雙機(jī)驅(qū)動(dòng)雙質(zhì)體振動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)的同步及其穩(wěn)定性

李振民， 張學(xué)良， 岳紅亮， 聞邦椿

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 110819)

磨機(jī)在工業(yè)中已有幾十年應(yīng)用歷史，近年來(lái)，對(duì)球磨機(jī)磨削技術(shù)的研究引起了廣泛關(guān)注[1-2]。由于具有高效、節(jié)能的特點(diǎn)，根據(jù)自同步理論設(shè)計(jì)的振動(dòng)球磨機(jī)具有較大應(yīng)用潛力。

荷蘭物理學(xué)家Huygens最早發(fā)現(xiàn)同步現(xiàn)象。此后，Blekhman[3]解釋了雙偏心轉(zhuǎn)子機(jī)械系統(tǒng)的同步機(jī)制，并給出同步定義。Wen等[4]采用平均法，對(duì)兩相同激振器同步理論推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化，設(shè)計(jì)出多種雙機(jī)自同步驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，并將同步理論應(yīng)用到工程，開創(chuàng)了振動(dòng)利用工程學(xué)科?；诟倪M(jìn)小參數(shù)法，Zhao等[5]研究了空間運(yùn)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)中激振器的同步。根據(jù)龐加萊法和中心流形定理，侯勇俊等[6]推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)振動(dòng)篩系統(tǒng)的同步性和穩(wěn)定性判據(jù)。利用平均法和Lyapunov原理，陳幫等[7]研究了超共振轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的耦合機(jī)理。Fang等[8]討論了激振器和擺耦合振動(dòng)系統(tǒng)中的同步現(xiàn)象。基于Routh-Hurwitz判據(jù)，陳曉哲等[9]給出兩激振器共旋轉(zhuǎn)軸線振動(dòng)系統(tǒng)中激振器同步運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性條件。近年來(lái)，控制同步和復(fù)合同步也得到關(guān)注： Jia等[10]對(duì)同向回轉(zhuǎn)雙偏心轉(zhuǎn)子倍頻控制同步進(jìn)行了研究； Kong等[11]分析了四機(jī)驅(qū)動(dòng)單質(zhì)體系統(tǒng)的復(fù)合同步問(wèn)題。

一般在工程中，根據(jù)外部運(yùn)轉(zhuǎn)頻率與固有頻率的比值(以z表示)，系統(tǒng)的共振類型分為四種：亞共振(z<0.9)、亞近共振(0.91.1)。對(duì)于過(guò)共振類型，當(dāng)外部運(yùn)轉(zhuǎn)頻率遠(yuǎn)大于固有頻率時(shí)(一般z>2)，又被稱為超遠(yuǎn)共振。

文獻(xiàn)[12]將同步理論應(yīng)用于碎磨領(lǐng)域，在考慮質(zhì)體空腔中滾子干摩擦條件下，研究超遠(yuǎn)共振雙機(jī)驅(qū)動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)中圓柱滾子的振動(dòng)同步傳動(dòng)機(jī)理。

根據(jù)上述文獻(xiàn)，由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，理論推導(dǎo)相對(duì)容易，單質(zhì)體系統(tǒng)同步理論得到了充分研究。但在工程中，對(duì)于球磨機(jī)等碎磨設(shè)備，常需利用質(zhì)體間相對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)工程所需機(jī)器的特定功能。因此，有必要對(duì)雙質(zhì)體系統(tǒng)同步理論進(jìn)行研究，特別需要針對(duì)其同步機(jī)理、相對(duì)運(yùn)動(dòng)特性和系統(tǒng)理想工作區(qū)域等問(wèn)題，進(jìn)行詳細(xì)剖析。

本文采用彈簧將一個(gè)圓柱體與質(zhì)體內(nèi)的空腔相連，以替代Zhang等研究中的滾子。把圓柱體視作有彈性耦合的內(nèi)部自由度，研究雙機(jī)驅(qū)動(dòng)雙質(zhì)體振動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)的同步及其穩(wěn)定性問(wèn)題。區(qū)別于Zhang等的研究?jī)H考慮超遠(yuǎn)共振，本文在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展和創(chuàng)新，考慮多個(gè)共振區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)特性。通過(guò)平均法和Hamilton原理推導(dǎo)出系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步運(yùn)行和保證同步狀態(tài)穩(wěn)定性的理論判據(jù)。基于數(shù)值定性分析，研究系統(tǒng)同步穩(wěn)定區(qū)域和相對(duì)運(yùn)動(dòng)幅頻特性。最后通過(guò)仿真，驗(yàn)證理論方法的有效性。研究結(jié)果可為振動(dòng)磨機(jī)的設(shè)計(jì)提供理論參考。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型和運(yùn)動(dòng)微分方程

圖1為系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型和參考坐標(biāo)系，由兩個(gè)子系統(tǒng)組成，即主振系統(tǒng)和隔振系統(tǒng)。主振系統(tǒng)包括主振質(zhì)體1(m1)和主振彈簧k1，隔振系統(tǒng)包括隔振質(zhì)體2(m2)和隔振彈簧k2。質(zhì)體2分別通過(guò)隔振彈簧k2和主振彈簧k1與基礎(chǔ)和質(zhì)體1相連，質(zhì)體1位于質(zhì)體2的空腔內(nèi)部質(zhì)心處，可以認(rèn)為是系統(tǒng)的一個(gè)內(nèi)部自由度。由兩個(gè)同向回轉(zhuǎn)交流電機(jī)分別驅(qū)動(dòng)的一對(duì)激振器對(duì)稱安裝在質(zhì)體2兩端，且均沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。圖1(a)中，o點(diǎn)為主振質(zhì)體質(zhì)心，同時(shí)也是系統(tǒng)坐標(biāo)原點(diǎn)。系統(tǒng)的參考坐標(biāo)系如圖1(b)所示，包括固定坐標(biāo)系oxy、移動(dòng)坐標(biāo)系o′x′y′和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系o′x″y″。

圖1 雙機(jī)驅(qū)動(dòng)雙質(zhì)體振動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型和參考坐標(biāo)系Fig.1 Dynamical model and reference coordinate system of the vibrating mechanical system with double rigid frames driven by two vibrators

為實(shí)現(xiàn)機(jī)器預(yù)期功能，需對(duì)系統(tǒng)同步機(jī)理及其穩(wěn)定性進(jìn)行揭示，在研究過(guò)程中，本文采用以下參數(shù)設(shè)定和模型假設(shè)：①選取兩相同激振器以實(shí)現(xiàn)較好的同步效果，即激振器質(zhì)量m01=m02=m0，且回轉(zhuǎn)半徑相等；②假設(shè)兩激振器的平均相位為φ，相位差為2α，即φ1-φ2=2α，φ1+φ2=2φ，解得φ1=φ+α和φ2=φ-α；③因?yàn)橄到y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)具有周期性，故電機(jī)的角速度周期性變化，在兩電機(jī)最小正周期內(nèi)，其平均角速度的平均值應(yīng)為常數(shù)，以ωm0表示。

系統(tǒng)共有六個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度，即x1，y1，ψ1和x2，y2，ψ2，分別表示兩質(zhì)體在x，y和ψ方向的運(yùn)動(dòng)位移。此外，兩激振器分別繞自身回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，以φ1和φ2表示。選取q=[x1，y1，ψ1，x2，y2，ψ2，φ1，φ2]T為廣義坐標(biāo)(反映絕對(duì)運(yùn)動(dòng)特性)，并以x12=x1-x2，y12=y1-y2，ψ12=ψ1-ψ2分別表示兩質(zhì)體在x，y和ψ方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)位移(反映相對(duì)運(yùn)動(dòng)特性)，基于拉格朗日方程，求得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為

(1)

其中，

式中：r和m0分別為激振器的回轉(zhuǎn)半徑和質(zhì)量；M1和M2分別為主振質(zhì)體和隔振質(zhì)體(包括電機(jī)及偏心塊)的質(zhì)量；J1和J2分別為主振系統(tǒng)和隔振系統(tǒng)的慣性力矩；Jm2為質(zhì)體2慣性力矩；l0為激振器旋轉(zhuǎn)中心與系統(tǒng)質(zhì)心o點(diǎn)間距離；le為系統(tǒng)關(guān)于質(zhì)心的等效回轉(zhuǎn)半徑；J0為電機(jī)慣性力矩；M和J分別為系統(tǒng)的總質(zhì)量和總慣性力矩；fd1和fd2為電機(jī)1和電機(jī)2的軸摩擦因數(shù)；Te1和Te2為兩電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩；k1，k2，kψ1和kψ2為彈簧剛度；f01，f02，fψ1，fψ2和fψ12為阻尼系數(shù)，在工程中，一般fψ1≈fψ2≈fψ12；lx1，lx2，ly1和ly2為主振彈簧k1在水平和豎直方向的安裝尺寸；lx3和ly3為隔振質(zhì)體尺寸參數(shù)；rl為無(wú)量綱參數(shù)。

2 系統(tǒng)同步穩(wěn)定運(yùn)行的理論判據(jù)

2.1 系統(tǒng)響應(yīng)求解

基于傳遞函數(shù)法及疊加定理[13]，兩質(zhì)體在x，y和ψ方向的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)為

(2)

其中，

b2=[kψ1(fψ1+fψ2-2fψ12)+kψ2fψ1]ωm0-

χAi=b1ci-a1d1，χBi=a1ci+b1d1，

χCi=b2ei-a2gi，χDi=a2ei+b2gi，i=1，2。

將式(1)中前四個(gè)方程按順序標(biāo)記為①②③④，并執(zhí)行如下運(yùn)算：(①×M2-②×M1)/M和(③×M2-④×M1)/M。得到系統(tǒng)在x和y方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程

(3)

其中，

式(3)中兩個(gè)方程分別含有關(guān)于x2和y2的耦合項(xiàng)，這給求解相對(duì)運(yùn)動(dòng)x12和y12的響應(yīng)帶來(lái)困難。文獻(xiàn)[14]中的解決方法是直接忽略數(shù)值較小的阻尼參數(shù)f02和剛度參數(shù)k2，使式(3)轉(zhuǎn)化為僅關(guān)于x12或y12的線性微分方程。為提高求解精度，本文在不忽略f02和k2的前提下求解相對(duì)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。

(4)

其中，

基于式(4)可求得系統(tǒng)固有頻率和相對(duì)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，分別以ωn和ε12表示

(5)

其中，

將式(5)中三角函數(shù)展開，并整理展開后的表達(dá)式，求得

ε12=λsεcosφ+λcεsinφ=λεsin(φ+γε)

(6)

其中，

式中：λx和λy為x和y方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)振幅，將在數(shù)值分析環(huán)節(jié)進(jìn)一步討論；γx和γy為兩質(zhì)體間相對(duì)運(yùn)動(dòng)滯后角。

2.2 系統(tǒng)同步性判據(jù)

Te01-df1-fd1ωm0=0，Te02-df2-fd2ωm0=0

(7)

其中，

式中：Te01和Te02為兩電機(jī)在平均角速度ωm0時(shí)的電磁轉(zhuǎn)矩；df1和df2分別為振動(dòng)系統(tǒng)施加在電機(jī)1和電機(jī)2上的負(fù)載力矩；Wcc被稱作余弦耦合系數(shù)；Tu為激振器動(dòng)能。

(8)

式中，TD=(Te01-fd1ωm0)-(Te02-fd2ωm0)為兩電機(jī)有效電磁輸出轉(zhuǎn)矩之差；TC=2TuWcc為系統(tǒng)頻率俘獲力矩。

2.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)

(9)

單周期內(nèi)Hamilton平均作用量I為

(10)

(11)

其中，

3 數(shù)值定性分析

為進(jìn)一步揭示系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，基于理論研究結(jié)果，本章定性給出一些數(shù)值分析。系統(tǒng)參數(shù)設(shè)定為：k1=9 000 kN/m，kψ1=7 200 kN/rad，k2=150 kN/m，m0=20 kg，kψ2=120 kN/rad，m1=350 kg，m2=1 600 kg，J1=50 kg·m2，Jm2=1 200 kg·m2，f01=f02=3.83 kN·s/m，fψ1=fψ2=fψ12=f01，r=0.15 m。根據(jù)上述參數(shù)，基于式(5)求得系統(tǒng)固有頻率為ωn≈176.7 rad/s。

兩電機(jī)規(guī)格相同，均為三相鼠籠式異步電機(jī)，參數(shù)為：50 Hz，380 V，6極，0.75 kW，額定轉(zhuǎn)速980 r/min，轉(zhuǎn)子電阻Rr=3.4 Ω，定子電阻Rs=3.35 Ω，定子互感Lm=164 mH，轉(zhuǎn)子電感Lr=170 mH，定子電感Ls=170 mH，電機(jī)軸摩擦因數(shù)fd1=fd2=0.005。

考慮到激振器安裝位置可能會(huì)對(duì)系統(tǒng)的同步和穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，研究了rl-ωm0平面內(nèi)系統(tǒng)同步穩(wěn)定區(qū)域，如圖2所示。rl為無(wú)量綱參數(shù)，表示激振器旋轉(zhuǎn)中心和系統(tǒng)質(zhì)心間距離l0與系統(tǒng)等效旋轉(zhuǎn)半徑le的比值。

圖2 rl-ωm0平面內(nèi)系統(tǒng)同步穩(wěn)定區(qū)域Fig.2 Synchronous and stable regions under the rl-ωm0 plane

由圖2，rl-ωm0平面以H=0為分界線被分為三個(gè)區(qū)域。在區(qū)域Ⅰ(灰色區(qū)域)，穩(wěn)定能力系數(shù)H>0，兩電機(jī)相位差滿足-π/2<2α<π/2。對(duì)于兩相同激振器，相位差2α穩(wěn)定在0°，如圖3所示。在區(qū)域Ⅱ和區(qū)域Ⅲ(白色區(qū)域)，H<0且π/2<2α<3π/2，此時(shí)兩相同激振器的穩(wěn)定相位差為180°。在這種情況下，兩激振器產(chǎn)生的激振力相互抵消，系統(tǒng)幾乎無(wú)振動(dòng)或僅有很小的擺動(dòng)。從應(yīng)用角度，僅區(qū)域Ⅰ的相位差狀態(tài)滿足工程需要。

圖3 穩(wěn)定相位差(兩相同激振器)Fig.3 Stable phase difference for two identical vibrators

振動(dòng)機(jī)械的最終功能通常反映在相位差和機(jī)體振幅。以rl=1.5為例，基于式(6)，并在圖2中相位差分布數(shù)值結(jié)果的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步得到兩質(zhì)體間相對(duì)運(yùn)動(dòng)振幅隨ωm0變化的曲線，如圖4所示。由于實(shí)際工程中機(jī)器擺角一般非常小，因此只考慮了x和y方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。且經(jīng)計(jì)算，式(6)中λx=λy。

圖4 相對(duì)運(yùn)動(dòng)幅頻特性曲線(rl=1.5)Fig.4 Frequency-amplitude curve of the relative motion for rl=1.5

由圖4可知，隨著ωm0增大，相對(duì)運(yùn)動(dòng)振幅持續(xù)變大，直到在ωn的亞近共振區(qū)域達(dá)到峰值。當(dāng)繼續(xù)增大ωm0通過(guò)共振點(diǎn)后，曲線出現(xiàn)斷點(diǎn)，λx和λy的值迅速跌落到0，這是因?yàn)樵趤嗊^(guò)共振和過(guò)共振區(qū)域，兩激振器的相位差為π。此外，當(dāng)遠(yuǎn)離共振點(diǎn)時(shí)，是否忽略f02和k2對(duì)λx和λy的值影響不大。但在共振點(diǎn)附近，特別是在ωn的亞近共振區(qū)，省略f02和k2會(huì)導(dǎo)致相對(duì)運(yùn)動(dòng)振幅遠(yuǎn)大于實(shí)際值。相比2019年Zhang等的研究，本文求解相對(duì)運(yùn)動(dòng)振幅的方法精度更高。

根據(jù)以上分析，為滿足工程需要，首先應(yīng)將工作點(diǎn)選定在圖2中區(qū)域I，然后進(jìn)一步調(diào)整ωm0的值，使其落在ωn的亞共振或亞近共振區(qū)域。在該種參數(shù)匹配下，兩激振器相位差穩(wěn)定在0°，兩質(zhì)體間主要運(yùn)動(dòng)形式為相對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)，且隔振效果較好，見(jiàn)仿真環(huán)節(jié)圖5(f)。這些特征符合工程上對(duì)振動(dòng)球磨機(jī)的工作要求。

4 仿 真

為檢驗(yàn)理論方法的有效性，將Runge-Kutta程序應(yīng)用于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程式(1)，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行A和B兩組仿真，結(jié)果如圖5所示。仿真中l(wèi)0=1.2 m，le=0.8 m，即rl=1.5。A組仿真參數(shù)和數(shù)值分析中一致，B組除k1=2 200 kN/m和kψ1=1 760 kN/rad外，其他參數(shù)均與數(shù)值分析環(huán)節(jié)相同。

由圖5(a)，A組仿真電機(jī)平均轉(zhuǎn)速約為953 r/min，即運(yùn)轉(zhuǎn)速度ω=99.7 rad/s，對(duì)應(yīng)于圖2和圖4中特性點(diǎn)A。B組仿真轉(zhuǎn)速約為971 r/min(運(yùn)轉(zhuǎn)速度ω=101.6 rad/s)，同時(shí)基于仿真參數(shù)的固有頻率為ωn0=87.3 rad/s。數(shù)值定性分析和仿真中的頻率比相同，即ωm0/ωn=ω/ωn0。求得ωm0≈205.6 rad/s，對(duì)應(yīng)于圖2和圖4中點(diǎn)B。

由于選用兩相同電機(jī)，系統(tǒng)很快達(dá)到同步運(yùn)行狀態(tài)，A和B兩組仿真的穩(wěn)定相位差分別為0°和180°，該結(jié)果與圖2中A和B兩點(diǎn)數(shù)值結(jié)果對(duì)應(yīng)一致。在15 s時(shí)，對(duì)激振器2施加大小為π/3的干擾，隨后轉(zhuǎn)速和相位差曲線均短暫波動(dòng)，但都迅速恢復(fù)至干擾前的穩(wěn)定狀態(tài)，說(shuō)明系統(tǒng)穩(wěn)定性較強(qiáng)。

從運(yùn)動(dòng)位移角度，當(dāng)相位差為0時(shí)，兩個(gè)激振器產(chǎn)生的激振力疊加，兩質(zhì)體間實(shí)現(xiàn)相對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)。與質(zhì)體1(內(nèi)圓柱體)振幅相比，質(zhì)體2(隔振質(zhì)體)的振幅非常小，即系統(tǒng)隔振效果較好，見(jiàn)圖5(f)。A組仿真中，兩個(gè)質(zhì)體在x和y方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)振幅均接近1.9 mm。對(duì)B組仿真，由于相位差為180°，激振力相互抵消，兩個(gè)質(zhì)體的運(yùn)動(dòng)位移約為0，機(jī)體幾乎靜止，見(jiàn)圖5(d)和圖5(f)。同時(shí)，兩組仿真內(nèi)外質(zhì)體的擺角均接近0，說(shuō)明在振動(dòng)過(guò)程中機(jī)體基本無(wú)擺動(dòng)。相對(duì)運(yùn)動(dòng)振幅仿真結(jié)果與圖4中A和B兩點(diǎn)的數(shù)值結(jié)果基本一致。

根據(jù)以上定量對(duì)比，仿真結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果對(duì)應(yīng)相同，檢驗(yàn)了理論方法的有效性。

在工程中，參考圖1(a)所示動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)振動(dòng)球磨設(shè)備時(shí)，可選擇交流電機(jī)作為激振器動(dòng)力源，電機(jī)通過(guò)聯(lián)軸器帶動(dòng)偏心轉(zhuǎn)子高速回轉(zhuǎn)產(chǎn)生激振力。主振質(zhì)體m1一般采用具有一定厚度的磨筒，待磨物料(例如高級(jí)化學(xué)物質(zhì))和磨介(鋼球、鋼棒和陶瓷球等)置于磨筒內(nèi)的空腔中。設(shè)備功能的實(shí)現(xiàn)建立在激振器同步運(yùn)行和系統(tǒng)工作點(diǎn)合理選擇的基礎(chǔ)上。根據(jù)數(shù)值分析和仿真結(jié)果，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)選定在圖2中區(qū)域I，且設(shè)備工作在亞共振或亞近共振區(qū)域時(shí)，兩激振器以0相位差同步穩(wěn)定運(yùn)行，主振質(zhì)體(磨筒)的運(yùn)動(dòng)形式為高頻大振幅圓周運(yùn)動(dòng)，見(jiàn)圖5(f)。此時(shí)，磨筒內(nèi)的物料和磨介近似均勻地緊貼在筒壁上并實(shí)現(xiàn)高速圓周摩擦運(yùn)動(dòng)，引起磨介對(duì)物料的強(qiáng)烈沖擊、擠壓和摩擦，達(dá)到物料斷裂、粉碎、研磨和細(xì)化等加工目的。

圖5 系統(tǒng)仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of the system

5 結(jié) 論

(1) 利用平均法和Hamilton原理分別推導(dǎo)出系統(tǒng)同步性和穩(wěn)定性理論判據(jù)。同步性判據(jù)要求兩電機(jī)有效電磁輸出轉(zhuǎn)矩之差的絕對(duì)值應(yīng)小于或等于系統(tǒng)頻率俘獲力矩。穩(wěn)定性判據(jù)要求穩(wěn)定能力系數(shù)與兩激振器相位差余弦值的乘積大于0。

(2) 通過(guò)數(shù)值方法討論了系統(tǒng)同步穩(wěn)定區(qū)域和相對(duì)運(yùn)動(dòng)幅頻特性。同步穩(wěn)定區(qū)域決定系統(tǒng)最終運(yùn)動(dòng)類型，主要取決于兩個(gè)因素：無(wú)量綱參數(shù)rl和操作頻率ωm0。前者與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，后者依賴于外部電源頻率。

(3) 對(duì)應(yīng)本文動(dòng)力學(xué)模型的振動(dòng)機(jī)械，應(yīng)在區(qū)域Ⅰ內(nèi)選擇無(wú)量綱參數(shù)rl的值，同時(shí)操作頻率ωm0需設(shè)定在ωn的亞共振區(qū)或亞近共振區(qū)。此時(shí)，兩激振器產(chǎn)生的激振力正向疊加，兩質(zhì)體間主要運(yùn)動(dòng)形式為相對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)。