

事實(shí)上，中國(guó)足壇的每一起鬧劇都是由中國(guó)足協(xié)考慮不周全、不細(xì)致、主觀臆斷，忽視了某些“客觀存在”造成的．如果制定規(guī)則時(shí)把各種“客觀存在”考慮得再縝密周全一些，類似鬧劇是完全可以避免的．

3 由正確答案不能得分引發(fā)的思考

3.1 不要讓歷史的鬧劇重演

筆者為何花費(fèi)如此多的篇幅介紹中國(guó)足協(xié)由于考慮不周而犯的低級(jí)失誤，一個(gè)重要原因就是這些鬧劇的發(fā)生難道與我們的學(xué)校教育沒(méi)有關(guān)系嗎？另一個(gè)原因是難道我們還要讓類似的鬧劇再度上演嗎？誠(chéng)然，如果例2中提示“6可作9用”，許多學(xué)生就會(huì)考慮到這一點(diǎn)．同樣的道理，如果當(dāng)時(shí)有人給郎效農(nóng)主任注明“6可作9用”，那郎主任還會(huì)犯如此低級(jí)的錯(cuò)誤嗎？如果題目中沒(méi)有注明，學(xué)生卻想到了，那才是難能可貴的．筆者相信這樣的學(xué)生將來(lái)走向社會(huì)是不會(huì)犯“足協(xié)式錯(cuò)誤”的，即便是抽阿拉伯?dāng)?shù)字也會(huì)把6與9單獨(dú)作一下標(biāo)記以示區(qū)別．現(xiàn)實(shí)生活中存款、貸款、打借條等我們習(xí)慣于用中國(guó)大寫(xiě)數(shù)字而非阿拉伯?dāng)?shù)字，一個(gè)主要原因就是阿拉伯?dāng)?shù)字容易被涂改．

筆者認(rèn)為，例1的解法1是一個(gè)正常思維結(jié)果，答案是對(duì)的，但不能說(shuō)好．解法2不僅是對(duì)的，而且比解法1要更好．若前者得滿分10分的話，后者應(yīng)得12分，因?yàn)檫@是有創(chuàng)造性的答案．按例3的解法1，要找出3件次品的實(shí)驗(yàn)次數(shù)k的取值范圍為3≤k≤10．如果某人抽9次都不能找出所有次品，非要10件產(chǎn)品全部取出才能找出3件次品，我們只能說(shuō)這個(gè)學(xué)生有點(diǎn)“二”，這樣的學(xué)生踏入社會(huì)后很難說(shuō)不會(huì)重復(fù)“足協(xié)式錯(cuò)誤”．如果說(shuō)例1的解法1可以說(shuō)對(duì)而不能說(shuō)好，例2的解法1就應(yīng)該是一個(gè)錯(cuò)誤的解答．學(xué)生用例1與例2解法2的方式思考問(wèn)題，決不是鉆牛角尖，而是思維的廣闊性更強(qiáng)，考慮問(wèn)題更縝密周全．

3.2 數(shù)學(xué)應(yīng)用的本質(zhì)是數(shù)學(xué)為社會(huì)實(shí)踐服務(wù)

數(shù)學(xué)是刻畫(huà)自然規(guī)律與社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語(yǔ)言和有效工具．荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾指出：“數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，就必須寓于現(xiàn)實(shí)，并且用于現(xiàn)實(shí)．”數(shù)學(xué)應(yīng)用的本質(zhì)是數(shù)學(xué)為社會(huì)實(shí)踐服務(wù)，是用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，而不是實(shí)際問(wèn)題符合于數(shù)學(xué)模型(或者說(shuō)讓實(shí)際問(wèn)題遷就數(shù)學(xué)模型)，這應(yīng)該成為數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)的立足點(diǎn)．當(dāng)然，數(shù)學(xué)教學(xué)中讓實(shí)際問(wèn)題服務(wù)于我們的教學(xué)這是無(wú)可厚非的，但這不能背離了數(shù)學(xué)服務(wù)于社會(huì)實(shí)踐的本質(zhì)．也就是說(shuō)數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)該以實(shí)際問(wèn)題為中心，而不是以數(shù)學(xué)為中心、教學(xué)為中心．有了這樣的立足點(diǎn)我們的數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用才能落到實(shí)處，才能不流于形式．

3.3 真情實(shí)景是編擬數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的基本原則

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)編擬應(yīng)用問(wèn)題本無(wú)可厚非，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)的應(yīng)用也不是盲目應(yīng)用，而是根據(jù)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有針對(duì)性地進(jìn)行．但是數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題必須是從實(shí)際中來(lái)，必須與實(shí)際問(wèn)題相吻合，呈現(xiàn)給學(xué)生的應(yīng)用問(wèn)題必須是真情實(shí)景，而不是主觀臆造．

文[1]提出了高考要以真情實(shí)景落實(shí)“五育并舉”，而編擬數(shù)學(xué)問(wèn)題必須突出真情實(shí)景．2019年高考文科、理科全國(guó)卷Ⅰ第4題以著名雕塑“斷臂維納斯”為例，探討人體黃金分割之美．2019年高考文理、理科全國(guó)卷Ⅱ第16題，融入了中國(guó)金石文化，賦予幾何體的真實(shí)背景．這些典型的應(yīng)用問(wèn)題都給人一種真情實(shí)景之感．

例41936年美國(guó)權(quán)威的《文學(xué)文摘》雜志社，為了預(yù)測(cè)總統(tǒng)候選人民主黨羅斯福與共和黨蘭登兩個(gè)誰(shuí)能當(dāng)選，以電話簿上的地址和俱樂(lè)部成員名單上的地址發(fā)出1 000萬(wàn)封信，收回回信200萬(wàn)封，花費(fèi)了大量的人力物力．雜志社相信自己的調(diào)查結(jié)果——蘭登將以57%對(duì)43%的比例獲勝，并進(jìn)行大力宣傳，最后選舉的結(jié)果卻是羅斯福以62%對(duì)38%的巨大優(yōu)勢(shì)獲勝連任總統(tǒng)．這個(gè)調(diào)查使《文學(xué)文摘》雜志社威信掃地，不久只得關(guān)門?？?qǐng)問(wèn)這家雜志社預(yù)測(cè)失敗的原因是( )．

A．抽樣的樣本容量太小

B．收回回信比例太小

C．調(diào)查結(jié)果公布過(guò)早，結(jié)果公布后羅斯福團(tuán)隊(duì)擴(kuò)大宣傳實(shí)現(xiàn)逆襲

D．抽樣具有片面性，沒(méi)有保證每個(gè)選民被抽到的概率相等

例4以歷史真實(shí)事件為背景，是真情實(shí)景的典型案例，解答時(shí)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)方法來(lái)分析．這是典型的用數(shù)學(xué)的思維來(lái)分析世界．

3.4 客觀存在應(yīng)成為應(yīng)用問(wèn)題的評(píng)判依據(jù)

考試應(yīng)該有答案，也應(yīng)該有評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，這是無(wú)可爭(zhēng)議的．我們經(jīng)常說(shuō)要敢于向權(quán)威質(zhì)疑，我們完全可以向命題人提供的“標(biāo)準(zhǔn)答案”質(zhì)疑．另一方面，不同的人從不同的角度來(lái)思考可以得出不同的結(jié)論，這是極為正常的一件事情，為什么成千上萬(wàn)的學(xué)生都要和命題人從同一角度思考問(wèn)題？特別是一些與現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，從不同角度考慮往往會(huì)得出不同的答案．

例5一排共12個(gè)停車位置，今有8輛車需要停放，要求空位連在一起，則停車方法有．

在解答例5時(shí)，也出現(xiàn)了兩種不同的解法：

顯然，解法1是把8輛車看做不同的車，解法2是把8輛車視作相同的車．筆者認(rèn)為，從不同的角度都有其道理．若從停車場(chǎng)管理員的角度去考慮，往往管理員不考慮車的不同，不管這輛是“奧迪”、那輛是“大眾”，他只關(guān)心哪個(gè)位置停了車，哪個(gè)位置還空著．從此角度分析，把所有的8輛車視作相同的車是完全合理的．若從另一角度去分析，例如你和朋友一行共8輛車需要停放在停車場(chǎng)，此時(shí)停車不僅要考慮哪幾個(gè)位置停放，還要考慮哪個(gè)位置停放的是哪輛車，就應(yīng)該把車視作不同的了．

例6如圖1，要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村、李莊送水，修在河邊什么地方可使所用水管最短？

這是初中課本的一個(gè)傳統(tǒng)、典型的應(yīng)用題．很顯然，這是根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)編擬出來(lái)的，其答案就是圖1中的點(diǎn)C．而有位學(xué)生提出:如果DA+AB

圖1

據(jù)筆者了解，許多供水問(wèn)題正是按照這位學(xué)生提出的供水方案來(lái)完成的．也就是說(shuō)，課本提供的答案與實(shí)際情況是有出入的．不過(guò)學(xué)生在解答時(shí)若選擇點(diǎn)D肯定是與答案不符的．

所以我們?cè)谔幚碛嘘P(guān)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)多種“正確答案”并存的現(xiàn)象．如果我們被所謂的“標(biāo)準(zhǔn)答案”束縛著，在教學(xué)中充斥著不是“對(duì)”就是“錯(cuò)”，不管實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際背景，教條式地解讀已知條件，這樣的教育能培養(yǎng)出創(chuàng)造性人才嗎？

求解數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題離不開(kāi)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，但判罰的依據(jù)應(yīng)該是與實(shí)際問(wèn)題的吻合程度，只要是存在的就應(yīng)該是合理的．這應(yīng)該成為廣大數(shù)學(xué)教師在教學(xué)、閱卷等活動(dòng)中共同遵守的一個(gè)基本原則．有了這樣一個(gè)原則，閱卷時(shí)出現(xiàn)的許多棘手問(wèn)題就有了一個(gè)判罰的依據(jù)；有了這樣一個(gè)原則，我們面對(duì)學(xué)生諸如“什么時(shí)候能用”的疑問(wèn)時(shí)，也就有了答疑解惑的依據(jù)．

4 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以真情實(shí)景、客觀存在為本落實(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，讓數(shù)學(xué)真正為社會(huì)實(shí)踐服務(wù)．如果我們無(wú)視客觀存在，唯數(shù)學(xué)論，將來(lái)還會(huì)出現(xiàn)新的意想不到的鬧劇．到那時(shí)再來(lái)反思我們的教學(xué)、反思我們的學(xué)校教育是不是已經(jīng)晚矣．