一類含不定非線性項橢圓方程的正解

林美琳

(應用數(shù)學福建省高校重點實驗室(莆田學院)， 福建 莆田 351100)

0 引言

本文考慮如下一類帶權的含有不定非線性項橢圓方程正解的存在性問題：

(1)

由于本文采用變分方法來求解方程的解，因此首先給出下列Euler -Lagrange泛函：

成立.于是再由橢圓正則性估計可知，u∈C2(Ω{0}).

定理1若條件(A)成立，且μ∈(0,μ1)， 0≤λ<Λ-(1+a)2， 則方程(1)至少存在1個正解.

1 預備知識

本文考慮如下極小問題：

由于S0是Sobolev嵌入的最佳常數(shù)，因此由文獻[5-8]可知S(a,b,μ)的一組達到函數(shù)為：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

2 相關引理及其證明

考慮如下Nehari流形：

Mμ={u∈Ha;G(u)=〈J′μ(u),u〉=0,u≠0}.

證明對于?u∈Mμ，由條件(A)和Sobolev不等式可得：

證明因{un}?Mμ, 0<μ<μ1, 所以有：

由上式可知{un}在Ha中有界.于是可以選取一個子序列{un}， 在Ha中un?u(n→∞)， 在Ω中un→u, a.e.(n→∞).由集中緊性原理[10]可知，在Ω中存在至多可數(shù)集I, 使得：

(7)

(8)

(9)

(10)

Λγ0≤α0.

(11)

令n→ +∞， 由此可得αi≤K(xi)βi≤|K|∞βi.再由式(9)可得βi=0或βi≥(S0/|K|∞)p/(p -2).下證βi=0.若存在i∈I, 使得βi≠0， 則由測度β的有界性可知，集I有限.由此再利用Brezis -Lieb引理[11]可得：

顯然知上述不等式矛盾，因此對任意的i∈I, 有βi=0.

證明取t0vε∈Mμ(vε的定義見本文中預備知識)，于是由計算可知

再根據(jù)式(3)—式(6)可得：

定理1的證明由引理2— 引理5可知，c是可達到的.設ω∈Mμ達到c.由于{un}是Jμ(u)在Mμ上的極小化序列，因此{|un|}也是.另外，由引理2—引理5還可知，可設ω為Jμ的一個非負臨界點，即ω為方程(1)的一個非負解.于是由強極值原理可知ω為方程(1)的一個正解，證畢.