授人以魚不如授人以漁
——以微專題“面積法”為例

趙 軍 (江蘇省太倉市實驗中學(xué) 215400)

1 基本情況

1.1 授課對象

學(xué)生來自平行班的初三年級，基礎(chǔ)較好，知識結(jié)構(gòu)完整，有一定的推理能力和解決問題的能力．

1.2 教材分析

在迎接中考的復(fù)習(xí)階段，我們以蘇科版《義務(wù)教育教科書(數(shù)學(xué))》為藍(lán)本，將數(shù)學(xué)知識與解題方法融合，通過重新建構(gòu)，以微專題的形式進(jìn)行深入而又高效的復(fù)習(xí)，以期在學(xué)習(xí)方法、解題技巧等方面達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的．

“微專題”顧名思義就是小專題，是圍繞一兩個緊密相關(guān)的知識或思想方法而形成的專題研究，它可以單獨(dú)研究某一知識體系、某個數(shù)學(xué)思想或某種解題策略．微專題的設(shè)計應(yīng)當(dāng)結(jié)合學(xué)生的學(xué)情，從學(xué)生已有知識、能力出發(fā)進(jìn)行研究，具有入口小、針對性強(qiáng)等特點．在教學(xué)實踐過程中要做到科學(xué)引領(lǐng)，精準(zhǔn)施策，體現(xiàn)以小見大、見微知著的特點．“面積法”是一種常見的解題方法，它通常以某個圖形為載體，通過兩次計算其面積，構(gòu)造方程解決問題．面積法的適用面廣而又分散，具有靈活而又高效的特點，若運(yùn)用得當(dāng)，往往能化繁為簡、化難為易．下面僅以此法的運(yùn)用為例，談?wù)勎ｎ}的設(shè)計與實施，以拋磚引玉．

教學(xué)目標(biāo) (1)通過計算同一圖形(三角形、特殊四邊形等)的面積，體會“積不離高，高不離積”的思維策略和構(gòu)建方程解決問題的特點； (2)經(jīng)歷面積法解決問題的過程，并通過不同方法的對比，體驗解決問題的不同思路，感受面積法的精巧之處；(3)能結(jié)合所學(xué)知識，靈活運(yùn)用面積法解決較為復(fù)雜的問題，體會其中的數(shù)學(xué)思想(如數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想、方程思想)．

教學(xué)重點 引導(dǎo)學(xué)生通過自主探索和方法對比，感受面積法的簡潔、高效的特點．

教學(xué)難點 如何結(jié)合所學(xué)知識，根據(jù)題目的特點，靈活運(yùn)用面積法構(gòu)建方程解決問題．

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)探究

隨著上課鈴聲響起，教師微笑著走進(jìn)教室，但沒有說話，而是在黑板上寫下四個字“今日說法”．(學(xué)生充滿期待，多數(shù)人充滿疑惑，這是講法律還是數(shù)學(xué)？)

師：同學(xué)們，今天我們不講法律，只談方法，一種簡潔而又高效的解題方法，請看問題1．

2.2 方法對比，體會等積

圖1

問題1如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，BC=3，AC=4，你能求出CD的長嗎？

生2：我用的是勾股定理，設(shè)AD=x，則BD=5-x，分別在Rt△ACD和Rt△CBD中計算CD2，列出方程求解．

生3：我是分別在Rt△ACD和Rt△ABC中表示出sinA，構(gòu)造等式求解．

師：還有補(bǔ)充的嗎？

生4：計算△ABC的面積也可以求出CD的長．

師(追問)：請具體一點！

師(高興地)：很好！這種方法我們稱之為“面積法”(教者接著“今日說法”下面補(bǔ)上板書“——面積法”)，這種方法有什么特點？

生5：將三角形的面積計算了兩次．

師：對！其關(guān)鍵是抓住同一個三角形，從兩個不同的角度計算其面積，列出方程求解．請大家接著看下面的問題．

圖2

問題2如圖2，若將問題1中的高CD去掉，改為點D是Rt△ABC斜邊AB上的一個動點，過點D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分別為M,N，則MN的最小值是多少？

(不少學(xué)生陷入困境，無法對MN進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化)

師(追問)：在解決問題的過程中你能體會到怎樣的思想方法？

生6：轉(zhuǎn)化．

師：很好！這里有一幅“對聯(lián)”送給大家(教師展開準(zhǔn)備好的對聯(lián)分別掛在黑板兩側(cè))：“積不離高，高不離積”，它生動詮釋了面積法的特點，我們怎樣理解這幅對聯(lián)的含義呢？

生7：“積不離高”是指計算某圖形的面積通常離不開高；“高不離積”是指有了高(垂直)就要注意向計算某圖形面積的方向去思考．

師：說得太好了！那誰來給這幅對聯(lián)添加一個橫批？

生8(脫口而出)：面積法．

(老師展開橫批“面積法”，貼在黑板上方的正中央)

教學(xué)說明對于問題1，學(xué)生有多種方法可供選擇，但最簡潔明了的還是面積法，在引出面積法后又為解決問題2做好了鋪墊．在問題2中，利用“矩形對角線相等”的性質(zhì)先把MN轉(zhuǎn)化為CD，將陌生的問題熟悉化，再結(jié)合問題1中的結(jié)論來求解．設(shè)置問題1的意圖有兩個，一是以此作為“種子題”，讓學(xué)生掌握一種解決問題的方法，為下面進(jìn)行面積法的運(yùn)用做好鋪墊，二是結(jié)合本題讓學(xué)生從中體會“積不離高、高不離積”的策略，通過方法對比，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗，體會解題的策略，訓(xùn)練思維的多樣性和靈活性．

2.3 變換載體，方法遷移

圖3

問題3如圖3，已知四邊形ABCD是菱形，CE⊥AB,CF⊥AD，垂足分別為E,F，求證：CE=CF．

生9：由菱形的性質(zhì)可知CB=CD,∠CBA=∠CDA，可以考慮證明△CBE≌△CDF(AAS)，從而證得CE=CF．

師：很清晰的思路！還有不同想法嗎？

生10：連結(jié)AC，由菱形ABCD可知AC平分∠DAB.因為CE⊥AB,CF⊥AD，所以CE=CF．

師(追問)：為什么？

生10：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．

師：很好！能熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)．若類比問題1的解題思路，還有沒有其他想法？

生11(恍然大悟)：計算菱形的面積．

師(追問)：具體一點，怎么算？

生11：因為S菱形=AB·CE=AD·CF，由菱形ABCD可知AB=AD，所以CE=CF．

(教室里響起了歡呼聲和掌聲……)

教學(xué)說明遇到此類證明線段相等的問題，不少學(xué)生首先想到的方法是證明三角形全等，也有少數(shù)學(xué)生會選擇運(yùn)用角平分線定理來證明，但很少有學(xué)生想到計算菱形ABCD的面積，建立方程解決問題．教學(xué)過程中，教者先讓學(xué)生各抒己見，在思維碰撞中體會運(yùn)用面積法解題的簡潔性．雖然本題難度不大，但由于大家對解法進(jìn)行了比較，放大了題目本身的價值，體現(xiàn)了面積法的精髓——“積不離高，高不離積”，拓寬了學(xué)生的思維空間，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升．

2.4 構(gòu)建模型，隱藏“題”中

問題4如圖4，在等腰三角形HBC中，HB=HC，E為底邊BC上的任意一點，EF⊥HB于點F，EG⊥HC于點G，BM⊥HC于點M，試探究EF,EG,BM之間的數(shù)量關(guān)系．

圖4 圖5

生12：如圖5，過點E作EN⊥BM，垂足為N，則四邊形EGMN為矩形，所以EG=NM，再證得△BEF≌△EBN，故有EF=BN，所以EF+EG=BM．

師：很好！這種方法是將最長的線段截為兩段，我們稱之為“截長”法，還有不同方法嗎？

生13：還有“補(bǔ)短”法，如圖5，過點B作BK⊥GE，交GE的延長線于點K，用同樣的思路可以證得矩形BKGM和△BEF≌△BEK，從而得到結(jié)論．

師：完全正確，兩種方法合起來可稱之為“截長補(bǔ)短”法．如果我們再換個角度看問題，由EF⊥HB我們還能想到什么？

生14：可以計算△HBE的面積．

師(追問)：結(jié)合EG⊥HC,BM⊥HC，我們又能想到什么？

生14：計算△HCE,△HBC的面積．

師(再追問)：那接著怎么運(yùn)用這些三角形的面積呢？

師(追問)：當(dāng)?shù)妊切蜨BC的頂角為直角或鈍角時，結(jié)論還成立嗎？

(小組分工合作完成……)

生16(小組代表)：成立，方法一樣，還是運(yùn)用面積法．

師：請大家歸納出一個一般性的結(jié)論．

生17：等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高．

師：很好！下面，我們就來看看這個結(jié)論在解題中的運(yùn)用．

圖6

問題5如圖6，已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，P為AB邊上任意一點，且PE⊥AC，PF⊥BD，E,F分別為垂足，求PE+PF的值．

生18：先根據(jù)條件證明△OAB是等腰三角形，則PE+PF的值等于該等腰三角形一腰上的高．

師(追問)：然后呢？

生18：過點A作AG⊥BD，垂足為G，則PE+PF=AG．

師(再追問)：那如何求AG呢？

教學(xué)說明教學(xué)過程中，教者可視學(xué)情予以適當(dāng)引導(dǎo)，當(dāng)學(xué)生想不出面積法時，教者可以引導(dǎo)學(xué)生從三條高入手，以面積為抓手，建立方程解決問題．問題4的“慢加工”為問題5的“快處理”鋪平了道路．通過問題變式和不斷追問，讓學(xué)生逐步明晰運(yùn)用面積法解題的特點和規(guī)律，抓住面積法的本質(zhì)，實現(xiàn)解題經(jīng)驗的正向遷移和解題方法的有效應(yīng)用，引領(lǐng)學(xué)生的思維向著問題深處漫溯．

2.5 巧借k值，妙用等積

圖7

(問題出示后，學(xué)生遇到困難、陷入沉思……)

師：連結(jié)OE,OF，四邊形OEBF的面積與四邊形BFDE的面積有何關(guān)系？

生20：因為點D為OB的中點，所以S△OBF=2S△DBF，S△OBE=2S△DBE，所以S四邊形OEBF=2S四邊形BFDE=9．

(先獨(dú)立思考，后分組討論)

生21：過點D作DH⊥OA,DG⊥OC，垂足分別為H,G，S矩形OABC=4S矩形OHDG=4k．

師(追問)：為什么？

生21：因為點D是OB的中點，即點D是矩形OABC的對稱中點．

師(再追問)：然后呢？

師：太好了！列出這個方程用到“積不離高，高不離積”嗎？

生(疑惑地)：沒有？

師：所以沒有高的情況下，我們也可以運(yùn)用“割補(bǔ)法”將某個圖形的面積“算兩次”，然后列出方程求解！

教學(xué)說明學(xué)生遇到困難時，通過教者的引導(dǎo)、追問，讓學(xué)生在深入思考的過程中體會反比例函數(shù)中k的幾何意義，再借助于矩形OABC的 面積不變巧妙地建立方程求解．微專題這種教學(xué)形式為學(xué)生進(jìn)行有效聯(lián)想和方法建構(gòu)提供了便利和可能，通過系列化的活動和體驗，把對知識、 方法和規(guī)律的掌握過程演變成學(xué)生能力提升的過程．

2.6 歸納小結(jié)，一“法”多得

師：回顧本節(jié)課所解決的問題，我們會發(fā)現(xiàn)始終有一根主線貫穿“題”中，這是一種什么方法？

生(齊)：面積法．

師(追問)：你是怎樣理解這種方法的？

生22：把同一個圖形的面積用不同的方法算兩次，但“有時無高勝有高！”(不一定有高)，建立等量關(guān)系，運(yùn)用方程解決問題．

……

教學(xué)說明通過追問，讓學(xué)生重新審視面積法，加深對這種方法的理解，完善方法體系，構(gòu)建“多題一法”，形成分析問題和解決問題的能力，達(dá)到因“微”而專、見微知著的效果．

3 回顧與反思

3.1 教學(xué)設(shè)計的立意

“授人以魚不如授人以漁”，其意思實質(zhì)上是指傳授給人既有知識，不如傳授給人學(xué)習(xí)知識的方法．道理其實很簡單，魚是做事目的，捕魚是做事的手段，一條魚能解一時之饑，卻不能解長久之饑，如果想永遠(yuǎn)有魚吃，那就要真正學(xué)會捕魚的方法．在本節(jié)微專題課中，專門從解題的方法——面積法展開探究，將“授人以漁”的理念詮釋得通徹透亮．因此，掌握一種方法就猶如擁有一樣得心應(yīng)手的工具，擁有解決問題的“本領(lǐng)”，這是學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展的必由之路．“種樹者必先培其根，學(xué)習(xí)者必先培其法．”只有授人以漁，才能從根本上得其法．以“微專題”的方式將解決問題的方法進(jìn)行歸類、提煉與運(yùn)用，更高效地讓學(xué)生學(xué)會解決問題，使更多的學(xué)生擁有捕魚的本領(lǐng)，變輸血為造血，才是我們的終極目標(biāo)．

3.2 教學(xué)反思

(1)堅持結(jié)合學(xué)情，按需設(shè)計

微專題開發(fā)與實施應(yīng)當(dāng)立足學(xué)情，基于教情，按需開發(fā)，不必拘泥于固定的形式和內(nèi)容，可以靈活設(shè)計并實施．例題可以根據(jù)學(xué)情按需選用．“今日說法——面積法”就是在學(xué)生知識結(jié)構(gòu)基本完成的基礎(chǔ)上，將偶爾運(yùn)用的面積法歸類處理，由“分散運(yùn)用”為“集中梳理”，實現(xiàn)系統(tǒng)化、脈絡(luò)化．同時，微專題教學(xué)的有效性要通過教學(xué)實踐加以檢驗，堅持從實踐中來，到實踐中去，遵循“開發(fā)—設(shè)計—實踐—修正”到“再實踐—再修正……”的實施路徑，注重校正優(yōu)化以及再實施再優(yōu)化的過程，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)下的螺旋式上升．微專題設(shè)計必須根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀進(jìn)行，使之更適合學(xué)生的學(xué)情，做到“適合的才是最好的！”微專題的實施必須尊重不同學(xué)生，做到量身定做、一次一課，增強(qiáng)教學(xué)的針對性和有效性．

(2)堅持以生為本，因材施教

微專題設(shè)計和實施過程中要堅持面向全體學(xué)生，突出以生為本，讓學(xué)生喜聞樂見、興趣盎然，把握好“低起點”“多層次”“富挑戰(zhàn)”的要求，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、層次性和綜合性的特點．以學(xué)生對此方法的理解和運(yùn)用為目標(biāo)，實現(xiàn)思維深處的拓展提升，面積法的教學(xué)設(shè)計就體現(xiàn)了這樣的特點．首先“今日說法”這個標(biāo)題足夠吸引學(xué)生，今日說法究竟要說什么“法”？激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，也為學(xué)生學(xué)好用好此法埋下伏筆．其次，對涉及面積法的題目遵循由易到難、由淺入深的編排，問題設(shè)置富有啟發(fā)性、應(yīng)用性、延續(xù)性，引例必須是一顆充滿生命力的種子，只有這樣，后續(xù)問題才能生根發(fā)芽．所以微專題教學(xué)必須始終堅持以學(xué)定教、因材施教，學(xué)為中心、以教促學(xué)，教者要花更多的精力從學(xué)生的視角來看待問題，精心設(shè)計課堂問題和探究活動，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、主動探究，在優(yōu)化思維的過程中解決問題，促進(jìn)學(xué)生的個性發(fā)展和能力的提升．

(3)堅持以小見大，微中見法

微專題的開口小，容量大，有深度，重方法，學(xué)習(xí)者學(xué)過之后往往體會深刻，回味無窮！微專題設(shè)計方式靈活多樣，可以對某個知識板塊進(jìn)行專題復(fù)習(xí)，也可以對某些數(shù)學(xué)模型進(jìn)行變式探究，還可以就某種數(shù)學(xué)方法進(jìn)行專項指導(dǎo)，亦或是某種數(shù)學(xué)思想的深度感悟等．設(shè)計內(nèi)容和上課形式不拘一格，靈活機(jī)動，針對性強(qiáng)．教學(xué)實施注重相機(jī)而教，因情而生，靈動生成．本課例中的面積法屬于“多題一法”的專題研究，通過不同載體的變換，將計算面積這一方法從直角三角形過渡到菱形、矩形，通過兩次計算同一載體的面積列出方程解決問題，實現(xiàn)了形與數(shù)的有機(jī)統(tǒng)一．對同一題目不同方法的橫向?qū)Ρ扰c不同題目同一方法的縱向梳理，拓寬了學(xué)生思維的空間，凸顯了面積法的簡潔、高效的特點，達(dá)到了以小見大、微中見法的目的．