基于微積分的單株立木材積模型模擬

程玉娜，鄧必平

(1.贛州市林業(yè)局，江西 贛州 341000；2.江西環(huán)境工程職業(yè)學(xué)院，江西 贛州 341000；)

微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，是高等數(shù)學(xué)中的重要組成部分及核心內(nèi)容[1]。它不但推動(dòng)了物理學(xué)、生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、化學(xué)等自然科學(xué)的發(fā)展，而且在應(yīng)用科學(xué)、社會(huì)學(xué)等方面也廣泛應(yīng)用。森林是地球上最大的生態(tài)系統(tǒng)[2-3]，是地球上的基因庫(kù)、碳貯庫(kù)、蓄水庫(kù)和能源庫(kù)，在全球生態(tài)系統(tǒng)平衡中發(fā)揮著重要作用[4]。森林蓄積是林業(yè)資源各類調(diào)查及表征森林?jǐn)?shù)量最重要的指標(biāo)之一[5]，是林分中所有活立木的材積之和。是國(guó)家自然資源的重要組成部分，其可為森林資源可持續(xù)發(fā)展和國(guó)家林業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略的制定提供決策依據(jù)[6-8]。因此，提高材積的計(jì)算方法是林業(yè)界一直研究的課題。提高活立木材積的計(jì)算精度，對(duì)森林蓄積量的估算具有重要的現(xiàn)實(shí)意義與實(shí)際價(jià)值。

1 研究區(qū)概況及研究方法

1.1 研究區(qū)概況

炎陵縣青石崗林場(chǎng)位于湖南省東南部，東林遂川縣，西接永興縣，南依貴東縣，北靠茶陵縣。26°26'～26°52'N，113°39'～113°E之間。距省會(huì)長(zhǎng)沙290 km。海拔900～1200 m，年均氣溫17.4 ℃，屬亞熱帶季風(fēng)性濕潤(rùn)氣候，氣候溫和，雨量充沛，四季分明。年均降水量1496.7 mm，年無(wú)霜期266 d以上，空氣相對(duì)濕度較大，是名符其實(shí)的膏腴之地。全林場(chǎng)國(guó)有經(jīng)營(yíng)面積24754 hm2，有林地面積19664 hm2，有林地占林地面積79.44%。青石崗林場(chǎng)林業(yè)資源豐富，主要的優(yōu)勢(shì)樹種有木荷，約占61%。

1.2 數(shù)據(jù)來(lái)源與處理

研究數(shù)據(jù)來(lái)自湖南省炎陵縣青石崗林場(chǎng)木荷林樣本的采集，選取生長(zhǎng)正常的、具有代表性的、未受到破壞的天然林林分，郁閉度在0.8以上，標(biāo)準(zhǔn)地為10 m×10 m，隨機(jī)選取木荷林樣點(diǎn)，并對(duì)其編號(hào)，分別量取樣地內(nèi)木荷樹的胸徑樹高。在每個(gè)樣地內(nèi)選取具有代表的木荷一棵，將其伐倒進(jìn)行解析木分析，且使伐倒的樹包括幼齡林、中齡林、近熟林、成過熟林。用輪尺或皮尺量取樣本的最長(zhǎng)軸、最短軸(一般為東西、南北方向)的長(zhǎng)度，并記下數(shù)值，作為模型的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。

2 微積分模型的建立及模擬

2.1 模型的建立

目前人們運(yùn)用微積分知識(shí)并結(jié)合其特點(diǎn)，建立了許多數(shù)學(xué)模型，解決了許多重大疑難問題[9-15]。本文利用微積分方程，對(duì)樹干體積進(jìn)行模擬計(jì)算。樹形橫斷面近似于橢圓，通過測(cè)量伐倒木不同高度橫斷面橢圓的長(zhǎng)軸與短軸長(zhǎng)及相對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)，計(jì)算出長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比k，依此原理量取采樣并計(jì)算同種樹的k值。為了驗(yàn)證長(zhǎng)半軸a與短半軸長(zhǎng)b之間存在關(guān)系，保證短半軸與長(zhǎng)半軸比值k有意義，這里先做兩者的相關(guān)分析。將量取的所有參與的解析木的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)分別輸入SPSS17.0軟件，作出長(zhǎng)短軸的散點(diǎn)圖，去掉偏離度較大的點(diǎn)，通過做二者的相關(guān)分析得出相關(guān)分析結(jié)果如表1，從表1可知，兩者的相關(guān)性在0.01的置信區(qū)間內(nèi)達(dá)到0.996，為顯著相關(guān)。因此k值變化幅度不大，因此以k為常數(shù)參數(shù)建立的模型具有實(shí)際意義。

表1 橫斷面長(zhǎng)短半軸相關(guān)性分析結(jié)果

2.2 單株材積的模擬與分析

2.2.1k值固定時(shí)模型模擬。將樹干的橫斷面看做橢圓，橢圓面積用S表示，短半軸b與長(zhǎng)半軸a之比用k表示，k∈(0,1]，當(dāng)某種樹橫斷面的長(zhǎng)軸與短軸一樣大時(shí)k=1。用測(cè)高儀實(shí)際測(cè)活立木的高度用H表示。實(shí)際測(cè)量時(shí)的高度為h，周長(zhǎng)為l。樣木伐倒后，樹干小頭(樹干去梢后，樹干頂端)到地面處距離用h1表示,此處的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)用c表示。h處的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b。其示意圖可表示為圖1。設(shè)樹干中心線與樹干曲線的交點(diǎn)為A，則A點(diǎn)到地面的距離近似等于H。樹干的任意高度用z表示，z∈(0,H]，與z相對(duì)應(yīng)的橫斷面的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)用d表示，則由等比公式知：

圖1 模型示意圖

橫斷面面積：

由橢圓周長(zhǎng)公式；

周長(zhǎng)l=2π×短半軸長(zhǎng)+4(長(zhǎng)半軸長(zhǎng)-短半軸長(zhǎng))=2πka+4(a-ka)=(2kπ+4-4k)a

其中：測(cè)量高度h、該高度處的周長(zhǎng)l、樹高H，均可通過皮尺、測(cè)高儀量出，即l、h、H為已知數(shù)。橫斷面的短半軸長(zhǎng)與長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度之比k，可通過實(shí)際測(cè)量大量的伐倒木數(shù)據(jù)獲得。即k通過實(shí)踐可以得出，也為已知數(shù)。c為待定系數(shù)，可根據(jù)伐倒木出材時(shí)小頭的周長(zhǎng)來(lái)確定，一般來(lái)講，可將c值粗略的看做5 cm(當(dāng)c<5 cm時(shí)，材積可忽略不計(jì))。通過實(shí)際測(cè)量大量伐倒木，k(木荷)=0.944。

該方法的優(yōu)點(diǎn)：(1)克服了傳統(tǒng)林業(yè)中用胸徑尺測(cè)量時(shí)把橫斷面看成圓形的誤差，(實(shí)際中的橫斷面接近橢圓形非圓形)，使得測(cè)量值更加精確。(2)合適不同身高的人測(cè)量，隨意性增強(qiáng)。由于傳統(tǒng)的測(cè)量均取1.3 m高處作為測(cè)量對(duì)象，而在實(shí)際測(cè)量時(shí)由于每個(gè)測(cè)量者的實(shí)際身高不同，為此測(cè)量方便，在實(shí)際測(cè)量時(shí)很難保證測(cè)量的高度為1.3 m。隨著測(cè)量高度的不同，測(cè)量誤差也會(huì)增加。而用微積分方程計(jì)算時(shí)，可根據(jù)測(cè)量員的測(cè)量習(xí)慣，選取與自己身高相對(duì)應(yīng)的測(cè)量高度，只需在記錄時(shí)將測(cè)量的高度和該處的周長(zhǎng)對(duì)應(yīng)即可。因而減少了由于不同身高人測(cè)量時(shí)，因測(cè)量高度的不同而帶來(lái)的誤差。(3)此方法在測(cè)量分叉樹精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)方法?，F(xiàn)實(shí)生活中，樹的開叉現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生，目前的采取的方法是以1.3 m為界，只是粗略的認(rèn)為：當(dāng)開叉的高度大于1.3 m時(shí)計(jì)為一棵樹，小于1.3 m時(shí)計(jì)為兩棵樹。1.3 m這個(gè)界限在現(xiàn)實(shí)測(cè)量時(shí)很難精確判定，因?yàn)閷?shí)際情況1.29 m和1.30 m，位置基本相同，但卻因?yàn)?.29<1.3只能算一棵樹，因而當(dāng)開叉高度在1.3 m左右時(shí)，按此方法計(jì)算誤差較大。而微積分方法，可根據(jù)實(shí)際開叉的高度分別計(jì)算開叉前后的材積，大大提高了計(jì)算精度。

缺點(diǎn)：受光照、水分、土壤、周圍環(huán)境等因素的影響，對(duì)于同一地方同一種樹而言，k值會(huì)有變化，這里通過觀察k至的散點(diǎn)圖，選取比較集中的一些點(diǎn)，最終取其平均值作為k值。

2.2.2k值變化時(shí)模型模擬。從地表根徑至樹梢樹干的干形不斷發(fā)生變化，短半軸與長(zhǎng)半軸比值k并不是固定值，且直徑呈現(xiàn)出由大到小的變化規(guī)律。因此為了提高精確度，分別量取不同高度的周長(zhǎng)及短半軸與長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度進(jìn)行計(jì)算。每株樹木的橫斷面近似于橢圓，假設(shè)某種樹的r個(gè)橢圓截面，設(shè)這些橢圓截面的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)分別為 (a1,b1)，(a2,b2)……,(ar,br)，則可以得到短半軸與長(zhǎng)半軸的比值

(0)

設(shè)距離地面高z米處樹木的斷面周長(zhǎng)為l，則l與z的關(guān)系可表示為：

l=anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0

(1)

通過測(cè)不同高處的l值，帶入(1)式可求出ai(i=0,1,2……n)的值的具體值。橫斷面長(zhǎng)、短半軸a、b關(guān)系可表示為：

b=ka

(2)

橢圓周長(zhǎng)公式可表示為：

l=2πb+4(a-b)=2πka+4(a-ka)

(3)

由公式(2)、(3)求得

(4)

由(1)式和(4)式可得到該單樹木的材積如下：

此方法與上面方法相比，優(yōu)點(diǎn)：此方法將減少將k值看做定值帶來(lái)的誤差，由于樹干的橫斷面從上到下短長(zhǎng)半軸之比不斷發(fā)生變化，因此，從理論上將該方法計(jì)算結(jié)果比第一種方法更為精確。缺點(diǎn)：由于測(cè)量次數(shù)過多，增大了工作量，且由于測(cè)量數(shù)字較多，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

3 結(jié)論與討論

傳統(tǒng)的測(cè)樹學(xué)方法中在計(jì)算活立木材積過程中提到很多種方法，但各種方法都存在著一定的不足與誤差。以湖南省株洲市炎陵縣青石崗林場(chǎng)木荷林為例，在數(shù)學(xué)方法為指導(dǎo)的前提下，分析樹木形狀特征，將微積分理論運(yùn)用到材積計(jì)算中，通過實(shí)際實(shí)驗(yàn)調(diào)查，得出其橫斷面長(zhǎng)短半軸之比及單株材積的計(jì)算公式，微積分材積模型對(duì)確定林木材積、出材量、林木資產(chǎn)價(jià)值評(píng)估等方面具有重要意義。由于此方法隨意性強(qiáng)，不需要測(cè)固定高，因此這給實(shí)際測(cè)量帶來(lái)了極大的方便。另一方面，通過測(cè)量原木大小頭的周長(zhǎng)及原木長(zhǎng)度，即可通過公式快速的計(jì)算出原木的材積。這給原木資產(chǎn)評(píng)估帶來(lái)了極大的方便，從而為原木的交易市場(chǎng)提供參考依據(jù)。利用微積分求得的單株材積理論上比傳統(tǒng)查閱一元、二元材積表計(jì)算操作性好、可行性強(qiáng)、精確度高、隨意性強(qiáng)，既方便各種測(cè)樹者測(cè)量又提高了對(duì)分叉樹的計(jì)算。從而為今后森林資源經(jīng)濟(jì)價(jià)值評(píng)估、森林資源動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)及其發(fā)展趨勢(shì)分析提供理論、方法和技術(shù)。但由于條件限制，用來(lái)實(shí)驗(yàn)的株數(shù)相對(duì)較少，k值的精確程度有待提高；實(shí)驗(yàn)材料的實(shí)際材積未測(cè)，具體實(shí)驗(yàn)精度未確定，均需要今后的進(jìn)一步論證。

因按照?qǐng)A和橢圓的公式求得的面積都大于樹干的實(shí)際橫斷面積(實(shí)際卵形)，其計(jì)算誤差與樹皮厚度有關(guān)。因此，在實(shí)際計(jì)算過程中，可根據(jù)不同樹種的樹皮厚度，帶入去掉皮后的橫斷面周長(zhǎng)，從而減少因樹皮厚度而帶來(lái)的誤差。