密度梯度驅(qū)動的煤粒瓦斯解吸擴散模型及試驗研究

秦躍平，徐 浩，毋 凡，張鳳杰

(中國礦業(yè)大學(北京)應(yīng)急管理與安全工程學院，北京 100083)

0 引 言

隨著我國煤炭資源開采深度的逐步增加，瓦斯涌出量及強度增大，會誘發(fā)更多的瓦斯超限、瓦斯突出等瓦斯災害問題[1-2]。在深部煤層高強度開采階段，煤體的瓦斯解吸速率會更快，瓦斯釋放特性會更加復雜。因此，深入認識并理解煤體中的瓦斯解吸擴散規(guī)律對于精確計算預測井下瓦斯含量、瓦斯涌出量以及瓦斯解吸指標等工作至關(guān)重要。

為了從理論上解釋煤粒中的瓦斯解吸擴散機理，菲克擴散理論[3]首先被提出來，并且產(chǎn)生了廣泛而深刻的影響。在此基礎(chǔ)上，出現(xiàn)了單孔擴散模型[4-5]、雙孔模型[6-7]，用來表述瓦斯擴散特性及規(guī)律。經(jīng)典菲克單孔擴散模型由于其計算簡單、物理意義明確的特點受到了人們的青睞，也是目前沿襲最為普及的擴散模型[8-9]。國外學者BARRER[4]、CRANK[5]等根據(jù)菲克擴散模型建立了相應(yīng)的數(shù)學方程，并且提出了有關(guān)解吸擴散量的解析解公式。后續(xù)國內(nèi)學者楊其鑾等[10]、聶百勝等[11]基于此對經(jīng)典菲克擴散模型進一步簡化推導，得到了模型的近似解析解，由此可以便利地計算常擴散系數(shù)。這也是目前獲取煤粒中的瓦斯擴散系數(shù)的常用辦法。但是這些由經(jīng)典擴散模型簡化導出的近似解析解公式與解吸擴散試驗數(shù)據(jù)存在較大偏差，并不能很好地描述全時段瓦斯解吸擴散行為[12]。如此一來，像擴散系數(shù)這類工程參數(shù)的測定準確性也就無法保證。不少學者試圖將擴散系數(shù)隨時間變化的表達式引入經(jīng)典菲克擴散模型，用以保證預測結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)相一致[12-14]。但是這種方式違背了菲克模型最初的常擴散系數(shù)的基本假設(shè)，而且文獻[15]也指出目前還沒有足夠的物理基礎(chǔ)來證明空間內(nèi)均勻的擴散系數(shù)確實是隨時間下降的。文獻[16-18]主張用達西定律或者反常擴散理論來描述煤粒瓦斯擴散過程。雖然也獲得了不錯的試驗匹配結(jié)果，但是在適用性、物理意義及推廣應(yīng)用等方面也存在一些爭議[12]。另外，根據(jù)實驗室條件下的煤粒瓦斯解吸數(shù)據(jù)表現(xiàn)出的擴散規(guī)律，涌現(xiàn)出了許多形式簡單的解吸經(jīng)驗公式[19-20]。各解吸經(jīng)驗公式由于適用條件不同，所造成的誤差也各異。就目前來看，沒有一個經(jīng)驗公式能夠準確表征各類條件下的全時段瓦斯解吸過程。上述研究已經(jīng)從一定程度上表明菲克理論模型似乎不再適合用來描述煤粒瓦斯擴散行為。因此，亟需建立一個更加科學的而且能在整個時間尺度下準確描述煤粒瓦斯擴散過程的理論模型。

實質(zhì)上，菲克擴散模型認為瓦斯在煤粒中的流動過程是由濃度梯度驅(qū)動的，其所謂的濃度就是煤粒瓦斯含量，并且沒有區(qū)分開吸附態(tài)和游離態(tài)瓦斯含量。而在煤粒瓦斯解吸擴散試驗中，主要參與流動的實際上是游離瓦斯[21-22]。在此基礎(chǔ)上，筆者首先在4種初始解吸壓力下開展瓦斯解吸試驗，并提出了由游離瓦斯密度梯度驅(qū)動的煤粒瓦斯擴散新模型。將新擴散模型的數(shù)值解算結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)對比，并探討了新擴散模型相對于經(jīng)典菲克模型的優(yōu)勢，目的是進一步驗證新擴散模型的精確性、普適性以及先進性。

1 解吸擴散試驗

1.1 煤樣選取與制備

試驗采用的是云南宣威縣大菁煤礦的煤樣。盡可能地將現(xiàn)場采集到的新鮮大塊煤樣密封保存良好，并運送到實驗室以開展試驗。將煤塊在105 ℃的溫度下烘干后做初步干燥處理，之后冷卻至室溫。將煤樣用粉碎機粉碎成煤粒后，使用標準樣品篩篩選出0.100～0.118 cm粒徑的煤粒來進行試驗。每組試驗均統(tǒng)一稱取50 g煤樣，并放入真空干燥箱中去除水分，以備試驗使用。

1.2 試驗過程

使用H-Sorb型高溫高壓吸附儀，具體試驗系統(tǒng)及結(jié)構(gòu)如圖1所示。該裝置主要由樣品預處理區(qū)和煤樣等溫吸附試驗區(qū)組成。裝置通過高精度軟性控溫裝置實現(xiàn)恒溫條件下的瓦斯解吸試驗。另外該裝置的數(shù)據(jù)收集系統(tǒng)經(jīng)由C++編程，具有較高的靈敏度，能夠精確記錄并計算瓦斯壓力、吸附量及解吸量等數(shù)據(jù)。具體的試驗步驟如下：①氣密性檢驗：對試驗裝置進行氣密性檢測，直至氣密性達到要求之后開展試驗；②自由空間體積計算：采用真空充氦氣的措施計算出樣品罐中包含煤?？紫对趦?nèi)的自由空間體積；③瓦斯吸附過程：對整個試驗系統(tǒng)進行抽真空處理，接著向參考罐中充入瓦斯氣體，打開參考罐和樣品罐的控制閥門，向樣品罐通入瓦斯。當樣品罐的壓力維持穩(wěn)定時，煤粒中的瓦斯達到吸附解吸平衡狀態(tài)，記錄此時的平衡壓力值(即初始解吸壓力)。④瓦斯解吸過程：瓦斯吸附達到平衡狀態(tài)后，對樣品罐抽氣至一個大氣壓，關(guān)閉樣品罐的通氣閥門，使煤樣在封閉空間自由解吸。觀察并且記錄試驗過程中的壓力變化，待到樣品罐的瓦斯壓力保持平穩(wěn)時，解吸試驗完成。根據(jù)相鄰2個時刻的瓦斯壓力數(shù)據(jù)可以計算單位時間內(nèi)單位質(zhì)量煤樣瓦斯解吸量[21]，將其相加就能得到累計瓦斯解吸量。

圖1 試驗系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

1.3 試驗結(jié)果與分析

1.3.1 解吸量隨時間的變化規(guī)律

煤樣的累計解吸量隨時間的變化趨勢如圖2所示。在試驗的時間尺度范圍內(nèi)，煤樣中的瓦斯解吸量總體隨初始吸附瓦斯壓力的升高而增大。初始吸附瓦斯壓力越大，煤粒中瓦斯解吸速率也越快。

圖2 不同初始壓力下各煤樣解吸量變化

1.3.2 解吸經(jīng)驗公式擬合效果

眾多學者對煤粒中的瓦斯解吸量隨時間的變化規(guī)律進行了試驗研究，并且依托各自所獲得的試驗數(shù)據(jù)提出了許多解吸經(jīng)驗公式。某些經(jīng)驗公式存在一些局限性，難以全面并精確地描述解吸量隨時間的變化趨勢[19]?；谠囼灁?shù)據(jù)，選取了巴雷爾式[4]、王佑安式[23]、孫重旭式[24]以及秦躍平式[22]等部分經(jīng)驗公式來擬合瓦斯解吸數(shù)據(jù)，所用經(jīng)驗公式見表1。

表1 瓦斯解吸經(jīng)驗公式

為避免冗余，僅以煤樣在0.5 MPa壓力下的試驗數(shù)據(jù)為例，來展示各經(jīng)驗公式的擬合情況，如圖3所示。通過各自的擬合結(jié)果發(fā)現(xiàn)，秦躍平式的擬合相關(guān)性系數(shù)R2最接近于1，說明其能夠較準確表征煤粒瓦斯解吸過程。相對來說其他經(jīng)驗公式的擬合效果要差一些。

圖3 解吸試驗數(shù)據(jù)的擬合過程

為進一步直觀觀察秦躍平式與瓦斯解吸試驗數(shù)據(jù)的擬合效果以及精確度，將表1中的秦躍平式變形為：

(1)

依照式(1)對解吸試驗數(shù)據(jù)進行處理，即以解吸量的倒數(shù)為y軸，以時間函數(shù)倒數(shù)(1/tn)為x軸作圖，具體如圖4所示。式中n的取值為0.5～1.0，就試驗煤樣來看，圖4中n的取值為0.66。通過圖4更直觀地看出，不同壓力尺度下的秦躍平式的擬合相關(guān)性系數(shù)R2均大于0.99，可以說其是能夠較為精確描述瓦斯解吸量隨時間變化的經(jīng)驗公式之一。

圖4 解吸量倒數(shù)與時間函數(shù)倒數(shù)關(guān)系曲線

2 煤粒瓦斯擴散模型及解算

2.1 濃度梯度驅(qū)動的菲克擴散模型

煤粒中瓦斯的解吸擴散行為一直是一個廣泛而深遠的研究課題。最初瓦斯在煤粒這種多孔介質(zhì)中的擴散被認為是符合菲克擴散理論，表述為單位時間單位面積的分子擴散流通量與濃度梯度成正比[3]：

J=-Dgradc

(2)

式中：J為擴散質(zhì)量流量，即單位時間單位面積上流過的瓦斯質(zhì)量，g/(s·cm2)；D為擴散系數(shù)，為常數(shù)值，cm2/s；c為單位體積煤體的游離和吸附瓦斯含量，g/cm3。

許多學者對以菲克擴散理論為基礎(chǔ)的模型進行了深入探索，并推導出了球形顆粒經(jīng)典菲克擴散模型的理論解及近似解析解，依此能便利地求解擴散系數(shù)[5, 11]。但是這些解算結(jié)果只能在特定的時間段與試驗數(shù)據(jù)保持一致，在對整個時間段的瓦斯解吸擴散特性表征方面卻無能為力[12]。有文獻指出為得到解析解，菲克模型放寬了許多假設(shè)條件，這也有可能導致預測結(jié)果不準確，數(shù)值解相對來說會比解析解更合理[25]。筆者基于有限差分的數(shù)值方法對菲克解吸擴散數(shù)學模型進行了解算，封閉空間內(nèi)的瓦斯解吸擴散微分方程可表示[21]為

(3)

式中：r為極坐標半徑，cm。

初始條件和邊界條件為

(4)

文獻[21]已經(jīng)采用有限差分法并基于質(zhì)量守恒定律以及式(3)和式(4)建立了詳細的有限差分方程，也編寫了相應(yīng)的數(shù)值解算程序來計算瓦斯解吸擴散量，這里不再贅述。以此為參照，在本文的試驗和模擬條件下來計算菲克擴散模型，并得到煤粒中的瓦斯解吸擴散的數(shù)值模擬數(shù)據(jù)。

2.2 游離瓦斯密度梯度驅(qū)動的新擴散模型

2.2.1 數(shù)學模型

菲克擴散模型主要考慮的是，煤粒瓦斯流動是由瓦斯含量的差異引起的，并沒有區(qū)分開吸附態(tài)瓦斯和游離態(tài)瓦斯的賦存狀態(tài)[21, 26]。像一些微孔中的吸附態(tài)瓦斯大部分情況下是處于相對靜止的狀態(tài)，實際上瓦斯流動過程的主要參與者是游離瓦斯(包含原始游離瓦斯以及表面解吸形成的游離瓦斯)。因此，參考菲克定律的假設(shè)，可以認為煤粒瓦斯擴散是由游離瓦斯密度梯度驅(qū)動的。基于傳質(zhì)的思想，考慮瓦斯質(zhì)量流通量與游離瓦斯密度梯度成正比，具體數(shù)學方程為

Jm=-Dmgradρg

(5)

式中：Jm為煤粒中單位時間內(nèi)通過單位面積的瓦斯質(zhì)量，g/(cm2·s)；Dm為游離瓦斯的微孔道擴散系數(shù)，cm2/s；ρg為游離態(tài)瓦斯密度，g/cm3。

煤粒中的瓦斯含量用Langmuir方程[22]表示:

(6)

式中：a,b為朗格繆爾吸附常數(shù)，單位分別為cm3/g，1/MPa；ρa為煤的視密度，g/cm3；p為瓦斯壓力，MPa；f為孔隙率；T0為標準情況下的溫度，273.15 K；p0為標準狀態(tài)下的壓力，0.101 325 MPa；T為試驗溫度，K。

將煤粒中的游離瓦斯看作是理想氣體[27]，則有

ρg=pM/R0T

(7)

式中：M為甲烷的摩爾質(zhì)量，16 g/mol；R0為通用氣體常數(shù)，8.314 J/(mol·K)。

假設(shè)煤粒為各向同性球形多孔介質(zhì)，孔隙結(jié)構(gòu)不受氣體壓力的影響，即不考慮吸附引起的煤體膨脹或解吸引起的煤體收縮[25]。瓦斯流動過程遵循質(zhì)量守恒定律：

(8)

式中：ρs為瓦斯標準密度，7.17×10-4g/cm3；dr為沿球形煤粒半徑方向的單元殼的厚度，m。

聯(lián)立式(5)—式(8)可以推導出球形煤粒瓦斯解吸擴散流動的連續(xù)性方程：

(9)

瓦斯解吸流動方程的初始和邊界條件為

(10)

式中:p0為解吸開始時的煤粒內(nèi)部的初始瓦斯壓力，MPa；pw為煤粒外表面的壓力，MPa。

由于試驗是在封閉空間內(nèi)進行的，瓦斯隨著解吸進程不斷從煤粒擴散到外部自由空間，導致煤粒外表面的瓦斯壓力逐漸增大。因此煤粒外表面的壓力邊界處于動態(tài)變化之中，表述為

(11)

式中：pw0為煤粒外表面的初始壓力，試驗設(shè)置的大氣壓，MPa；m為煤粒的質(zhì)量，g；Vf為多樣品管中自由空間的體積，cm3；Qm為t時刻單位質(zhì)量煤粒的累計瓦斯解吸質(zhì)量，g/g。

Qm的計算公式如下：

(12)

2.2.2 有限差分數(shù)值解算

在此使用有限差分的數(shù)值方法來對上述數(shù)學方程進行解算。首先將球形煤粒從球心至球面劃分成N個節(jié)點，各節(jié)點間的距離是逐漸減小的，符合等比數(shù)列，如圖5所示。以2個相鄰節(jié)點(用實線表示)間的中心作同心球面(用虛線表示)。如此相鄰2個虛線球面之間便形成球殼，在中心處形成1個實心球體。最終得到以0點為中心的實心球和包含各節(jié)點的N個球殼。

圖5 球形煤粒節(jié)點劃分

通過質(zhì)量守恒定律可以推導出節(jié)點1到N-1的瓦斯流動差分方程：

(i=1,2,…，N-1;j=1,2,3，……)

(13)

(14)

式中：i,i-1,i+1為劃分節(jié)點編號；j為時間節(jié)點編號；Δtj為第j個時間步長。

節(jié)點0處的差分方程為

(15)

(16)

節(jié)點N的邊界方程為

(17)

其中,Qm(j-1)為第j-1時刻的單位質(zhì)量煤粒累計解吸瓦斯質(zhì)量，可由N節(jié)點和N-1節(jié)點的壓力值的差計算：

(18)

由式子(13)—式(18)構(gòu)成了第j時刻以N個節(jié)點瓦斯壓力為未知量的完整差分方程組。文獻[16, 21-22]已經(jīng)由高斯迭代的思想開發(fā)了多個非線性方程組解算的程序代碼，也介紹了相關(guān)的解算流程。在此基礎(chǔ)上，對建立的差分方程組進行解算，具體解算步驟不再贅述。

試驗獲得的是單位質(zhì)量煤粒解吸出來的瓦斯體積，為方便將模擬結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)進行比較，這里將模擬得到的單位質(zhì)量煤粒解吸出來的瓦斯質(zhì)量統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為瓦斯體積含量，則j時刻單位質(zhì)量煤粒累計解吸的瓦斯體積Qtj為

Qtj=Qmj/ρs

(19)

數(shù)值解算中的參數(shù)選取見表2。其中a、b、ρa、f、Vf等均由試驗手段測得，而Dm是在解算程序中不斷調(diào)試反算而確定的。

表2 數(shù)值解算參數(shù)取值

3 結(jié)果與討論

3.1 試驗與解算結(jié)果的對比

將4種壓力尺度下的瓦斯解吸試驗數(shù)據(jù)與對應(yīng)的密度新模型和菲克模型解算的模擬結(jié)果進行對比。以初始解吸壓力為1 MPa為例進行說明，為更加直觀地觀察模擬結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)的匹配程度，這里將橫坐標取為對數(shù)坐標進行展示，如圖6所示。

圖6 2種模型的模擬曲線與試驗數(shù)據(jù)的匹配(p0=1 MPa)

由圖6可以看出，在試驗的整個時間范圍內(nèi)，基于游離瓦斯密度梯度驅(qū)動的新擴散模型計算的解吸量隨時間變化曲線與試驗數(shù)據(jù)基本相符。有些試驗點與模擬曲線存在些許偏差，但是從整個時間尺度來看，這些小誤差是可以接受的。而菲克模型的計算結(jié)果只能在初始或者后期小時間段與試驗保持一致，在整個時間尺度下的預測誤差較大。總體來說，游離瓦斯密度梯度驅(qū)動的新擴散模型更精確，是可以用來描述煤粒中的解吸擴散流動過程的。另外從圖6還能得出，菲克模型中的常擴散系數(shù)不能使試驗數(shù)據(jù)與解算結(jié)果相吻合；而單獨的常微孔道擴散系數(shù)值可使模擬結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)保持一致，并且不受時間的影響。

圖7展現(xiàn)了不同初始解吸壓力情況下的密度模型解算結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)的對比情況。由此可知，4種初始解吸壓力下的模擬結(jié)果均與試驗數(shù)據(jù)吻合良好，這進一步驗證了密度模型的準確性。其中的關(guān)鍵參數(shù)-微孔道擴散系數(shù)Dm始終為9.04×10-8cm2/s，即不同初始解吸壓力尺度下的微孔道擴散系數(shù)是相同的。雖然取了相同的Dm可能會導致有些試驗點=與模擬曲線有輕微偏差，但從整體看這種誤差是可忽略的，也表明了初始解吸壓力對煤樣的微孔道擴散系數(shù)影響不大。概括來說，密度模型的煤粒的微孔道擴散系數(shù)與時間、壓力等狀態(tài)參數(shù)無關(guān)。

圖7 密度模型解算與試驗數(shù)據(jù)的對比(Dm=9.04×10-8 cm2/s)

3.2 密度模型與菲克模型的討論

近幾十年有各種條件下的瓦斯擴散試驗都被用來檢驗上述基于菲克擴散模型推導出的解析解、近似解以及數(shù)值解的準確性。但是通過大量的試驗數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，經(jīng)典菲克擴散模型的理論曲線與試驗點之間存在較大的偏差，菲克模型的常擴散系數(shù)不能夠精確表征整個試驗時間尺度的瓦斯擴散過程。在特定的試驗條件下，擴散系數(shù)必須隨時間發(fā)生變化才能確保菲克模型的解算結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)相吻合。但是擴散系數(shù)隨時間變化的原理及物理意義并沒有得到很好的闡釋。也就是說，目前沒有強有力的證據(jù)能夠表明煤粒的擴散系數(shù)是要隨著某種特定的方程表達式而改變的。再一點就是，實際煤體中煤粒外部瓦斯壓力隨時間千變?nèi)f化，一旦外界條件變化，擴散系數(shù)隨時間變化的函數(shù)也將會發(fā)生變化，這也不方便實際應(yīng)用。因此，一些動態(tài)擴散系數(shù)模型雖然能夠保證與特定試驗條件下的試驗數(shù)據(jù)的吻合精度，也不能簡單移植到復雜外界條件下的煤粒瓦斯解吸擴散的建模工作之中。盡管菲克定律模型簡單，能夠得到解析解，但無數(shù)的試驗數(shù)據(jù)已證實了菲克定律的確不適用于煤粒中的瓦斯流動。

新密度擴散模型經(jīng)由有限差分數(shù)值方法解算的結(jié)果，在整個試驗解吸時間尺度能夠很好地描述瓦斯的解吸擴散行為。并且其關(guān)鍵比例系數(shù)-微孔道擴散系數(shù)是一個常數(shù)值，與時間或者壓力這種狀態(tài)參數(shù)無關(guān)，只與煤的孔隙結(jié)構(gòu)有關(guān)。除此之外，游離瓦斯密度梯度驅(qū)動的新擴散模型也具有較明確的物理意義，在表征瓦斯擴散特性方面比經(jīng)典菲克模型更加精確合理。

4 結(jié)論與展望

1)封閉空間條件下煤粒瓦斯解吸擴散量及解吸速率隨壓力的增大而增大。不同的解吸經(jīng)驗公式與試驗數(shù)據(jù)的匹配程度差異較大，相對來說，秦躍平式解吸經(jīng)驗公式與試驗數(shù)據(jù)的擬合度更高，更準確一些。

2)基于游離瓦斯密度梯度驅(qū)動的新擴散模型數(shù)值解算的結(jié)果與解吸試驗數(shù)據(jù)相吻合，該模型可用來表征煤粒瓦斯解吸擴散特性。據(jù)此反算出的相應(yīng)的微孔道擴散系數(shù)不受時間和壓力的影響。

3)菲克擴散模型的數(shù)值和解析解算結(jié)果均與試驗數(shù)據(jù)偏差較大，其常擴散系數(shù)只適用于描述解吸過程的某些特定時間段。而新擴散模型中的微孔道擴散系數(shù)也是常數(shù)，其解算結(jié)果卻能準確描述整個時間尺度下的瓦斯解吸擴散特性，由此較好地解決了菲克擴散模型誤差較大的缺陷。

4)游離瓦斯密度梯度驅(qū)動的新擴散模型是對瓦斯解吸擴散機理的豐富及充實。本文試驗選取的煤樣及試驗條件是比較特殊的，今后尚需開展多種條件下的大量重復試驗工作來驗證所提出的擴散模型。