雷達(dá)伺服驅(qū)動(dòng)機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)諧振分析*

劉偉華，包曉軍，劉遠(yuǎn)曦，楊精波

（廣東納睿雷達(dá)科技股份有限公司，廣東珠海 519080）

0 引言

雷達(dá)伺服驅(qū)動(dòng)機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)性能對(duì)于雷達(dá)整體控制系統(tǒng)響應(yīng)的快速性、準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性等工作性能的好壞有決定性的影響，而扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是影響軸系動(dòng)力裝置安全運(yùn)行的重要?jiǎng)恿π阅苤?，軸系裝置之所以能產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，其內(nèi)因是軸系本身不但具有慣性，而且由于材料和尺寸的原因，還具有彈性，因此可能引起自由扭轉(zhuǎn)；其外因則是作用在軸系上周期性變化的激振力矩。軸系按激振的頻率進(jìn)行強(qiáng)制振動(dòng)，當(dāng)激振頻率與軸系某一階固有頻率相同時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生諧振現(xiàn)象，當(dāng)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力超過(guò)軸系所能承受的應(yīng)力時(shí)，軸系將會(huì)發(fā)生斷裂[1]，對(duì)于有高精度要求的雷達(dá)伺服驅(qū)動(dòng)機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)，共振即使不會(huì)引起破壞，但也會(huì)影響機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的運(yùn)行質(zhì)量[2]，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定損壞系統(tǒng)的精密傳動(dòng)部件[3]。因此對(duì)雷達(dá)伺服驅(qū)動(dòng)機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)特性的研究一直備受關(guān)注，人們進(jìn)行了大量的理論分析和實(shí)驗(yàn)研究，取得了很多成果。但是雷達(dá)伺服驅(qū)動(dòng)機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)形式具有多樣性，不同的傳動(dòng)形式，其機(jī)械性能和分析方法也存在著差異，王昱忠[4]將伺服機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為電機(jī)和負(fù)載的二慣量系統(tǒng)；而李云松等[5-6]將伺服機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為電機(jī)和負(fù)載的三慣量系統(tǒng)。

本文針對(duì)某型號(hào)雷達(dá)方位旋轉(zhuǎn)伺服驅(qū)動(dòng)機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的特殊形式，將機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化成五慣量系統(tǒng)，建立數(shù)學(xué)模型，并推導(dǎo)出伺服電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩和雷達(dá)方位旋轉(zhuǎn)角速度之間的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)諧振頻率計(jì)算公式。基于系統(tǒng)諧振頻率計(jì)算公式，分析影響機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)諧振的因素和影響效果。

為抑制系統(tǒng)諧振發(fā)生，國(guó)內(nèi)外已經(jīng)做了大量的研究。黃梁松[7]提出了一種基于擾動(dòng)反饋觀測(cè)器的諧振抑制方法，提出了可調(diào)慣量比的控制策略，實(shí)現(xiàn)了伺服系統(tǒng)在低頻諧振環(huán)境下對(duì)大慣量負(fù)載的有效控制；唐濤等[8]提出了一種負(fù)載加速度反饋控制算法來(lái)減小伺服系統(tǒng)諧振的影響；韋鳳[9]提出了一種基于陷波濾波器的相位補(bǔ)償方案，在應(yīng)用中能較好地抑制彈性負(fù)載條件下伺服系統(tǒng)定位時(shí)的末端抖振問(wèn)題。上述文獻(xiàn)提到方法雖然有不錯(cuò)的效果，但是也在存在一定的局限性。本文通過(guò)引入反饋校正函數(shù)，使系統(tǒng)形成閉環(huán)控制，并通過(guò)Matlab仿真分析對(duì)比驗(yàn)證，得出引入反饋校正的閉環(huán)控制系統(tǒng)對(duì)抑制系統(tǒng)諧振效果明顯。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 物理模型簡(jiǎn)化

該型號(hào)雷達(dá)方位旋轉(zhuǎn)伺服驅(qū)動(dòng)機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)包含主傳動(dòng)系統(tǒng)、消隙傳動(dòng)系統(tǒng)，以及圓柱大齒輪，兩套傳動(dòng)系統(tǒng)圍繞著圓柱大齒輪對(duì)稱布置，且兩套傳動(dòng)系統(tǒng)采用完全相同的配置，即主傳動(dòng)系統(tǒng)和消隙傳動(dòng)系統(tǒng)均由電機(jī)、行星齒輪減速器、圓柱小齒輪組成?？紤]消隙傳動(dòng)系統(tǒng)對(duì)主傳動(dòng)系統(tǒng)的耦合影響[10]，系統(tǒng)不能簡(jiǎn)化成傳統(tǒng)的兩慣量或三慣量模型。本文考慮將整個(gè)系統(tǒng)簡(jiǎn)化成五慣量系統(tǒng)進(jìn)行分析，構(gòu)建傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。圖中TM1、TM2、JM1、JM2、bM1、bM2分別為伺服電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩、 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、 黏滯阻尼系數(shù)；JR1、JR2、KR1、KR2、bR1、bR2、iR1、iR2分別為減速機(jī)高速軸端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、低速軸端扭轉(zhuǎn)剛度、黏滯阻尼系數(shù)、減速比；JH1、JH2、JG、KHG1、KHG2、bHG1、bHG2、iHG1、iHG2分別為圓柱小齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、圓柱大齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、圓柱大小齒輪嚙合剛度、圓柱齒輪黏滯阻尼系數(shù)、圓柱齒輪減速比；JL、bL、TL分別為轉(zhuǎn)臺(tái)和雷達(dá)頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、黏滯阻尼系數(shù)、作用在轉(zhuǎn)臺(tái)和雷達(dá)頭的負(fù)載轉(zhuǎn)矩；ωM1、ωM2、ωH1、ωH2、ωG分別為電機(jī)輸出軸轉(zhuǎn)速、圓柱小齒輪轉(zhuǎn)速、圓柱大齒輪轉(zhuǎn)速；THG1、THG2、TG1、TG2分別為小齒輪軸轉(zhuǎn)矩、大齒輪主傳動(dòng)端轉(zhuǎn)矩、大齒輪消隙傳動(dòng)端轉(zhuǎn)矩。

圖1 伺服驅(qū)動(dòng)機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.2 動(dòng)力學(xué)微分方程

根據(jù)簡(jiǎn)化的物理模型，可以得出以下微分方程：

考慮到實(shí)際傳動(dòng)系統(tǒng)中，各軸段阻尼系數(shù)非常小，同時(shí)阻尼主要影響系統(tǒng)諧振幅值的大小，而不影響諧振頻率的大小，所以可以忽略阻尼的影響，以達(dá)到簡(jiǎn)化的目的。

另外，主傳動(dòng)端和消隙傳動(dòng)端所用電機(jī)、減速機(jī)、以及圓柱齒輪都是一樣的，忽略制造和裝配誤差的影響，可以認(rèn)為主傳動(dòng)端和消隙傳動(dòng)端電機(jī)、減速機(jī)、以及圓柱齒輪的物理特性完全相同，即：

1.3 系統(tǒng)傳遞函數(shù)

對(duì)上述方程組聯(lián)立求解并進(jìn)行拉普拉斯變換可得主傳動(dòng)電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩TM1與方位旋轉(zhuǎn)軸（圓柱大齒輪）轉(zhuǎn)速ωG的傳遞函數(shù)為：

式中：

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2 所示。圖中G1、G2、G3分別為各子系統(tǒng)傳遞函數(shù)，數(shù)值表達(dá)式如下所示：

圖2 伺服驅(qū)動(dòng)機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

由式（10）～（12）可知，系統(tǒng)諧振頻率為：

1.4 諧振頻率影響因素分析

影響伺服機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)諧振響應(yīng)的主要因素有干擾力矩和軸系的動(dòng)態(tài)特性，兩者的共同作用決定了軸系諧振響應(yīng)的特性[11]。對(duì)于伺服機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)，軸系的動(dòng)態(tài)特性主要針對(duì)特定的干擾力矩而言，軸系在整個(gè)工作轉(zhuǎn)速內(nèi)的扭振響應(yīng)越小越好。影響伺服機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)諧振響應(yīng)的主要因素在于軸系動(dòng)態(tài)特性3個(gè)方面的性質(zhì)：（1）工作轉(zhuǎn)速內(nèi)的諧振頻率，是系統(tǒng)產(chǎn)生共振的關(guān)鍵；（2）系統(tǒng)的振型，即幅值和相位的關(guān)系，其決定了系統(tǒng)扭振響應(yīng)的強(qiáng)弱；（3）阻尼對(duì)扭振的抑制作用，適當(dāng)?shù)淖枘峥梢韵母蓴_力矩的輸入能量，削弱諧振響應(yīng)的峰值。

本文主要探討軸系工作轉(zhuǎn)速內(nèi)的諧振頻率對(duì)諧振響應(yīng)的影響，考慮到雷達(dá)通常在低轉(zhuǎn)速范圍下工作，所以工程設(shè)計(jì)應(yīng)盡可能提高系統(tǒng)諧振頻率值，使其不在工作轉(zhuǎn)速頻率范圍內(nèi)，根據(jù)式（16）可以看出，系統(tǒng)諧振頻率值是傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)剛度、各傳動(dòng)零部件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、以及減速比的綜合影響值。總結(jié)各機(jī)械結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)諧振頻率影響效果有以下幾點(diǎn)規(guī)律：（1）隨減速機(jī)扭轉(zhuǎn)剛度KR和圓柱齒輪嚙合剛度KHG增大而增大；（2）隨電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JM、減速機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JR、負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JL增大而減??；（3）隨圓柱齒輪減速比iHG增大而增大；（4）隨減速機(jī)減速比iR增大而減小。其中減速機(jī)減速比iR和圓柱齒輪減速比iHG對(duì)諧振頻率的影響效果正好相反，所以當(dāng)總減速比一定時(shí)，應(yīng)盡可能減小減速機(jī)減速比iR的值。

2 系統(tǒng)諧振仿真分析

以該型號(hào)雷達(dá)伺服驅(qū)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)為研究對(duì)象進(jìn)行仿真分析，該機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)各零部件實(shí)際配置參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)各零部件實(shí)際配置參數(shù)

將表1 數(shù)值代入式（10）中，并通過(guò)Matlab 仿真分析可得系統(tǒng)階躍響應(yīng)和系統(tǒng)諧振伯德圖分別如圖3和圖4所示。從仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)存在一個(gè)38.4 Hz的諧振頻率點(diǎn)，這與將表1 數(shù)值代入式（16）的計(jì)算結(jié)果相吻合，由于該傳動(dòng)系統(tǒng)存在較低諧振頻率，將很容易導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。

圖3 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)

圖4 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)諧振伯德圖

3 系統(tǒng)諧振抑制

第3 項(xiàng)的諧振分析是基于開(kāi)環(huán)傳動(dòng)系統(tǒng)得到的，為消除開(kāi)環(huán)傳動(dòng)系統(tǒng)的諧振情況，考慮引入反饋校正函數(shù)[12]，使傳動(dòng)系統(tǒng)形成閉環(huán)控制。同時(shí)，為使閉環(huán)控制系統(tǒng)消除諧振，要求閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)應(yīng)為一階系統(tǒng)。結(jié)合開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)式（10），可以得出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)和反饋校正函數(shù)。

式中：H(s)為反饋校正函數(shù)；A為反饋調(diào)節(jié)系數(shù)。

當(dāng)A=K時(shí)，可使閉環(huán)傳遞函數(shù)與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)具有相同的調(diào)節(jié)系數(shù)。即閉環(huán)傳遞函數(shù)SYS閉環(huán)和閉環(huán)反饋校正函數(shù)H(s)分別如下所示：

同樣將表1各項(xiàng)參數(shù)代入閉環(huán)傳遞函數(shù)式（19），并繪制傳遞函數(shù)階躍響應(yīng)圖如圖5 所示。從圖中響應(yīng)曲線可以看出，閉環(huán)系統(tǒng)諧振情況得到有效控制。

圖5 開(kāi)環(huán)與閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)某雷達(dá)伺服機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的分析，得出以下結(jié)論。

（1）采用五慣量模型簡(jiǎn)化機(jī)械結(jié)構(gòu)，并進(jìn)行方位旋轉(zhuǎn)速度和伺服驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩之間的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)諧振頻率計(jì)算公式的推導(dǎo)，根據(jù)諧振頻率計(jì)算公式，分析影響系統(tǒng)諧振頻率的各機(jī)械因素，在進(jìn)行工程設(shè)計(jì)時(shí)，具有一定的參考意義。

（2）針對(duì)特定的機(jī)械結(jié)構(gòu)參數(shù)，采用Matlab 仿真軟件對(duì)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)進(jìn)行仿真分析，結(jié)果顯示機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)存在較低的諧振頻率點(diǎn)，將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。

（3）根據(jù)反饋校正理論，設(shè)計(jì)在開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中引入反饋校正函數(shù)，使系統(tǒng)形成閉環(huán)控制，并根據(jù)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)推導(dǎo)出反饋校正函數(shù)的數(shù)值表達(dá)式，通過(guò)使用Matlab 仿真驗(yàn)證，引入反饋校正的閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)抑制系統(tǒng)諧振效果明顯。