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    部分等距元的新刻畫

    2022-02-26 11:48:22趙旭東魏俊潮

    趙旭東,王 姍,魏俊潮

    (1.運(yùn)城師范高等??茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系,山西 運(yùn)城 044000;2.揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

    本文中,R表示一個(gè)有單位元1的結(jié)合環(huán)。設(shè)a∈R,若存在b∈R,滿足

    a=aba;b=bab;ab=ba,

    則稱a是R的群可逆元,且稱b為a的群逆元。由文獻(xiàn)[1]知b是唯一的,記為a#。從而有

    a=aa#a;a#=a#aa#;aa#=a#a。

    用R#表示R的全體群可逆元的集合。

    設(shè)*:R→R的一個(gè)雙射,若滿足條件:

    (a*)*=a;(a+b)*=a*+b*;(ab)*=b*a*,?a,b∈R,

    則稱R為一個(gè)對合環(huán)或*-環(huán)。

    設(shè)R為*-環(huán),a∈R,若存在c∈R,使得

    a=aca;c=cac;(ac)*=ac;(ca)*=ca,

    則稱a為R的Moore-Penrose可逆元,簡稱為MP-可逆元,稱c為a的Moore-Penrose逆元[2],簡稱MP-逆,記為a+,由文獻(xiàn)[3]知c是唯一的。因此有

    a=aa+a;a+=a+aa+;(aa+)*=aa+;(a+a)*=a+a。

    用R+表示R的全體MP可逆元的集合。

    設(shè)R為*-環(huán),a∈R+。若a+=a*,則稱a為部分等距元[4]。用RPI表示R的全體部分等距元的集合。關(guān)于部分等距元的研究還可參見文獻(xiàn)[5-10]。

    設(shè)R為*-環(huán),a∈R#∩R+,若a#=a+,則稱a為EP元[11]。用REP表示R的全體EP元的集合。

    設(shè)R為*-環(huán),a∈R#∩R+,若a#=a+=a*,則稱a為強(qiáng)EP元[4,12]。用RSEP表示R的強(qiáng)EP元的集合。

    文獻(xiàn)[4]定理2.1及定理2.2給出了部分等距元的很多刻畫,而定理2.3給出了部分等距的EP元,即強(qiáng)EP元的很多等價(jià)刻畫。本文主要目的是繼續(xù)刻畫部分等距元及強(qiáng)EP元。

    引理1 設(shè)a∈R#∩R+。 1)若(a*)2=a+a*,則a∈RPI;2)若(a*)2=a*a+,則a∈RPI。

    證明1)由于(a*)2=a+a*=a+(a+)*a*a*,

    上式右乘(a#)*,得a*=a+(a+)*a*=a+,從而a∈RPI。

    2)類似可證。

    定理1 設(shè)a∈R#∩R+,則a∈RPI當(dāng)且僅當(dāng)(a#)*(a+)2=a+(a#)*a*。

    證明先證必要性。假設(shè)a∈RPI,故a+=a*,從而

    (a#)*(a+)2=(a#)*(a*)2=(a2a#)*=a*,

    a+(a#)*a*=a*(a#)*a*=(aa#a)*=a*,

    于是(a#)*(a+)2=a+(a#)*a*。

    再證充分性。假設(shè)(a#)*(a+)2=a+(a#)*a*,兩邊右乘a*,得

    (a#)*(a+)2a*=a+a*

    給上式兩邊取*得

    a(a+)*(a+)*a#=a(a+)*

    再給上式同時(shí)左乘a#,注意到a(a+)*=a(a+aa+)*=a2a+(a+)*,則有

    (a+)*(a+)*a#=(a+)*,

    然后左乘aa*得

    a(a+)*a#=a,

    再同時(shí)右乘a,注意到(a+)*a#=(a+)*a+aa#,則有

    a(a+)*=a2,

    于是上式取*得 (a*)2=a+a*,由引理1知a∈RPI。

    類似于定理1,可得如下定理。

    定理2 設(shè)a∈R#∩R+,則a∈RPI當(dāng)且僅當(dāng)(a+)2(a#)*=a*(a#)*a+。

    引理2 設(shè)a∈R#∩R+,x∈R,1)若(a+)2x=0,則a+x=0;

    2)若x(a+)2=0,則xa+=0。

    證明1)因?yàn)?a+)2x=0,所以a*a+x=(a*aa+)a+x=0,于是

    a*a*(a+)*a+x=a*a+x=0,從而a*(a+)*a+x=(a#)*a*a*(a+)*a+x=0,所以有a+x=0。

    同理可證2)。

    定理3 設(shè)a∈R#∩R+,則a∈RPI當(dāng)且僅當(dāng)(a#)*(a+)2=a*(a#)*a+。

    證明先證必要性

    由于a∈RPI,故a+=a*,從而(a#)*(a+)2=(a#)*a*a+=a*(a#)*a+。

    再證充分性。 假設(shè) (a#)*(a+)2=a*(a#)*a+,兩邊左乘(a*)2得a*(a+)2=(a*)2a+=(a*)2a(a+)2,由引理2知a*a+=(a*)2aa+=(a*)2,再由引理1可知a∈RPI。

    引理3 設(shè)a∈R#∩R+,則a*(a#)*a+=a+=a+(a#)*a*。

    證明由于

    a*(a#)*a+=(aa#)*a+aa+=(a+a2a#)*a+=(a+a)*a+=a+aa+=a+。

    同理可證a+(a#)*a*=a+。

    推論1 設(shè)a∈R#∩R+,則下列條件等價(jià):

    1)a∈RPI;2)(a#)*(a+)2=a+;3)(a+)2(a#)*=a+。

    證明這是定理2,定理3及引理3的直接推論。

    引理4 設(shè)a∈R#∩R+,1)若a+(a#)*(a+)2=(a+)2,則(a#)*(a+)2=a+;

    2)若(a+)2(a#)*a+=(a+)2,則(a+)2(a#)*=a+。

    證明1)由于(a#)*=a+a(a#)*,因此由(a+)2=a+(a#)*(a+)2知

    (a+)2=(a+)2a(a#)*(a+)2。

    故由引理2知a+=a+a(a#)*(a+)2=(a#)*(a+)2。

    同理可證2)。

    定理4 設(shè)a∈R#∩R+,則a∈RPI當(dāng)且僅當(dāng)a+=a+(a#)*a+。

    證明先證必要性。因?yàn)閍∈RPI,所以由推論7可知(a#)*(a+)2=a+,兩邊左乘a+得:a+(a#)*(a+)2=(a+)2,由引理2知a+(a#)*a+=a+。

    再證充分性。假設(shè)a+=a+(a#)*a+,則(a+)2=a+(a#)*(a+)2,由引理4知 (a#)*(a+)2=a+,由推論1知a∈RPI。

    引理5 設(shè)a∈R#∩R+,若a+a=(a#)*a+,則a∈RPI。

    證明因?yàn)閍+a=(a#)*a+,所以a+=a+aa+=(a#)*a+a+,由推論1知a∈RPI。

    觀察定理4,可得如下方程

    x=x(a#)*a+

    (1)

    定理5 設(shè)a∈R#∩R+,則a∈RPI當(dāng)且僅當(dāng)方程(1)在集合xa={a,a#,a+,a*,(a#)*,(a+)*}中至少有一個(gè)解。

    證明先證必要性。若a∈RPI,則由定理4知x=a+為一個(gè)解。

    再證充分性

    1)若x=a為解,則a=a(a#)*a+,左乘a+得a+a=(a#)*a+,由引理5知,a∈RPI;

    2)若x=a#為解,則a#=a#(a#)*a+,左乘a2得a=a(a#)*a+,由1)知a∈RPI;

    3)若x=a+為解,則a+=a+(a#)*a+,由定理4知a∈RPI;

    4)若x=a*為解,則a*=a*(a#)*a+,由引理3知a*=a+,故a∈RPI;

    5)若x=(a#)*為解,則(a#)*=(a#)*(a#)*a+,左乘(a*)2得a*=a*(a#)*a+,由4)知a∈RPI;

    6)若x=(a+)*為解,則(a+)*=(a+)*(a#)*a+,左乘a*得a+a=a+a(a#)*a+=(a#)*a+,由引理5,a∈RPI。

    定理6 設(shè)a∈R#∩R+,則a∈RSEP當(dāng)且僅當(dāng)方程x=(a#)*xa#在xa中至少有一個(gè)解。

    證明先證必要性。假設(shè)a∈RSEP,則a#=a+=a*,則x=a為一個(gè)解。

    再證充分性

    1)若x=a為解,則a=(a#)*aa#,

    右乘a得a2=(a#)*a,左乘a+a得a+a3=a+a(a#)*a=(a#)*a=a2,故a∈REP,從而a=(a#)*aa#=(a#)*aa+=(a#)*,從而a∈RSEP;

    2)若x=a#為解,則a#=(a#)*a#a#,右乘a2得a=(a#)*aa#,由1)知a∈RSEP;

    3)若x=a+為解,則a+=(a#)*a+a#,右乘a+a得a+=a+a+a,故aa+=aa+a+a,取*得aa+=a+a2a+,從而a=a+a2,故a∈REP。于是a#=a+,由2)知a∈RSEP;

    4)若x=a*為解,則a*=(a#)*a*a#,右乘a+a得a*=a*a+a,取*得a=a+a2,故a∈REP,從而a*=(a#)*a*a#=(a#)*a*a+,由引理3知a*=a+。從而a∈RSEP;

    5)若x=(a#)*為解,則(a#)*=(a#)*(a#)*a#,取*得a#=(a#)*a#a#,由2)知a∈RSEP;

    6)若x=(a+)*為解,則(a+)*=(a#)*(a+)*a#,取*得a+=(a#)*a+a#,由3)知a∈RSEP。

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