結(jié)構(gòu)力學(xué)中計算自由度的算法及其應(yīng)用

夏雨

（喀什大學(xué) 土木工程學(xué)院，喀什新疆 844000）

0 引言

在實際工程結(jié)構(gòu)中，桿件結(jié)構(gòu)是由若干桿件共同組合并與地基相連的整體，可承受荷載.不考慮材料的變形，受到荷載的作用體系能保持其幾何形狀和位置不變，這稱為幾何不變體系，其幾何構(gòu)造是穩(wěn)定的.另有一類體系，盡管只受到很小的荷載的作用，也會引起很大的形狀或位置的改變，其原因不是材料本身的彈性變形，而是體系內(nèi)部的組成不健全或支承的布置不合理，這類體系稱為幾何可變體系，其幾何構(gòu)造是不穩(wěn)定的[1].

按照幾何學(xué)的原理，對體系進行幾何構(gòu)造分析就是對體系發(fā)生運動的可能性進行分析，檢查它是否是一個幾何不變體系.幾何可變體系是不能用來作為結(jié)構(gòu)的，因為在任何種類的荷載作用下建筑工程結(jié)構(gòu)必須能保持自己的形狀和位置.為此，需要用幾何構(gòu)造分析來研究體系的穩(wěn)定性及其構(gòu)造規(guī)律[2].體系一般可分為幾何不變體系和幾何可變體系，其中幾何可變體系又可分為常變體系和瞬變體系.

體系結(jié)構(gòu)一般都必須是幾何不變體系，而不能采用幾何可變體系.因此體系的幾何構(gòu)造研究主要是關(guān)于體系不變性的分析.在這方面，判斷幾何不變體系有很好的方法，如一元體、二元體技巧，兩剛片、三剛片規(guī)則（統(tǒng)稱為鉸三角規(guī)則），還有計算自由度法以及零載法等等.

由于在結(jié)構(gòu)力學(xué)中進行體系構(gòu)造分析，在超靜定結(jié)構(gòu)中確定力法的多余約束數(shù)以及確定位移法獨立線位移數(shù)等，都涉及體系計算自由度的問題.特別是，當(dāng)采用計算機求體系結(jié)構(gòu)的內(nèi)力時，為防止其計算簡圖因簡化變?yōu)閹缀慰勺凅w系發(fā)生運算“溢出”而停機，同樣也需要求得體系的計算自由度.由此可見，計算自由度在結(jié)構(gòu)力學(xué)研究和教學(xué)以及工程設(shè)計中都具有非常重要地位，對計算自由度的研究在理論和應(yīng)用上都具有重要意義和實際價值.

本文將從體系的自由度和約束概念出發(fā)，針對計算自由度的算法、計算自由度的不同取值對幾何構(gòu)造特征的影響及計算自由度的應(yīng)用等方面進行實證分析和研究，以期為幾何構(gòu)造分析的研究和應(yīng)用提供參考和幫助.

1 自由度和約束

1.1 體系自由度

完全確定體系位置所需要的獨立坐標的數(shù)目稱為自由度.由理論力學(xué)可知，一個動點在空間有3 個自由度，確定空間一動點的位置需要3個獨立坐標；一個剛體在空間有6 個自由度，確定空間一剛體的位置需要6 個獨立坐標；在平面內(nèi)，一個動點有2 個自由度；幾何形狀不變的平面體簡稱為剛片，一個剛片在平面內(nèi)有3 個自由度[1].

1.2 體系約束

體系的約束又稱為體系的聯(lián)系或限制.平面體系并非是自由的體系，各部分之間以及桿件與基地之間總是存在一定聯(lián)系，它對體系各部分之間的位置關(guān)系形成幾何學(xué)上的限制，這種限制稱為幾何約束，簡稱約束[1-3].

體系的約束可分為必要約束和多余約束.一般將使體系成為幾何不變而必需的約束，稱為必要約束，其能有效減少體系自由度，每一個必要約束都使體系減少1 個自由度；而把必要約束之外不能減少體系自由度的約束稱為多余約束.

對于體系的不變和可變、常變和瞬變以及有無多余約束的情況，可表示如下[2]:

約束的計算方法如下[3]：

（1）連接2 個剛片的1 個單鏈桿（或支桿）相當(dāng)于1 個約束；

（2）連接2 個剛片的1 個單鉸（連接2 個剛片的鉸）相當(dāng)于2 個約束；連接n個剛片的1 個復(fù)鉸（連接2 個以上剛片的鉸）相當(dāng)于n－1 個單鉸，提供2（n－1）個約束；

（3）連接2 個剛片的單剛結(jié)點相當(dāng)于3 個約束；連接n個剛片的復(fù)剛結(jié)點（連接2 個以上，剛片的剛性連接）相當(dāng)于n－1 個單剛結(jié)點，提供3（n－1）個約束.

2 計算自由度

體系的自由度數(shù)等于其各組成部分互不聯(lián)結(jié)時總自由度數(shù)減去體系中的必要約束數(shù).當(dāng)上述差值為零時，就構(gòu)成幾何不變體系.也就是說，體系各組成部分總自由度數(shù)與必要約束數(shù)之差為零是體系幾何不變的充分條件[1].

但對于許多復(fù)雜體系來說，必要約束并非都能易直觀判定，因此就需要引入計算自由度的概念.體系的計算自由度定義為體系各組成部分總的自由度數(shù)減去體系中總的約束數(shù)，記為W.

體系的計算自由度，它可能大于零也可能等于或小于零.當(dāng)所有約束全部是必要約束時，體系的自由度就等于體系的計算自由度；當(dāng)體系中的約束包含有多余約束時，體系的自由度就大于體系的計算自由度.由此可知，計算自由度小于零是體系幾何不變的必要條件.如果計算自由度大于零，那么體系一定是幾何可變的.所以，確定計算自由度的數(shù)目也是判定體系幾何可變性的方法之一[4-6].

3 計算自由度的算法

對于體系的約束，以g代表單剛結(jié)點個數(shù)，以h代表單鉸結(jié)點個數(shù)，以b代表單鏈桿根數(shù)；對于自由部件，以m代表體系中自由剛片的個數(shù)，以j代表自由鉸結(jié)點個數(shù).則體系的計算自由度W主要有結(jié)點法、剛片法、混合法和直接法四種算法.

3.1 結(jié)點法

將平面體系看作為受鏈桿約束的結(jié)點系.如果取自由鉸結(jié)點（j個）為研究對象，自由度為2j；以其約束結(jié)點的單鏈桿（b根）為約束，約束數(shù)就為b，則計算自由度為

結(jié)點法僅適用于由鉸和單鏈桿構(gòu)成的鉸結(jié)鏈桿體系.該算法表達式簡潔，卻不適用于含有剛結(jié)點的體系，應(yīng)用范圍受限.

實例1：圖1(a)和圖1(b)為兩個平面桿件體系，采用結(jié)點法求兩個體系的計算自由度[2].

圖1 平面桿件體系示意圖一

解這兩個體系都是全部由鏈桿組成的鉸結(jié)體系，由這兩個體系可得下列結(jié)果：結(jié)點數(shù)j=6，單鏈桿數(shù)b=9.因此，可得計算自由度為

這里，由于體系沒有接到地基，作為一個整體相對于地基有3 個自由度.根據(jù)幾何構(gòu)造分析可知：圖1(a)是幾何不變的，無多余約束；圖1(b)是瞬變的，有多余約束的體系[5].

3.2 剛片法

把平面桿件體系看作是受鉸結(jié)、剛結(jié)和鏈桿約束而組成的剛片系.若取剛片（m個）為研究對象，自由度為2m.以約束剛片的單剛結(jié)點（g個）、單鉸結(jié)點（h個）和單鏈桿（b根）為約束，約束數(shù)分別為3b、2h和b，總約束數(shù)為3g+2h+b，則計算自由度為[3]

剛片法適用于任何體系，但是容易算錯，為了避免出錯，可采用如下技巧.首先去掉所有約束，只畫出剛片；其次逐步加上約束；接著再加剛結(jié)點；然后加鉸結(jié)點；最后加鏈桿.采用這五步法能有效避免錯誤[1-3].

實例2：試計算如圖2 所示的平面杠桿體系的計算自由度[3].

圖2 平面桿件體系示意圖二

解采用剛片法.根據(jù)選擇大剛片的原則，選取由點A，G，D，E，H，B包圍的帶閉合框的部分作為一個剛片，EFC為另一個剛片，剛片數(shù)為2，且第一個剛片的約束數(shù)是3；結(jié)點E連接兩個剛片，是單鉸結(jié)點；最后還有4 根單鏈桿與基礎(chǔ)相連.可得計算自由度為

3.3 混合法

混合法是取自由剛片（m個）和自由鉸結(jié)點（j個）作為研究對象，自由度為3m+2j.以約束剛片的單剛結(jié)點（g個）、單鉸結(jié)點（h個）和單鏈桿（b個）為約束，總約束數(shù)為3g+2h+b，其計算自由度為

混合法適用于由鉸結(jié)鏈桿體系（無剛結(jié)點）以及由剛片構(gòu)成的體系.注意的是，在分析過程中必須區(qū)分哪些部分是研究對象，哪些部分是約束[3].

實例3：采用混合法試求如圖3 所示體系的計算自由度.

圖3 平面桿件體系示意圖三

解取ACDEB為自由剛片，F(xiàn)，G，H，I，J為自由結(jié)點，而C，D，E三點處的鉸不能再看作自由結(jié)點（因它們已固定在剛片上），剛片ACDEB由兩個固定支座與基礎(chǔ)相連，約束為6 個；結(jié)點F，G，H，I，J用10 根鏈桿分別連到基礎(chǔ)和剛片，約束為10 個.可得計算自由度為

通過以上實例，上述三種算法的應(yīng)用原則可歸納如下[5]：

（1）為減少計算量，選擇剛片時盡可能選擇大剛片；

（2）對于由兩端鉸結(jié)的桿件組成的鉸結(jié)鏈桿體系，采用剛片法較簡單；

（3）對于含有組合結(jié)點的體系采用結(jié)點法和混合法都可以.

3.4 直接法

為了簡化，統(tǒng)一上述三種方法，對于求桿件體系的計算自由度，可采用直接法[6].對于平面桿件體系，直接法是把桿件（m根）看成研究對象，自由度為3m；而把單剛結(jié)點（g個）和單鉸結(jié)點（h個）看成約束，總約束數(shù)是3g+2h.體系計算自由度為

相比于前面的三種方法，直接法研究對象清晰，運算公式統(tǒng)一，適合編程計算，可準確快速求得計算自由度，也可用來有效確定結(jié)構(gòu)超靜定的次數(shù)[6].

實例4：試采用直接法求如圖4 所示的平面桿件體系計算自由度[6].

圖4 平面桿件體系示意圖四

解采用直接法.把桿件作為研究對象，共有12 根桿（包括支座鏈桿），分別標記為1，2，3，…，12，則其自由度數(shù)總和為

對鉸結(jié)點與剛結(jié)點數(shù)目統(tǒng)計如下：單鉸結(jié)點有A，C，D，F(xiàn)，G，J共6個，復(fù)鉸結(jié)點有B，E，H，I共4個，單剛結(jié)點有D，G共2 個.由于每個單鉸結(jié)點和單剛結(jié)點分別有2 個和3 個約束；同時復(fù)鉸（或復(fù)剛結(jié)點）等效為單鉸（或單剛結(jié)點），即n（n>2）桿相交而成的復(fù)鉸結(jié)點（或復(fù)剛結(jié)點）等效為n－1 個單鉸結(jié)點（或單剛結(jié)點）.則總約束數(shù)為

可得計算自由度為

3.5 四種算法的對比

表1 對四種算法在適用性、優(yōu)劣性進行了對比，便于我們對對四種算法有更直觀和全面的理解.

表1 四種算法的適用性和優(yōu)劣勢的對比

4 計算自由度的應(yīng)用

根據(jù)計算自由度的不同取值范圍，分析體系的幾何構(gòu)造，可得到如下結(jié)論.

（1）當(dāng)W>0時，如果計算自由度大于零時，則體系缺乏必要的約束，一定是幾何常變的.

實例5：試求如圖5(a)所示平面體系的計算自由度.

圖5 平面桿件體系示意圖五

解如圖5(a)所示，體系剛片2個，單鉸1個，支座鏈桿3 根.采用剛片法，可得計算自由度為

該體系不滿足幾何不變的必要條件，是幾何可變的.如圖5(b)所示，容易看出，有一個多余約束.

（2）當(dāng)W=0時，如果計算自由度等于零時，則體系具有保證幾何不變所需的最少約束數(shù)，但并不能判斷出體系是幾何不變的.因為當(dāng)無多余約束時，是幾何不變的；當(dāng)有多余約束時，卻是幾何可變的.

實例6：計算圖6 所示桿件體系的計算自由度，并進行該體系的幾何構(gòu)成分析[3].

圖6 平面桿件體系示意圖六

解采用結(jié)點法，可得計算自由度為

使用去掉二元體或者增加二元體的技巧，可判斷該體系為幾何不變體系，且無多余約束.

實例7：求如圖7 所示體系的計算自由度，并進行幾何構(gòu)造分析[3].

圖7 平面桿件體系的示意圖七

解采用剛片法，可得計算自由度為

幾何構(gòu)造分析如圖8 所示，擴大基礎(chǔ)至剛片I，然后依次增加二元體①和②，最后剩下的EFG可發(fā)生上下微小運動，體系為幾何瞬變體系，有1 個多余約束.

圖8 圖7 體系的幾何構(gòu)造分析示意圖

（3）當(dāng)W<0時，如果計算自由度小于零時，則體系具有多余約束，但不能判斷出體系一定是幾何不變的；體系可能是不變，也可能是可變.

實例8：求如圖9 所示體系計算自由度，并分析幾何構(gòu)造特征[5].

圖9 平面桿件體系的示意圖八

解如圖9 所示，采用混合法，可得其計算自由度為

如圖10 所示，桿IA，AD和DI可看成是鉸結(jié)三角形，內(nèi)部有兩個多余鏈桿約束EB和FC，然后與基礎(chǔ)通過支座A和支座鏈D相連，組成幾何不變結(jié)構(gòu).分析整個體系，在體系上依次去掉二元體④③②①，最后剩下鏈桿支座K，可自由運動.因此，體系為常變體系，有2 個多余約束.

圖10 圖9 體系的幾何構(gòu)造分析示意圖

實例9：試求如圖11 所示體系的計算自由度，并進行幾何構(gòu)造分析[5].

圖11 平面桿件體系的示意圖九

解如圖12 所示，采用混合法，可得計算自由度為

圖12 圖11 體系的幾何構(gòu)造分析示意圖

其中，m=1（剛片F(xiàn)EHI），j=5（結(jié)點A，B，C，D，E），g=0，h=0，b=16（鏈桿10根，支桿6 根）.可得計算自由度為

構(gòu)造分析如圖12 所示，體系內(nèi)部（先撤除支座及地基）由3 個剛片I、II、III 用3 個瞬鉸兩兩相連，且3 個瞬鉸在一直線上.可知，體系為幾何瞬變體系，有1 個多余約束.

實例10：求如圖13 所示體系的計算自由度，并分析幾何構(gòu)造[5].

圖13 體系幾何構(gòu)造分析示意圖

解采用直接算法.體系桿件總數(shù)17個，體系自由度數(shù)為a=17×3=51，鉸結(jié)點的總數(shù)26個，總約束有d=26×2=52 個.可得計算自由度為

經(jīng)分析可知，體系是幾何不變的，有1 個多余約束，體系為超靜定結(jié)構(gòu).

綜上所述，根據(jù)計算自由度取值，可對體系的幾何構(gòu)造特性得出一些結(jié)論[2]，具體如表2所示.

表2 平面桿件體系幾何構(gòu)造特性

體系的幾何不變性判斷，可根據(jù)一元體、二元體技巧，兩剛片、三剛片和三角鉸（統(tǒng)稱鐵三鉸法）等方法[1-6]，這里不再贅述.

5 結(jié)語

本文介紹了自由度和約束，概述了計算自由度和計算自由度的計算方法，并針對平面桿件體系計算自由度的不同取值，以實例分析了體系的幾何構(gòu)造特征.結(jié)果表明，計算自由度是幾何構(gòu)造分析的重要參數(shù)，結(jié)合體系的不變性和多余約束，可在一定程度上反映體系的幾何構(gòu)造特征.

通過計算自由度以及考慮體系的不變性，可進一步確定體系的幾何構(gòu)造特征.當(dāng)自由度總數(shù)大于約束總數(shù)體系為幾何可變，不能用作結(jié)構(gòu).當(dāng)自由度總數(shù)等于約束總數(shù)，如體系為幾何不變，則無多余約束，體系為靜定結(jié)構(gòu)；如體系為幾何可變，則有多余約束.當(dāng)自由度總數(shù)小于約束總數(shù)體系，有多余約束，若體系為幾何可變，則為常變或瞬變；若體系為幾何不變，則為超靜定結(jié)構(gòu).