淺談張量的通俗解釋

梁鐸強(qiáng) 劉芳遠(yuǎn)

摘要：本文嘗試通俗解釋張量，讓張量學(xué)習(xí)者能抓住學(xué)習(xí)的主線。

關(guān)鍵詞：張量; 通俗解釋

1 前言

張量屬于代數(shù)的范疇，是文獻(xiàn)中最復(fù)雜、最容易混淆的基本數(shù)學(xué)概念之一。即使是在維基上搜索“張量”一詞，也要小心消除歧義。作為一個(gè)讀者，如果你不理解第一個(gè)關(guān)于張量的解釋，那么在閱讀第三個(gè)解釋之后，你似乎理解了一點(diǎn)，然后在閱讀第五個(gè)解釋之后，你發(fā)現(xiàn)還有上百個(gè)解釋是不同的。大部分工科學(xué)生懼怕張量的學(xué)習(xí)，為此，本文嘗試通俗解釋張量，讓他們學(xué)習(xí)張量時(shí)能盡快入門。

2 正文

我們?cè)谡n堂上進(jìn)行了嘗試，發(fā)現(xiàn)效果不錯(cuò)。具體教法如下。

1） 在物理中，張量就是不隨坐標(biāo)系變化而變化的量[1]。比如一根木頭，隨意割出一個(gè)長(zhǎng)方體，各個(gè)面的彈性系數(shù)是不同的。六個(gè)面，18個(gè)量。由于是對(duì)稱的，所以我們把這個(gè)9個(gè)量的二階矩陣稱為張量。以此類推，可以得出應(yīng)力張量、應(yīng)變張量。注意這些張量可以是固體存在，也可以適用于流體[2]。

2） 上述是牛頓力學(xué)范疇。其他領(lǐng)域也是一樣的，比如晶體的電導(dǎo)率、磁化率、介電常數(shù)、熱導(dǎo)率、極化率、擴(kuò)散系數(shù)、溫差電動(dòng)勢(shì)、都是二階張量。

3） 其實(shí)量子力學(xué)也可以仿造之，得出慣性張量（類似彈性系數(shù)張量）和極化張量（類似應(yīng)變張量）。極化張量表示核外電子在同一場(chǎng)強(qiáng)下的不同方向上的慣性和變形情況;

4） 慣性張量和極化張量是電子的防御情況。如果考慮入射的電磁波，那么光會(huì)發(fā)生偏振。光通過某些物質(zhì)，偏振面發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，這個(gè)現(xiàn)象稱為旋光現(xiàn)象。 這些物質(zhì)所具有的這種性質(zhì)成為旋光效應(yīng)或旋光性。把不同方向的旋光性組合成旋光張量;

5） 電和磁是電磁波的兩個(gè)分量。對(duì)于確定的電磁波，顯然電和磁是不隨坐標(biāo)系變化而變化的，所以可以定義電磁張量。此時(shí)，麥克斯韋方程就可以從矢量形式改為張量形式;

6） 應(yīng)力-能量張量，也稱應(yīng)力-能量-動(dòng)量張量、能量-應(yīng)力張量、能量-動(dòng)量張量。在物理學(xué)中是一個(gè)張量，描述能量與動(dòng)量在時(shí)空中的密度與通量（flux），其為牛頓物理中應(yīng)力張量的推廣。在廣義相對(duì)論中，應(yīng)力-能量張量為重力場(chǎng)的源，一如牛頓重力理論中質(zhì)量是重力場(chǎng)源一般。應(yīng)力-能量張量具有重要的應(yīng)用，尤其是在愛因斯坦場(chǎng)方程。

7） 在數(shù)學(xué)方面，人們發(fā)現(xiàn)曲率也是張量。于是定于了很多曲率張量，比如黎曼張量、里奇張量、外爾張量、愛因斯坦張量。

8） 數(shù)學(xué)是物理的抽象。數(shù)學(xué)認(rèn)為一切皆流形，數(shù)學(xué)家的張量就定義為n維流形切空間上的多重線性映射。這就很難通俗化了?？偟膩碚f就是，只有取極限的時(shí)候，流形就等同于歐式空間。那么再?gòu)?fù)雜的張量，只要給出流形上任意一點(diǎn)的應(yīng)力，都是可以通過多重映射得出一個(gè)實(shí)數(shù)集。類似給出了彈性系數(shù)張量，我們就可以計(jì)算出一直應(yīng)力的任意一點(diǎn)的應(yīng)變[3]。

9） 張量的計(jì)算公式比較抽象，很難通俗解釋。不過張量總是可以使用多維數(shù)組表示，所以張量的計(jì)算可以程序花了。有利的方面就是我們可以丟掉繁瑣的計(jì)算，不利的方面就是我們很難理解運(yùn)算的奧秘了[4]。通俗一點(diǎn)講：張量是對(duì)標(biāo)量，矢量，矩陣的推廣。張量的表達(dá)看起來像是數(shù)組，其實(shí)每個(gè)值是在對(duì)應(yīng)空間上的分量的大小?；蛄亢头至恳黄鹦纬闪藦埩康谋磉_(dá)，它在物理學(xué)上的優(yōu)點(diǎn)是，當(dāng)基向量發(fā)生變化的時(shí)候（坐標(biāo)系發(fā)生變化或者說是觀察方向發(fā)生了變化），對(duì)應(yīng)的分量也會(huì)發(fā)生變化，但整個(gè)張量卻能保持不變。一階張量可以理解成一個(gè)向量，二階張量可以理解成矩陣，三階張量可以理解成立方體，四階張量可以理解成立方體組成的一個(gè)向量，五階張量可以理解成立方體組成的矩陣，依次類推。

10）在舊物理學(xué)書籍中，張量通常被定義為以某種方式變換的下標(biāo)對(duì)象的集合，并且可以使用下標(biāo)對(duì)象寫出變換規(guī)則。但是這個(gè)定義并沒有提供很多關(guān)于張量到底是什么的見解。特別是，這個(gè)定義導(dǎo)致了兩個(gè)誤解：首先，張量的定義是由其變換屬性（它如何變化）定義的，這使得很難捕捉實(shí)體本身（它是什么）。第二，張量是由其分量定義的，而不像是存在于基之外的實(shí)體。物理學(xué)家總是使用張量的分量形式進(jìn)行計(jì)算，而不區(qū)分張量和矩陣。的確，組件形式使用起來非常方便，但它不能完全捕獲操作對(duì)象。現(xiàn)代數(shù)學(xué)視圖定義：張量是一個(gè)多線性函數(shù)。

按這條思路講解張量，學(xué)生反應(yīng)不錯(cuò)。

3 結(jié)論

實(shí)踐證明，通過對(duì)張量的通俗講解，學(xué)生可以迅速入門張量的學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]Leedham-Green C R， O’Brien E A. Tensor products and projective geometries [J]. Journal of Algebra， 1997，189（2）： 514～528.

[2]Lu J， Papadopoulos P. Representations of Kronecker powers of orthogonal tensors with applications to material symmetry [J]. Int. J. Solids Struct， 1998， 35（30）：3935～3944.

[3]Miehe C. Comparison of two algorithms for the computation of fourth-order isotropic tensor functions [J].Comput. Struct， 1998， 66（1）： 37～43.

[4]Portugal R. An algorithm to simplify tensor expressions [J]. Comput. Physics Communications， 1998， 115（2）：215～230.

（2021年度廣西高校中青年教師科研基礎(chǔ)能力提升項(xiàng)目《虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)在廣西少數(shù)民族室內(nèi)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用研究》項(xiàng)目合同編號(hào)：2021KY1264）