一類帶收獲率的捕食者-食餌擴(kuò)散模型的穩(wěn)定性

張麗麗， 麻作軍

(隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 慶陽 745000)

0 引言

自Lotka和Volterra提出經(jīng)典的捕食者-食餌模型以來，許多學(xué)者利用該模型提出了不同的反應(yīng)函數(shù).在實(shí)際生產(chǎn)中，為了兼顧物種的長期存活以及自然生物鏈的不間斷和最大收獲，一些學(xué)者還建立了帶有收獲項(xiàng)的捕食者-食餌系統(tǒng).例如： 1999年， Xiao等[1]對帶有常數(shù)食餌收獲項(xiàng)的捕食者-食餌系統(tǒng)的分支進(jìn)行了分析，并給出了系統(tǒng)在Bogdanov -Takens分支下的臨界條件； 2013年， Gupta等[2]對帶有Michaelis -Menten型食餌收獲項(xiàng)的捕食者-食餌系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分支進(jìn)行了分析；其他收獲率捕食模型的研究參看文獻(xiàn)[3-7].基于上述研究，本文考慮如下帶收獲率Γh>0的Lotka -Volterra捕食者-食餌模型：

(1)

其中：u(t)和v(t)分別表示食餌和捕食者在時(shí)刻t的種群密度；Γ、r、γ和h都是正參數(shù),其具體生態(tài)意義見文獻(xiàn)[8].

在自然條件及外界因素的影響下，固有有界區(qū)域內(nèi)的不同空間位置上的捕食者和食餌的分布是不均勻的，且每個(gè)物種都會有擴(kuò)散到較小密度區(qū)域的自然傾向.為了準(zhǔn)確描述種群的這種空間分布的復(fù)雜性，一些學(xué)者們建立了帶有擴(kuò)散的捕食者-食餌系統(tǒng)[9-12].模型(1)的線性自擴(kuò)散模型為：

(2)

其中：Ω是RN中邊界光滑的有界區(qū)域；n為邊界?Ω上的單位外法向量；d1(d1>0)和d2(d2>0)是擴(kuò)散系數(shù)，分別表示2個(gè)種群由高密區(qū)向低密區(qū)遷移；u0(x)和v0(x)為非負(fù)不恒為零的連續(xù)函數(shù)，分別表示2個(gè)種群的初始密度.本文討論模型(2)的正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

1 半線性反應(yīng)擴(kuò)散模型的穩(wěn)定性

(3)

對系統(tǒng)(3)在(0,0)處線性化可得如下近似方程：

(4)

(5)

(6)

λ2-T1(k)λ+H1(k2)=0，

(7)

其中T1(k)=tr(L1k)=-Γ(h+1)-(d1+d2)k2,

H1(k2)=det(L1k)=[Γγ(h+1)+d1k2]d2k2+detJ.

(8)

定理1由于T1(k)≠0,k=0,1,2,…， 線性自擴(kuò)散模型(2)不會出現(xiàn)Hopf分支.

定理2當(dāng)r>γ(h+1)時(shí)，模型(2)的唯一正平衡點(diǎn)E*(u*,v*)是局部漸近穩(wěn)定的.

定理3線性自擴(kuò)散模型(2)不會誘導(dǎo)Turing不穩(wěn)定性.

2 數(shù)值模擬與討論

為驗(yàn)證所得定理的正確性，在模型(2)中取r=4.8,γ=1,Γ=5,h=3，d1=1,d2=4.經(jīng)計(jì)算，該取值滿足定理?xiàng)l件r>γ(h+1)， 且模型(2)存在唯一正平衡點(diǎn)E*(4,0.8).由定理2可知該正平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.根據(jù)上述取值繪制的食餌和捕食者的種群密度隨時(shí)間和空間的變化趨勢如圖1和圖2所示.由圖1和圖2也可以看出，正平衡點(diǎn)E*(4,0.8)是漸近穩(wěn)定的.由此進(jìn)一步表明，線性自擴(kuò)散不會改變Lotka -Volterra捕食者-食餌模型的穩(wěn)定性.

圖1 食餌種群密度隨時(shí)間和空間的變化趨勢 圖2 捕食者種群密度隨時(shí)間和空間的變化趨勢