空間自回歸固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型的經(jīng)驗(yàn)似然

陶 陽(yáng)，何幫強(qiáng)

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

空間自回歸模型通過(guò)假設(shè)空間相互作用將時(shí)間序列中的自相關(guān)擴(kuò)展到空間維度，解決有關(guān)領(lǐng)域數(shù)據(jù)存在空間相依性問(wèn)題，是空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)或統(tǒng)計(jì)學(xué)中捕捉空間相關(guān)性的最流行方法之一。Cliff等[1]在普通線性回歸模型的基礎(chǔ)上增加了對(duì)空間效應(yīng)的考慮。Anselin[2]考慮空間相依變量給出空間自回歸模型的一般形式。在日常經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和社會(huì)活動(dòng)中，由于地理分布與時(shí)間上的變化，因而產(chǎn)生大量的空間面板數(shù)據(jù)?？臻g面板數(shù)據(jù)模型在反應(yīng)空間相關(guān)性的空間權(quán)重矩陣的基礎(chǔ)上，還可以考慮因變量和誤差項(xiàng)的空間滯后，由此，空間相關(guān)性和空間異質(zhì)性得以考慮,從而保證參數(shù)估計(jì)更接近實(shí)際。Elhorst[3]綜述了空間面板數(shù)據(jù)模型的分類和估計(jì)，討論了估計(jì)量的漸近性質(zhì)；Baltagi[4]研究了有隨機(jī)效應(yīng)誤差項(xiàng)空間面板數(shù)據(jù)模型的參數(shù)估計(jì)。

張志強(qiáng)[5]通過(guò)模擬比較選擇的統(tǒng)計(jì)方法對(duì)固定效應(yīng)空間面板數(shù)據(jù)模型參數(shù)估計(jì)優(yōu)劣和模型功效。Kapoor等[6]研究了誤差成分是空間相關(guān)的面板數(shù)據(jù)模型。Lee等[7]將線性面板回歸模型推廣到空間面板數(shù)據(jù)模型，并建立了該模型的擬極大似然估計(jì)的漸近性質(zhì)。

自從Owen[8]提出經(jīng)驗(yàn)似然法進(jìn)行檢驗(yàn)和構(gòu)造置信區(qū)間以來(lái)，該方法受到了廣泛的關(guān)注。Owen[9]將該方法應(yīng)用到線性回歸模型。Shi等[10]將經(jīng)驗(yàn)似然方法引入部分線性模型中，并提出用模型殘差來(lái)近似估計(jì)非參數(shù)部分。Wang等[11]將經(jīng)驗(yàn)似然擴(kuò)展到具有固定設(shè)計(jì)的部分線性模型，導(dǎo)出了威爾克斯定理的非參數(shù)形式。He等[12]在α-混合條件下，提出具有固定效應(yīng)的半變系數(shù)面板數(shù)據(jù)模型中回歸參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)似然比函數(shù)。Qin[13]用經(jīng)驗(yàn)似然方法對(duì)具有空間自回歸擾動(dòng)時(shí)的空間自回歸模型中的參數(shù)進(jìn)行處理。周婷等[14]研究了空間面板數(shù)據(jù)模型中僅有空間誤差沒(méi)有空間自回歸擾動(dòng)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)似然。本文在此基礎(chǔ)上，研究空間自回歸帶固定效應(yīng)的面板數(shù)據(jù)模型既有空間誤差又有空間自回歸干擾時(shí)的經(jīng)驗(yàn)似然，構(gòu)造了參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量，同時(shí)證明了該經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量是漸近卡方分布的。

1 空間自回歸帶固定效應(yīng)的面板數(shù)據(jù)模型

空間自回歸帶固定效應(yīng)的面板數(shù)據(jù)模型為

(1)

首先，用ρ、α表示空間相關(guān)系數(shù)且滿足|ρ|<1,|α|<1；用Wn和Mn代表n×n維的空間權(quán)重矩陣，wij則為矩陣Wn的(i,j)元素，wii=0；mij為矩陣Mn的(i,j)元素，mii=0；Xnt表示nT×k維自變量向量；Ynt=(y1t,…,ynt)T表示n×1維因變量向量；unt表示nT×1維的固定效應(yīng)向量；vnt表示自相關(guān)誤差項(xiàng)，而β則表示k×1維系數(shù)向量。εnt=(ε1t,…,εnt)T為nT×1維隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，滿足獨(dú)立同分布且R(εnT)=0V,aεrn=σ2InT。式(1)可寫成如下的形式：

(2)

2 空間自回歸帶固定效應(yīng)的面板數(shù)據(jù)模型經(jīng)驗(yàn)似然

(3)

基于響應(yīng)向量的對(duì)數(shù)似然函數(shù)得到

式中，ε=BnT(α)[AnT(ρ)Y-Xβ-u]。

令以上偏導(dǎo)數(shù)等于0，我們可以得到

(4)

(5)

(6)

在此基礎(chǔ)上，我們可以提出θ=(βT,uT,ρ,α,σ2)?Rk+nT+3的經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量

其中，pi滿足

令

(7)

其中λ(θ)∈Rk+nT+3是式(8)的解。

(8)

(A2)n→∞,T為有限常數(shù)。

(A4)AnT(ρ)、BnT(α)為非奇異矩陣。

(A5)矩陣Wn、Mn、unT、AnT(ρ)、BnT(α)元素行和列的和在絕對(duì)值上一致有界。

其中，

Σ11=σ2{BnT(α)}TBnT(α)X,

Σ12=σ2{BnT(α)}TBnT(α),

Σ15=?3{BnT(α)X}T1nT,

Σ22=σ2{BnT(α)}TBnT(α),

Σ25=?3{BnT(α)}T1nT,

Σ55=nT(?4-σ4)。

定理1在(A1)～(A6)假設(shè)條件下,當(dāng)n→∞時(shí),有

(9)

3 引理與證明

我們需要用到Kelejian[15]中的定理1，令

假設(shè)

證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)[15]中的定理1。

引理2若假設(shè)條件滿足(A1)～(A6)，那么當(dāng)n→∞時(shí),

(10)

(11)

(12)

(13)

證明

由條件(A1)～(A5)及引理1，有

類似的

因此,

接下來(lái)檢驗(yàn)QnT是否滿足條件(C2)，由假設(shè)條件(A5)，有

故QnT滿足條件(C2)。然后我們求QnT的方差，根據(jù)uij和vi的表達(dá)式，我們得到：

其中,式中1nT代表元素均為1的nT維列向量，則QnT的方差為

根據(jù)假設(shè)條件(A6),

再根據(jù)引理1，有

令E(QnT)=0，得到式(11)。

式(12)的證明，類似文獻(xiàn)[9]中引理3中式(13)的證明。

式(13)的證明：由ηi(θ)的表達(dá)式

得到

運(yùn)用上面的假設(shè)條件(A1)～(A5)，有

同理可得

即

則有

根據(jù)式(10)有

(14)

(15)

而

(16)

令φi=λTηi(θ),由此及式(8)可得

(17)

由式(8)

(18)

利用泰勒展開(kāi)式，有

(19)

由式(17)及引理2，當(dāng)0→∞時(shí),有

(20)

(21)

根據(jù)式(18)、(19)可以得到

由假設(shè)條件(A6)及引理2，得

(22)

依據(jù)式(20)～(22),完成了定理1的證明。