基于層次分析法的卓越師范生培養(yǎng)質(zhì)量評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)模型

程宏，王曉峰

（閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建漳州 363000）

教育部2018 年9 月發(fā)布了《關(guān)于實(shí)施卓越教師培養(yǎng)計(jì)劃2.0 的意見》[1]，針對(duì)當(dāng)前師范生在培養(yǎng)方式、目標(biāo)定位、師資保障、實(shí)習(xí)實(shí)踐、考核方式等方面存在的問題，提出分類推進(jìn)的指導(dǎo)意見.國家“十四五”規(guī)劃中也指出，全社會(huì)要建立高水平的現(xiàn)代教師教育體系，建立健全教師教育評(píng)價(jià)制度和評(píng)價(jià)機(jī)制，力爭到2035 年形成具有實(shí)踐型特色的高水平教師人才培養(yǎng)體系[2-5].

20 世紀(jì)70 年代，美國匹茨堡大學(xué)教授、運(yùn)籌學(xué)家Satty 提出了一種簡單、靈活且實(shí)用的多準(zhǔn)則決策方法——層次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)[6].該方法的優(yōu)點(diǎn)是利用較少的定量信息(主要是建立各指標(biāo)層之間判斷矩陣)建立決策思維過程，從而能為多目標(biāo)、多準(zhǔn)則的復(fù)雜決策問題最終提供一種簡便的決策方法和數(shù)學(xué)模型[7-11].比如，對(duì)于三層決策問題，設(shè)第一層只有1個(gè)目標(biāo)，第二層和第三層分別有m和n個(gè)因素，且第二層m個(gè)因素A1,A2,…,Am對(duì)第一層的權(quán)向量為a1,a2,…,am，第三層n個(gè)指標(biāo)B1,B2,…,Bn對(duì)第二層因素Aj的層次單排序?yàn)閎1j,b2j,…,bmj，則第三層B1,B2,…,Bn對(duì)第一層的層次總排序分別為，即第三層第i個(gè)因素Bi對(duì)總目標(biāo)的權(quán)值為.宋陽和佟延秋[12]利用層次分析法研究了學(xué)生微格教學(xué)評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)模型，通過該模型對(duì)學(xué)生的師范技能做出科學(xué)的判斷.董占明和左光紀(jì)[13]試用層次分析法建立一個(gè)評(píng)價(jià)高校學(xué)生成績的數(shù)學(xué)模型以全面反映學(xué)生的綜合素質(zhì).張軍芳等人[10]運(yùn)用層次分析法對(duì)師范生已有教育實(shí)習(xí)體系標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模分析，對(duì)師范生的實(shí)習(xí)中各個(gè)環(huán)節(jié)因素進(jìn)行量化分析，對(duì)各項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行了層次總排序和一致性檢驗(yàn)，分析結(jié)果對(duì)今后的教育實(shí)習(xí)和學(xué)生提升教育教學(xué)技能都有一定的指導(dǎo)和借鑒意義.

本文從定量分析的角度研究卓越師范生數(shù)學(xué)教師人才培養(yǎng)質(zhì)量評(píng)價(jià)體系的構(gòu)建，通過層次分析法分析各級(jí)指標(biāo)層對(duì)師范生培養(yǎng)質(zhì)量總目標(biāo)的影響，提出改進(jìn)卓越師范生培養(yǎng)質(zhì)量的建議和措施，為健全師范生人才培養(yǎng)工作、提高師范生培養(yǎng)質(zhì)量奠定基礎(chǔ).

1 卓越師范生培養(yǎng)質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)體系層次結(jié)構(gòu)的建立

師范類專業(yè)認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)主要從踐行師德、學(xué)會(huì)教學(xué)、學(xué)會(huì)育人、學(xué)會(huì)發(fā)展四個(gè)方面闡述了對(duì)畢業(yè)生的培養(yǎng)目標(biāo).借助于師范專業(yè)認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，制定卓越師范生數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)體系，詳見表1.

表1 卓越師范生數(shù)學(xué)教師人才培養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)考核指標(biāo)體系

在表1中，將卓越師范生人才培養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)體系按照層次結(jié)構(gòu)劃分為三個(gè)層次：第一層是目標(biāo)層，用O表示；第二層是準(zhǔn)則層，包含6個(gè)一級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)，用A（ii=1,2,…,6）表示；第三層是子準(zhǔn)則層，共給出26個(gè)二級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)，用B（jj=1,2,…,26）表示.

2 層次分析法模型的建立

2.1 判別矩陣與權(quán)向量

在層次分析法中，同一層中的各項(xiàng)指標(biāo)對(duì)上一層的貢獻(xiàn)程度不是均等的，帶有不同的權(quán)重.一般地，設(shè)第k層某項(xiàng)的總成績y由第k+1 層的n項(xiàng)成績x1,x2,…,xn來確定，則有y=，其中：ωi是第i項(xiàng)的權(quán)重，0 <ωi<1且=1.為確定權(quán)系數(shù)ωi，我們采用了成對(duì)比較，即從x1,x2,…,xn中任取兩項(xiàng)xi和xj比較它們對(duì)y的貢獻(xiàn)程度.按照Saaty評(píng)價(jià)尺度表示[7]，可按以下標(biāo)度給賦值：若aij=1，則認(rèn)為xi與xj對(duì)目標(biāo)的貢獻(xiàn)程度相同；若aij=3，則認(rèn)為xi比xj對(duì)目標(biāo)的貢獻(xiàn)程度稍強(qiáng)；若aij=5，則認(rèn)為xi比xj對(duì)目標(biāo)的貢獻(xiàn)程度強(qiáng)；若aij=7，則認(rèn)為xi比xj對(duì)目標(biāo)的貢獻(xiàn)程度明顯的強(qiáng)；若aij=9，則認(rèn)為xi比xj對(duì)目標(biāo)的貢獻(xiàn)程度絕對(duì)的強(qiáng)；若aij=2,4,6,8，則認(rèn)為xi與xj對(duì)目標(biāo)的貢獻(xiàn)程度處于兩個(gè)相鄰等級(jí)之間.若元素xi與xj對(duì)目標(biāo)的貢獻(xiàn)程度之比為aij，則元素xj與xi對(duì)目標(biāo)的貢獻(xiàn)程度之比為

根據(jù)上述評(píng)價(jià)模型評(píng)價(jià)指標(biāo)體系層次結(jié)構(gòu)，采用Saaty評(píng)價(jià)尺度法構(gòu)造判別矩陣

矩陣G的唯一特征根λ對(duì)應(yīng)的特征向量ω就是各因素對(duì)目標(biāo)的影響權(quán)向量，即有Gω=λω.

2.2 計(jì)算判斷矩陣的最大特征根及特征向量

2.3 對(duì)判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)

計(jì)算一致性指標(biāo)CI=，其中n為判斷矩陣的階數(shù)，令CR=，稱CR為隨機(jī)一致性比率，其中RI表示平均隨機(jī)一致性指標(biāo)，具體取法：當(dāng)階數(shù)n依次取1,2,…,9時(shí)，RI分別取為0,0,0.52,0.89,1.12,1.26,1.36,1.41,1.46，如果判別矩陣G所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)一致性比率CR能夠充分小，在具體運(yùn)算中，通常認(rèn)為小于0.1，則可判別矩陣G是充分接近一致陣的，其λmax對(duì)應(yīng)的特征向量ωmax可近似作為權(quán)向量.

3 層次分析法模型的求解

3.1 構(gòu)建判斷矩陣

準(zhǔn)則層Ai對(duì)目標(biāo)層O權(quán)重的判斷矩陣記為OAi，子準(zhǔn)則層Bj對(duì)準(zhǔn)則層Ai權(quán)重的判斷矩陣記為AiBj.為較客觀準(zhǔn)確的判斷各子準(zhǔn)則層對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重，我們在我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)師范專業(yè)2018級(jí)和2019 級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了問卷調(diào)查，問卷調(diào)查采用“問卷星”網(wǎng)絡(luò)填報(bào)方式進(jìn)行，共收到有效問卷360份.我們采用統(tǒng)計(jì)分析方法對(duì)各指標(biāo)權(quán)重進(jìn)行了數(shù)據(jù)處理，按照Satty 提出的標(biāo)度法，我們建立如下七個(gè)判斷矩陣：

3.2 判斷矩陣一致性檢驗(yàn)

按照層次分析法，對(duì)上述7個(gè)判斷矩陣逐一進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，驗(yàn)證各自隨機(jī)一致性比率是否小于0.1.對(duì)于矩陣OAi，先計(jì)算矩陣OAi每一行指標(biāo)元素的積，即

Gi=[5040,15,1,0.033333,0.014286,0.027778]T，計(jì)算Gi的n次方根

=[4.1407,1.5704,1.0000,0.56730,0.49259,0.55032]T，接下來對(duì)向量進(jìn)行歸一化，得ω=[0.49760,0.18872,0.12017,0.068174,0.059196,0.066134]T，則ω為所求特征向量，計(jì)算矩陣OAi的最大特征值λmax=6.6055，然后進(jìn)行一致性檢驗(yàn)[15]，則

所以可以認(rèn)為判斷矩陣OAi具有滿意的一致性.

對(duì)于矩陣A1Bj，每一行指標(biāo)元素的積Gi=[0.75,20,0.066667]T，計(jì)算Gi的n次方根=[0.90856,2.7144,0.40548]T，歸一化后得ω=[0.22554,0.67381,0.10065]T，計(jì)算矩陣A1Bj的最大特征值λmax=3.0858，則

所以可以認(rèn)為判斷矩陣A1Bj也具有滿意的一致性.對(duì)剩余的五個(gè)判斷矩陣A2Bj,A3Bj，A4Bj，A5Bj和A6Bj做同樣的計(jì)算，可得如下一致性檢驗(yàn)，詳見表2.

表2 卓越師范生數(shù)學(xué)教師人才培養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)考核指標(biāo)一致性檢驗(yàn)

從表2可以看出，7個(gè)層次單排序的CR值均小于0.1，該7個(gè)層次單排序都通過一致性檢驗(yàn).

3.3 層次總排序及其一致性檢驗(yàn)

由表2 可知，單層次的權(quán)重排序比較單一，不能從整體上全面對(duì)卓越師范生數(shù)學(xué)教師人才培養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)考核指標(biāo)進(jìn)行分析.為此，還需要經(jīng)過層次總排序，才能直觀了解到所有的因素對(duì)于卓越師范生數(shù)學(xué)教師人才培養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)考核指標(biāo)影響程度，構(gòu)造成對(duì)比較矩陣進(jìn)而得到權(quán)重及組合權(quán)重.考核指標(biāo)層次排序詳見如表3.

表3 卓越師范生數(shù)學(xué)教師人才培養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)考核指標(biāo)層次總排序

層次總排序一致性指標(biāo)為

層次總排序隨機(jī)一致性指標(biāo)為

從而可得層次總排序一致性比率為

因此，層次總排序的計(jì)算結(jié)果具有滿意的一致性.

3.4 建立卓越師范生數(shù)學(xué)教師人才培養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)考核指標(biāo)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)模型

根據(jù)計(jì)算出來的組合權(quán)重表3 中的組合權(quán)重系數(shù)的數(shù)據(jù)，設(shè)卓越師范生數(shù)學(xué)教師人才培養(yǎng)效果為Y，權(quán)重是目標(biāo)層A的系數(shù)，目標(biāo)層的各個(gè)指標(biāo)為自變量y1,y2,…,y6，則構(gòu)造出卓越師范生數(shù)學(xué)教師人才培養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)考核指標(biāo)評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)模型為

若進(jìn)一步考慮組合權(quán)重是子準(zhǔn)則層B的系數(shù)，準(zhǔn)則層的各個(gè)指標(biāo)為自變量x1,x2,…,x26，則構(gòu)建出更為細(xì)致的卓越師范生數(shù)學(xué)教師人才培養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)考核指標(biāo)評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)模型為

4 模型的結(jié)論

根據(jù)表3 層次分析結(jié)果，可以看到卓越師范生數(shù)學(xué)教師人才培養(yǎng)效果指標(biāo)體系中的權(quán)重按照數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)(A1，0.49760)、教育、教學(xué)有關(guān)知識(shí)(A2，0.18872)、設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)方案的能力(A3，0.12017)、實(shí)施教學(xué)方案的能力(A4，0.06817)、發(fā)現(xiàn)與解決教學(xué)問題的能力(A6，0.06613)、總結(jié)與反思教學(xué)過程的能力(A5，0.05919)順序依次降低.數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)(A1)占的比重幾乎達(dá)50%，說明數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)在卓越師范生的培養(yǎng)過程中更需要加強(qiáng).數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)中高等數(shù)學(xué)知識(shí)(B1)、中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)(B2)、現(xiàn)代信息技術(shù)知識(shí)(B3)所占權(quán)重分別為0.22554、0.67381 和0.10065，可見對(duì)于師范專業(yè)畢業(yè)生來說，中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)(B2)應(yīng)該足夠重視.

在教育、教學(xué)有關(guān)知識(shí)(A2)方面，教學(xué)案例性知識(shí)(B6)和數(shù)學(xué)教學(xué)法知識(shí)(B5)所占比重較高，分別為0.44855 和0.33537，這就要求在師范生培養(yǎng)方面對(duì)于案例性教學(xué)要十分重視，將數(shù)學(xué)教學(xué)法與案例式教學(xué)有機(jī)結(jié)合，用理論指導(dǎo)實(shí)踐，用實(shí)踐驗(yàn)證理論，使得卓越師范生的培養(yǎng)在看得見、感受得到、可操作的直觀演示下能模仿、可實(shí)踐，并且目標(biāo)達(dá)成變得更為具體而直觀.案例式教學(xué)在具體操作過程中采用同課異構(gòu)的形式，也就是學(xué)生展示—教師點(diǎn)撥—教師展示的方式進(jìn)行，通過對(duì)比差異，使學(xué)生身臨其境，并且使學(xué)生在教師、學(xué)生身份的角色中自由轉(zhuǎn)換，感受教育教學(xué)理論的可操作性以及優(yōu)越性.

在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教案的能力(A3)方面，教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)(B8)權(quán)重為0.41036，其次是學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)與起點(diǎn)分析能力(B9)權(quán)重為0.18603，可以看出目標(biāo)設(shè)定對(duì)于一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)所起到核心的作用.教學(xué)目標(biāo)相當(dāng)于靶子，確定好目標(biāo)才能有的放矢.教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)可以直接導(dǎo)向一節(jié)課的定位，在四基、四能、核心素養(yǎng)、育人價(jià)值方面如何設(shè)定，將直接決定教學(xué)的下限與上限以及教學(xué)質(zhì)量的高低，所以在卓越師范生培養(yǎng)方面，使學(xué)生認(rèn)識(shí)目標(biāo)的重要性，并能制定出合理而高效的教學(xué)目標(biāo)就成為日常教學(xué)的重點(diǎn).

在實(shí)施教學(xué)方案能力(A4)方面，問題情境創(chuàng)設(shè)引入課題能力(B14)權(quán)重為0.40369，因?yàn)楹玫拈_端是成功的一半，學(xué)生學(xué)習(xí)的良好興趣往往開始于課堂的伊始，從開始導(dǎo)課時(shí)就能抓住學(xué)生的注意力，讓學(xué)生帶著問題走進(jìn)課堂，使他們的思維在課堂的有限時(shí)間內(nèi)高速馳騁，有效提升學(xué)生的思維力，這是優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)課堂的重要支撐點(diǎn).而組織學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)能力(B15)權(quán)重為0.25054，說明數(shù)學(xué)教學(xué)中探究性活動(dòng)的開展對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值和意義非常巨大，因而在卓越師范生培養(yǎng)方面，對(duì)于導(dǎo)課中如何有效滲透四能的指導(dǎo)以及如何有效開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)要有更多的側(cè)重.

在總結(jié)與反思教學(xué)(A5)的過程中，對(duì)教學(xué)效果的反思(B22)的比重為0.45308.可見，教學(xué)效果有最顯性的能直抵人心的存在感，透過教學(xué)效果反思，進(jìn)行教學(xué)方案修正，這是最便捷的方式，其實(shí)教學(xué)目標(biāo)達(dá)成的反思才是改變教學(xué)效果最根本的途徑，但由于其內(nèi)隱性師范生不容易察覺，所以在卓越師范生培養(yǎng)時(shí)，應(yīng)有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生分析教學(xué)目標(biāo)的反思，使學(xué)生的反思能夠更全面改善、更加有效.

在發(fā)現(xiàn)與解決數(shù)學(xué)問題的能力(A6)方面，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)問題的能力權(quán)重為0.64833，說明大家普遍認(rèn)可對(duì)于教學(xué)的改進(jìn)首先來自于高度的教學(xué)覺察能力，只有意識(shí)到問題的存在才能更好地改進(jìn)教學(xué).

5 模型的應(yīng)用

為檢驗(yàn)所建立卓越師范生數(shù)學(xué)教師人才培養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)考核指標(biāo)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)模型的效果，我們選取模型（5）作為研究對(duì)象，邀請6 位師范專業(yè)任課教師對(duì)2019 級(jí)“卓師班”學(xué)生進(jìn)行打分，為公平期間，每位老師只負(fù)責(zé)其中一個(gè)指標(biāo)的分?jǐn)?shù)打分.我們從中隨機(jī)挑選出10 位同學(xué)，分別以1 到10 編號(hào)，10 位同學(xué)的各項(xiàng)指標(biāo)成績?nèi)绫? 所示.

表4 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2019級(jí)“卓師班”十位同學(xué)考核分?jǐn)?shù)

在表4中，共有6 個(gè)指標(biāo)，每個(gè)指標(biāo)賦值100分，按照以往求平均值的方法，我們可得這10位學(xué)生的得分依次為91分，94.3分，92分，93分，94.5分，93.6分，90.5分，92.8分，92.6分，94.8分，學(xué)生分?jǐn)?shù)從高分到低分排序依次為10，5，2，6，4，8，9，3，1，7.按照模型（5），我們重新計(jì)算10 位學(xué)生分?jǐn)?shù)，則依次為90.4分，94.9分，91.1分，92.8分，96.1分，94.4分，91.7分，92.3分，91.3分，94.1分，按照新的分?jǐn)?shù)學(xué)生分?jǐn)?shù)從高分到低分排序依次為5，2，6，10，4，8，7，9，3，1.從新的排名結(jié)果可以看出，編號(hào)為5 的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的分?jǐn)?shù)98分，由于該指標(biāo)所占權(quán)重較大，直接導(dǎo)致了其排名第一的結(jié)果.在今后的教學(xué)實(shí)踐中，我們將嘗試將更為細(xì)致、更為全面的數(shù)學(xué)模型(6)進(jìn)行卓越師范生培養(yǎng)質(zhì)量的考核，使卓越師范生的素質(zhì)得以全面提升.