數(shù)學(xué)問題表征對學(xué)生問題解決的影響及教學(xué)啟示

[摘 要] 問題表征是問題在學(xué)習(xí)者頭腦中的呈現(xiàn)方式。數(shù)學(xué)問題解決的前提條件是學(xué)習(xí)者能夠?qū)?shù)學(xué)問題進(jìn)行準(zhǔn)確的表征。準(zhǔn)確表征的外在表現(xiàn)即學(xué)習(xí)者在對數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)進(jìn)行深入挖掘的基礎(chǔ)上，能正確把握信息、深度提煉信息、用不同的方式整合并提取信息，以確定解決問題可能用到的方法。在課堂教學(xué)中注重對學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)問題表征能力的培養(yǎng)是完善和發(fā)展學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)、提高數(shù)學(xué)解題能力的重要途徑。主要論述了兩個方面的內(nèi)容：一是問題表征對學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力影響;二是提出了以培養(yǎng)和提高學(xué)生問題表征能力為核心的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略，如因材施教、多元化表征和克服思維定式等。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)問題表征;問題解決;圖式

[基金項目] 2015年度江蘇省教育科學(xué)重點課題“慕課視域下的高校數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究與實踐”（B-b/2015/01/013）

[作者簡介] 李艷利（1978—），女（蒙古族），內(nèi)蒙古赤峰人，碩士，江蘇師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院（教師教育學(xué)院）講師，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究。

[中圖分類號] G424.1 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1674-9324（2022）01-0131-04 [收稿日期] 2021-05-06

一、問題的提出

德國數(shù)學(xué)家希爾伯認(rèn)為：“問題是數(shù)學(xué)的心臟，方法是數(shù)學(xué)的行為，思想是數(shù)學(xué)的靈魂?！蔽覈鴮W(xué)者章建躍提出：“提升學(xué)生問題解決的技能是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心?！标P(guān)于數(shù)學(xué)問題解決的研究，早期階段關(guān)注點是數(shù)學(xué)問題解決的過程、模式建構(gòu)和應(yīng)用技能三個外在的層面。隨著認(rèn)知心理學(xué)和腦科學(xué)的發(fā)展，近年來越來越多的學(xué)者將問題解決研究的焦點轉(zhuǎn)移到其內(nèi)在機(jī)制上，尤其是側(cè)重問題解決階段的表征、解題過程中的元認(rèn)知分析等。

問題表征是解決數(shù)學(xué)問題的核心環(huán)節(jié)，學(xué)習(xí)者的問題表征能力極大地影響問題解決的結(jié)果。因此，解決問題之前首要且必需的就是合理地表征問題。心理學(xué)家研究了學(xué)習(xí)者在復(fù)雜問題空間中的認(rèn)知情況，指出問題解決是在一系列規(guī)則的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)者能靈活選取并恰當(dāng)使用各種問題表征的形式，將問題的初始狀態(tài)轉(zhuǎn)化為目標(biāo)狀態(tài)的過程。

（一）表征和問題表征的概念

從詞性的視角看，表征有兩種詞性，兩層含義：其一作為動詞，其意義是對事物本質(zhì)內(nèi)涵的闡釋;其二作為名詞是指事物的外在征象。

從心理學(xué)的視角看，表征是個體認(rèn)知世界的準(zhǔn)則，個體能夠深入領(lǐng)會和正確應(yīng)用該知識的前提是要理解大腦對某種知識的具體表征形式。表征包括形式和過程兩個相互依存的部分。形式即記錄和呈現(xiàn)各種信息的形式;過程則是指運用和調(diào)整信息的過程。兩個部分不能單獨使用，否則不能構(gòu)成問題表征。

從問題解決的視角看，問題表征是問題解決者根據(jù)已有的知識經(jīng)驗，結(jié)合問題情境的條件和問題存在的形式，明確問題的初始狀態(tài)、問題的目標(biāo)狀態(tài)，進(jìn)而在頭腦內(nèi)部形成問題解決的空間、建構(gòu)問題解決的允許操作策略。問題表征不僅是問題直接的表達(dá)方式，也是問題在頭腦中的呈現(xiàn)方式，是主體對問題的內(nèi)化。

依據(jù)問題表征的形式，可以將表征分為外在表征和內(nèi)在表征。外在表征是在外部刺激的情況下，將問題用自然語言、文字語言、圖表圖形、數(shù)學(xué)模型、抽象數(shù)式等具體的形式表示出來;內(nèi)在表征是問題在學(xué)習(xí)者頭腦中的思考，或者說是解題者的內(nèi)部心理符號。外在表征是內(nèi)在表征的具體化和外顯化，內(nèi)在表征是外在表征的基礎(chǔ)和內(nèi)部運行機(jī)制。

（二）數(shù)學(xué)問題表征的作用

對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，只有恰當(dāng)?shù)膯栴}表征才能在已知條件和最終目標(biāo)之間形成正確的問題情境表征，從而順利解決數(shù)學(xué)問題。學(xué)習(xí)者在解決數(shù)學(xué)問題時，先要對問題進(jìn)行合理表征。如學(xué)習(xí)者要理解并運用某個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，最好的策略就是學(xué)習(xí)者能將該數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與另外一個更容易理解的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)建立映射關(guān)系。數(shù)學(xué)問題表征其本質(zhì)就是在不同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中建立映射關(guān)系的過程。因此，對于學(xué)習(xí)主體而言，造成問題解決困難的原因，一是源于數(shù)學(xué)問題本身的結(jié)構(gòu)，二是學(xué)習(xí)主體選擇問題表征的方式或問題表征的能力。有研究表明，精準(zhǔn)的問題表征方式與問題成功解決之間存在正向相關(guān)性。

（三）數(shù)學(xué)問題表征的依據(jù)和類型

數(shù)學(xué)問題表征包括數(shù)學(xué)問題的構(gòu)成要素，又包括頭腦中已有知識經(jīng)驗對問題的內(nèi)部解釋，是學(xué)習(xí)主體通過對問題情境的分析理解，從而達(dá)成解決數(shù)學(xué)問題這一目標(biāo)的必要步驟。因此，數(shù)學(xué)問題表征的依據(jù)有兩個方面：一是問題本身的客觀性，要求學(xué)習(xí)主體在將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型時，需要切實依據(jù)問題的文字、圖表圖像、數(shù)學(xué)符號及問題之間的關(guān)系;二是學(xué)習(xí)主體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即主體已有的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)基本技能、內(nèi)化的數(shù)學(xué)思想、解決問題的經(jīng)驗策略和對數(shù)學(xué)的情感態(tài)度等因素。數(shù)學(xué)問題表征，依據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)，有不同的類型。

1.依據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)問題表征分為以下四類：（1）符號表征（代數(shù)問題），符號表征是數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)表征形式，具有抽象性與概括性特征;（2）幾何表征（平面幾何與立體幾何問題），具直觀性、具體性;（3）文字表征（邏輯問題），是數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)方式中最常見的表征形式;（4）表象表征（推理競賽題），這類表征具有很強(qiáng)的形象性，在數(shù)學(xué)競賽題中較為多見。

2.依據(jù)數(shù)學(xué)問題表征的層次，可以將其分為字面表征、真實情境表征和數(shù)學(xué)符號表征。

3.依據(jù)數(shù)學(xué)表征的方式可以將其分為：圖表圖像表征、自然語言表征、原理表征和方法表征。一般而言，數(shù)學(xué)知識可以分為陳述性知識、程序性知識和策略性知識。方法表征即是用程序性知識表達(dá)對問題的解決，原理表征則是用于問題情境緊密相連的數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)策略來表征問題。

以上分類實際上都只能概括數(shù)學(xué)問題表征的部分特征，因此，學(xué)習(xí)者在解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題時，必須同時運用多種表征。

二、問題表征對數(shù)學(xué)問題解決的影響

（一）強(qiáng)化問題外部表征的運用，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)最顯著的一個特征就是符號化，解決數(shù)學(xué)問題離不開數(shù)學(xué)符號的運用，只有理解數(shù)學(xué)符號的基本含義及其在特定情境下的深層含義，才有可能因勢利導(dǎo)，從而找到順利解決問題的方法。與此同時，我們也要深刻地認(rèn)識到，正是由于符號語言具有高度的簡潔性、抽象性和概括性，學(xué)生在解決含有大量、復(fù)雜、陌生符號的數(shù)學(xué)問題時，很難將符號含義與文本信息進(jìn)行一一匹配，從而不利于問題的解決，因此將符號適當(dāng)?shù)膱D形化，借助幾何直觀的思想，能更容易地幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，也即圖標(biāo)表征的方式。圖表表征是指利用幾何圖形或者表格來表示具體問題，它將數(shù)學(xué)問題題目中的條件和問題加以提煉并以簡單明了的形式呈現(xiàn)出來，提供給學(xué)生一個更加直觀的方式理解問題情境，利用更加便捷的途徑找到解決問題的關(guān)鍵要素。

有效的外部表征是成功解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，學(xué)生對給定的問題進(jìn)行理解、掌握、轉(zhuǎn)化，形成外部表征，并初步制定解決問題策略。外部表征主要是指問題情境的構(gòu)成成分和結(jié)構(gòu)，包括文字、符號、圖表及問題與文本的相對位置等的表征。美國心理學(xué)家Mayer曾經(jīng)提出解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的4個一般性認(rèn)知過程，即問題轉(zhuǎn)譯→問題整合→解題計劃→解題執(zhí)行。

問題轉(zhuǎn)譯是指將文字陳述問題翻譯為數(shù)學(xué)命題，當(dāng)問題以文字形式呈現(xiàn)時，在對問題的各種條件形成完整的表征前，須將問題正確地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)命題形式。當(dāng)然，文字陳述的復(fù)雜程度和文字表述的長度也會通過影響問題轉(zhuǎn)譯而影響數(shù)學(xué)問題的解決。

例如解釋2/3÷2=1/3時，可以采用如下策略：（1）用文字陳述分?jǐn)?shù)的除法法則：除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，進(jìn)行運算;（2）可以根據(jù)分?jǐn)?shù)的

意義闡述，把單位1平均分成3份，2/3表示取其中兩份，而2/3÷2則是把2/3再次均分為2份，每份為1/3;（3）利用圖表，將問題和實際聯(lián)系起來。一塊蛋糕平均分成3份，拿走一份，剩下的2份平均分給兩個小朋友，并借助圖形表示。

由于幾何圖形能明確地表達(dá)出條件數(shù)據(jù)間的關(guān)系，在幾何圖形的外部表征下直觀、形象、簡潔，學(xué)生能根據(jù)幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系列出解決問題的算式，不僅解決了數(shù)學(xué)問題，掌握分?jǐn)?shù)除法的算法，同時也能夠通過多種表征的共同運用，達(dá)到理解算理、把握分?jǐn)?shù)除法本質(zhì)的目的。

（二）深化內(nèi)部表征的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

內(nèi)部表征是指學(xué)生自主獨立建構(gòu)自身內(nèi)部的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是對給定的數(shù)學(xué)問題情境中的條件、要求、問題的內(nèi)部思維解釋。內(nèi)部表征對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響可以從數(shù)學(xué)問題圖式理論的視角進(jìn)行分析。圖式理論描述了個體知識的表征途徑，以及這些表征的知識是如何以某種特有的方式有利于知識的應(yīng)用。圖式理論的基本觀點是：學(xué)習(xí)者頭腦中儲存的一切知識都能分成不同單元、單元構(gòu)成組塊、組塊整合成系統(tǒng)。這些單元、組塊和系統(tǒng)就是圖式。數(shù)學(xué)問題圖式就是數(shù)學(xué)問題解決過程的圖式，數(shù)學(xué)問題圖式具有適應(yīng)性、靈活性、強(qiáng)遷移性和概括性等特征。數(shù)學(xué)問題圖式包括兩部分：一是描述它所對應(yīng)的某類問題的特征，二是解決這類問題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、解決問題的基本策略和執(zhí)行策略的具體程序。學(xué)習(xí)者在問題解決中，一旦激活一個數(shù)學(xué)問題圖式，即可自動執(zhí)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)解題程序。

三、數(shù)學(xué)問題表征對課堂教學(xué)的啟示

（一）因材施教，關(guān)注個性差異

建構(gòu)主義理論強(qiáng)調(diào)，主體對知識的理解和應(yīng)用是基于個人已有的知識和經(jīng)驗的。經(jīng)驗具有緘默性和個體差異性。關(guān)注個性差異，即要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、水平和風(fēng)格，在此基礎(chǔ)上，深入了解學(xué)生的數(shù)學(xué)問題表征方式，提高數(shù)學(xué)問題表征能力、數(shù)學(xué)問題圖式水平和數(shù)學(xué)解題能力，最終發(fā)展和完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)。所以數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師在設(shè)計和選擇數(shù)學(xué)問題的內(nèi)容和形式時，不僅要注意學(xué)生已有的知識水平、能力水平和心理發(fā)展水平，更需要考慮到學(xué)生的個性差異，設(shè)計合適的文字表述，創(chuàng)設(shè)合理的問題情境，以便學(xué)生有效、正確地進(jìn)行內(nèi)、外部表征，來確保他們學(xué)習(xí)新知的成功率，同時讓他們付出的時間和精力得到利益最大化的結(jié)果。由此減少學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力、提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性，以及問題解決的效率。

（二）啟發(fā)誘導(dǎo)，表征方式多樣化

課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)除了基礎(chǔ)知識和基本技能外，還要具有基本數(shù)學(xué)思想和基本活動經(jīng)驗。因此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，比獲得數(shù)學(xué)知識更重要的是能挖掘滲透于具體數(shù)學(xué)知識中數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)交流的習(xí)慣和能力，最終形成“數(shù)學(xué)智慧”。數(shù)學(xué)智慧并不是在書本上能夠直接獲得的外顯知識，而是表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)生、數(shù)學(xué)思想的獲得等內(nèi)隱的表達(dá)形式的知識，智慧的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該體現(xiàn)多元性、探究性、合作性、和諧性等特征。因此，教師在課堂教學(xué)中要以學(xué)生為主體，以啟發(fā)誘導(dǎo)為主要的教學(xué)模式，用多元化的表征方式，從多角度、多方向來刻畫數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生將直接思維與間接思維相結(jié)合、抽象思維和形象思維相結(jié)合等，要打破思維定式，使不同的表征方式，通過表征同一個數(shù)學(xué)問題而建構(gòu)一個統(tǒng)一的表征體系。

問題表征方式的多元化需要重視強(qiáng)化學(xué)生對問題外部表征及內(nèi)部表征的訓(xùn)練。在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，內(nèi)、外部表征并不是單一地運行，而是將問題先通過外部表征描述，再進(jìn)行內(nèi)部表征完善，順利解決問題。由于表征形式的多樣性、學(xué)生個體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的獨特性，每個人的表征過程和結(jié)果必然會存在一定的差異性。因此，教師應(yīng)當(dāng)帶領(lǐng)學(xué)生從多個角度、多個方面來對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行表征，從而抓住問題的著手點、關(guān)鍵點，解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。

（三）巧用變式教學(xué)，克服思維定式

心理學(xué)者指出：學(xué)習(xí)者在形成問題圖式后要防止誤用圖式。教學(xué)中使用變式教學(xué)理論，將正確應(yīng)用圖式的情境與誤用情境進(jìn)行比較，以識別關(guān)鍵差異，將關(guān)鍵差異編碼作為圖式的一部分，這個過程就是克服思維定式的過程。行為主義心理學(xué)派將有效的學(xué)習(xí)看成是強(qiáng)化的過程。而在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，給學(xué)生提供變式練習(xí)的機(jī)會就是一種合理強(qiáng)化的手段。章志光認(rèn)為，變式是形成數(shù)學(xué)概念時提供的肯定樣例在非本質(zhì)特征方面的變化形式。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的變式教學(xué)要求數(shù)學(xué)教師在教學(xué)設(shè)計的過程中要對教學(xué)深入鉆研，要求學(xué)生在課堂上展示知識的發(fā)生、發(fā)展及形成的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生研究、探索數(shù)學(xué)問題的能力。在變式分析中，通過一題多解、一題多變、一設(shè)多問等形式理解讓學(xué)生加深對數(shù)學(xué)概念的理解和應(yīng)用，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。與此同時，教師要了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況、進(jìn)行反饋調(diào)節(jié)的必要措施，防止學(xué)生形成思維定式，強(qiáng)化正遷移的作用。在日常教學(xué)中，加強(qiáng)學(xué)生對多元表征轉(zhuǎn)換和應(yīng)用的訓(xùn)練，盡可能地使用多種方式進(jìn)行表征，加強(qiáng)其對不同表征形式的理解和認(rèn)知，提高學(xué)生表征轉(zhuǎn)換的靈活性和應(yīng)用的多元化。

在新課程標(biāo)準(zhǔn)理念的倡導(dǎo)下，教師應(yīng)當(dāng)利用一切有利因素，積極為學(xué)生創(chuàng)造反思的情境，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會反思、主動反思，能運用反思來改進(jìn)自己學(xué)習(xí)上的不足之處。因此不管是教師在教學(xué)過程中，還是學(xué)生在自主練習(xí)中，都可以從這三個方面進(jìn)行反思：（1）反思過程是否正確，就是解決問題的過程中的計算是否正確、某些隱含條件是否注意到等;（2）反思有無其他方法，這就要求學(xué)生以創(chuàng)造性的觀點解讀問題，用發(fā)散性思維從不同方面思考問題的其他解決方案;（3）反思能否遷移，就是解決問題過程中所運用到的解決方法、思維方式或問題結(jié)論等能否在其他數(shù)學(xué)問題或其他學(xué)科問題中得到應(yīng)用。

總之，通過練習(xí)、反饋和教學(xué)反思有助于打破思維定式，促進(jìn)學(xué)生掌握知識，還能發(fā)現(xiàn)自己的解題過程中的優(yōu)點和不足，促進(jìn)學(xué)習(xí)遷移和知識積累。

參考文獻(xiàn)

[1]司馬賀.人類的認(rèn)知：思維的信息加工理論[M].荊其誠，張厚粲譯.北京：科學(xué)出版社，1986.

[2]邢強(qiáng)，單永明.數(shù)學(xué)應(yīng)用題外部表征的影響因素及啟發(fā)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2012，21（5）：19-22.

[3]張傳偉.數(shù)學(xué)中“知識圖式”在教與學(xué)中的意義[J].數(shù)學(xué)通報，2004（10）：17-19.

[4]Novick Laura R， Hurley Sean M， Melissa Francis. Evidence for Abstract， Schematic Knowledge of Three Spatial Diagram Representations[J].Memory & Cognition，1999（27）：288-308.

[5]姜慧慧，鮑建生.義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)表征能力評價框架[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2014（2）：7-9.

The Influence of Mathematical Problem Representation on Students’ Problem Solving and?Its Teaching Enlightenment

LI Yan-li

（School of Educational Sciences / Faculty of Teacher Education， Jiangsu Normal University， Xuzhou， Jiangsu 221116， China）

Abstract： The prerequisite of solving a problem is to excavate the essence of the problem， correctly grasp and refine the information， and accurately represent the problem. Problem representation refers to the way in which the problem is presented in the learner’s mind. The learner can extract and integrate key information in the problem space in different ways to determine the possible operators. This paper mainly discusses the influence of problem representation on students’ ability to solve mathematical problems， and puts forward the strategies of mathematics classroom teaching based on the cultivation of problem representation.

Key words： Mathematical problem representation; problem solving; schema