光滑水平圓形管道內(nèi)兩球碰撞的速度規(guī)律剖析

洪英蘭 王偉民

（1.福建省三明市第二中學(xué)，福建 三明 365000；2.安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校，安徽 太和 236652）

從一道碰撞題目涉及的物理情景說(shuō)起——

例1.如圖1所示，在水平面上固定著一個(gè)半徑為R的內(nèi)壁光滑的圓管軌道（R遠(yuǎn)大于圓管直徑）A、B、C、D4個(gè)點(diǎn)將圓軌道等分為4等份，在軌道的A點(diǎn)靜止放著一個(gè)甲球，某一時(shí)刻另一個(gè)乙球從D點(diǎn)以速度v沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，與甲球發(fā)生彈性碰撞，小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）直徑略小于軌道內(nèi)徑，已知m甲=7m乙，從第1次碰撞開(kāi)始計(jì)數(shù)，試確定甲乙兩球第2022次碰撞的位置及這次碰撞后兩球的速度.

圖1

因?yàn)楣艿朗撬焦饣?，兩球發(fā)生的是正向完全彈性碰撞，所以，從第1次碰撞開(kāi)始，在每次碰撞前后，兩球組成的系統(tǒng)不僅動(dòng)量和動(dòng)能分別守恒，系統(tǒng)的機(jī)械能也守恒，因此，無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次碰撞，一定不存在兩球都靜止的情況.又因?yàn)閮汕虬l(fā)生彈性碰撞之后，不存在二者等速且同方向運(yùn)動(dòng)的情形（只有這樣的情形，兩球在管道內(nèi)才不會(huì)繼續(xù)碰撞），所以，兩球在水平光滑管道內(nèi)的碰撞會(huì)無(wú)止境地進(jìn)行下去.

題目給出的問(wèn)題是確定2022次碰撞后兩球的速度情況，如果以兩球的初始速度為條件，根據(jù)彈性碰撞的兩球組成系統(tǒng)碰撞前后動(dòng)量守恒，動(dòng)能也守恒的規(guī)律，可以建立方程組求解第1次碰撞后兩球的速度，再以第1次碰撞后兩球的速度為條件，用同樣的方法可以求解第2次碰撞后兩球的速度……，但是，用這樣依次遞推的方法去求解第2022次碰撞后兩球速度的做法顯然是不現(xiàn)實(shí)的，只有探尋出兩球在水平光滑管道內(nèi)的碰撞運(yùn)動(dòng)規(guī)律，特別是碰撞過(guò)程中兩球速度的變換規(guī)律，才可以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解.

先探討前面兩次碰撞后兩球的速度變化規(guī)律.

設(shè)m乙=m，則m甲=7m，設(shè)第1次碰撞之后甲乙兩球的速度分別是v1和v2，根據(jù)兩球在碰撞前后組成系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒的規(guī)律，可得

顯然，第1次碰撞之后，質(zhì)量大的甲球順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，速度大小是，質(zhì)量小的乙球以的速度按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，所以，第2次兩球的碰撞點(diǎn)位于B點(diǎn)，如圖2所示.設(shè)第2次碰撞后甲球和乙球的速度分別是v3和v4，以圖2中B點(diǎn)向右的方向?yàn)樗俣鹊恼较?，根?jù)彈性碰撞的規(guī)律，

圖2

所以，兩球第2次碰撞之后，甲球相對(duì)管道靜止，而乙球以速度v在管道內(nèi)順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng).因此，第3次碰撞的情形跟第1次碰撞時(shí)兩球的速度情形完全相同，只是碰撞位置不同（第3次碰撞發(fā)生在圖2中的B點(diǎn)）.

這樣看來(lái)，光滑水平管道內(nèi)，初始狀況以速度v順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)的乙球與靜止的甲球發(fā)生正向完全彈性碰撞，之后的無(wú)數(shù)次碰撞是有規(guī)律的，如果從第1次碰撞開(kāi)始進(jìn)行碰撞次數(shù)計(jì)數(shù)的話，那么，兩個(gè)球在管道內(nèi)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是，第奇數(shù)次撞擊后，甲球在水平光滑圓形管道內(nèi)以的速度按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，乙球以3倍甲球的速度按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，乙球運(yùn)行管道長(zhǎng)度之后，發(fā)生與其碰撞次數(shù)序號(hào)相鄰的第偶數(shù)次碰撞，而每個(gè)偶數(shù)次碰撞之后，甲球相對(duì)管道保持靜止，乙球以原來(lái)的初始速度大小沿順時(shí)針?lè)较蛉プ矒羲?這種撞擊運(yùn)動(dòng)將永不停息、周而復(fù)始的循環(huán)下去.如果以兩次碰撞為一個(gè)碰撞循環(huán)的話，那么，在每個(gè)碰撞循環(huán)內(nèi)，甲球在水平光滑管道內(nèi)按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)管道長(zhǎng)度，因此，如果從第一次撞擊開(kāi)始計(jì)數(shù)，那么，第8k次和8k+1（k為非負(fù)整數(shù)）次撞擊位置位于圖1中的A點(diǎn).

由于2022=8×252+6，所以，第2022次碰撞發(fā)生在圖1中的D點(diǎn)，這次碰撞之后，甲球速度為零，乙球以速度v在管道內(nèi)順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng).

因?yàn)閮蓚€(gè)物體發(fā)生完全彈性碰撞的過(guò)程，在任意慣性參考系內(nèi)動(dòng)量和動(dòng)能都分別守恒，所以，對(duì)于上述問(wèn)題甲乙兩球第2次碰撞后速度的求解，無(wú)需再一次建立方程組進(jìn)行解答（解二元方程組的過(guò)程是一個(gè)相對(duì)比較麻煩的過(guò)程），變換慣性參考系之后根據(jù)速度的相對(duì)性原理和彈性碰撞的規(guī)律，即可方便快捷地確定二次碰撞之后甲乙兩球的速度.

如圖2所示，兩球第2次碰撞時(shí)，在臨近碰撞前的瞬間，它們的相對(duì)速度為v，這就是說(shuō)，如果以甲球?yàn)閰⒄瘴?，那么，乙球在臨近撞擊前的運(yùn)動(dòng)速度為v，因此，如果在兩球碰撞時(shí)，選擇圖2中相對(duì)水平管道向右以的速度勻速運(yùn)動(dòng)的空間為參考系（慣性參考系），則在此參考系中，甲球靜止不動(dòng)，乙球以大小為v的速度按逆時(shí)針?lè)较蚺c甲發(fā)生正向完全彈性碰撞，這與例題1給出的兩球初始運(yùn)動(dòng)情形變得完全一樣了，區(qū)別僅僅是撞擊的方向和兩球在軌道內(nèi)的撞擊位置不同，因?yàn)樵谛碌膽T性參考系中，兩球碰撞過(guò)程中它們組成系統(tǒng)的動(dòng)能和動(dòng)量也都分別守恒，所以，兩球第2次碰撞之后，于新參考系中甲球在圖2的B位置以的速度逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，乙球以的速度順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，因此，相對(duì)于原參考系（即相對(duì)水平管道），甲球保持靜止，乙球以速度v順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，所以，兩次撞擊之后，在要發(fā)生第3次撞擊之前，這種運(yùn)動(dòng)規(guī)律又“退回”到例題1初始的物理情景，區(qū)別是質(zhì)量大的甲球不是靜止于水平管道的A點(diǎn)去“等待”質(zhì)量小的乙球以速度v按順時(shí)針?lè)较蛉プ矒羲?，而是質(zhì)量大的甲球靜止于管道的B點(diǎn)“靜候”乙的撞擊，撞擊的方向和速度都沒(méi)有發(fā)生變化.

顯然，對(duì)于例1給出的問(wèn)題，兩球速度的這種周期性變換規(guī)律是一種非常奇妙的規(guī)律，我們不禁要問(wèn)，這種看似神奇的撞擊運(yùn)動(dòng)規(guī)律原因何在？題目給出兩球質(zhì)量關(guān)系等式m甲=7m乙中的倍數(shù)7如果發(fā)生變化，對(duì)兩球撞擊之后速度變化規(guī)律有什么影響呢？

我們看下如果將題目中的質(zhì)量關(guān)系條件m甲=7m乙，式中的質(zhì)量倍數(shù)7更改為任意正實(shí)數(shù)之后，兩球的碰撞規(guī)律是怎樣的情形.

設(shè)m甲=km乙（k是任意正實(shí)數(shù)），碰撞之后甲乙兩球的速度分別為v1和v2，設(shè)m乙=m，則m甲=km，由碰撞前后系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒可得

下面按k的大小分類討論兩球碰撞時(shí)速度的變化規(guī)律.

當(dāng)k=1時(shí)，v1=v，v2=0，這剛好是質(zhì)量相等的兩球發(fā)生正向完全彈性碰撞后，兩球彼此交換速度的情形（這也間接說(shuō)明我們推理結(jié)果的正確性）.這種情況下兩球碰撞的規(guī)律是——如圖1所示，乙球在A點(diǎn)以速度v按順時(shí)針?lè)较蜃矒艏浊颍ǖ?次碰撞）之后，乙球靜止，甲球則以速度v在管道內(nèi)順時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)一周之后與乙球碰撞（第2次碰撞），彼此交換速度之后，甲球靜止，乙球以速度v在管道內(nèi)沿順時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)，這便回到了兩球的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，兩球會(huì)按這一碰撞規(guī)律不停的在管道內(nèi)運(yùn)動(dòng)下去.

當(dāng)k＞1時(shí)，v1＞0，v2＜0，兩球碰撞之后，質(zhì)量大的甲球以的速度在管道內(nèi)順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，質(zhì)量小的乙球以的速度在管道內(nèi)逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，發(fā)生第2次碰撞時(shí)，相對(duì)甲球，乙的速度依然為原來(lái)的速度v，所以，第2次碰撞的過(guò)程，如果選擇在碰撞位置以的速度（這恰好是第2次碰撞前甲球相對(duì)管道的速度）相對(duì)軌道勻速運(yùn)動(dòng)的空間為參考系（新的慣性參考系），那么，在新的參考系中，甲球是靜止的，乙球在以速度v按逆時(shí)針?lè)较蜃矒艏浊?，由于?次撞擊之時(shí)，在新參考系中，兩球組成系統(tǒng)的動(dòng)能守恒，動(dòng)量也守恒，所以，根據(jù)兩球碰撞建立的求解碰撞之后兩球速度的方程組，跟第1次碰撞在原參考系中建立的方程組形式完全相同，不用說(shuō)方程組的解也相同，因此，新參考系中第2次撞擊之后甲球以的速度逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，乙球以的速度順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，所以，相對(duì)原來(lái)的參考系，第2次撞擊之后，甲球相對(duì)水平管道靜止，而乙球則以大小為v的速度沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，接下來(lái)的第3次撞擊過(guò)程將變得跟第1次撞擊沒(méi)有差別，不同之處僅僅是它們?cè)诠艿纼?nèi)撞擊的位置不同.

當(dāng)k＜1時(shí)，v1＞0，v2＞0，兩球第1次碰撞之后都在管道內(nèi)沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，只不過(guò)質(zhì)量小的甲球運(yùn)動(dòng)速度大，質(zhì)量大的乙球運(yùn)動(dòng)速度小，碰撞之后它們相對(duì)管道的速度分別為，當(dāng)甲球比乙球多運(yùn)動(dòng)1圈要發(fā)生第2次碰撞時(shí)，以相對(duì)甲球保持靜止的空間為參考系（即在碰撞點(diǎn)沿甲球的運(yùn)動(dòng)方向以的速度勻速運(yùn)動(dòng)的空間為參考系），則乙球在管道內(nèi)以速度v按逆時(shí)針?lè)较蛉プ矒綮o止的甲球，在新參考系（慣性參考系）中兩球撞擊前后系統(tǒng)動(dòng)能和動(dòng)量分別守恒，因此，第2次碰撞之后，相對(duì)新參考系，甲乙兩球都在管道內(nèi)逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，質(zhì)量小的甲球運(yùn)動(dòng)較快，速度是，質(zhì)量大的乙球運(yùn)動(dòng)較慢，速度為，所以，相對(duì)于原參考系（即相對(duì)于管道），甲球是靜止的，而乙球是按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，相對(duì)管道的速度是v，這又回到了初始的碰撞情形，不同點(diǎn)是兩球在圓形軌道內(nèi)碰撞的位置不同.

所以，如果兩球質(zhì)量相等，那么，包括兩球第1次碰撞在內(nèi)的所有碰撞，都發(fā)生在管道中的同一位置（即圖1中的A點(diǎn)），每撞擊兩次后兩球的速度分別回復(fù)到它們的初始速度.在兩球質(zhì)量不等的情況下，如果從第1次撞擊開(kāi)始計(jì)數(shù)，那么，相對(duì)于水平管道，兩球在管道內(nèi)撞擊運(yùn)動(dòng)的速度規(guī)律是，第奇數(shù)次撞擊后，甲球以的速度順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，乙球以的速度逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)（k＞1時(shí)），或者以的速度順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)（k＜1時(shí)），第偶數(shù)次撞擊之后，甲球靜止，乙球以速度v在管道內(nèi)順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng).按這一規(guī)律，甲乙兩球會(huì)周而復(fù)始，循環(huán)不斷的在管道內(nèi)不停的撞擊運(yùn)動(dòng).

對(duì)于k＞1的情形，因?yàn)榈谄鏀?shù)次撞擊之后，兩球運(yùn)動(dòng)方向相反，甲乙兩球的速度比是，所以，在第奇數(shù)次撞擊和鄰近的下次偶數(shù)次撞擊之間的時(shí)間段內(nèi)，質(zhì)量大的甲球在管道內(nèi)運(yùn)動(dòng)了整個(gè)圓形管道周長(zhǎng)的，k=7時(shí)，，這剛好是例題1題目條件下第奇數(shù)次撞擊和鄰近偶數(shù)次撞擊之間甲球在管道內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離.

這樣看來(lái)，水平光滑管道內(nèi)，運(yùn)動(dòng)的小球乙以一定的速度去撞擊靜止的小球甲，如果兩球發(fā)生的是正向完全彈性碰撞，不論兩球質(zhì)量比大小如何，若從第1次撞擊開(kāi)始計(jì)數(shù)，那么，兩個(gè)小球運(yùn)動(dòng)速度的變化規(guī)律是以連續(xù)撞擊兩次為一個(gè)循環(huán)周期，所有的第奇數(shù)次撞擊都與第一次撞擊時(shí)兩球的速度情形相同——都是甲球靜止，乙球以固定的初始速度按第一次的繞行方向去撞擊靜止的甲球.

以上我們分析的物理情境，是光滑水平管道內(nèi)運(yùn)動(dòng)的小球去撞擊靜止小球之后，兩球在管道內(nèi)的運(yùn)動(dòng)碰撞規(guī)律.那么，對(duì)于初始情形下兩球都是運(yùn)動(dòng)的狀況，它們?cè)谒焦饣瑘A形管道內(nèi)撞擊之后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律也可以確定嗎？

答案是肯定的.

若初始狀況下甲、乙兩球分別以速度v1和速度v2在管道內(nèi)運(yùn)動(dòng)，在它們第1次撞擊時(shí)，以相對(duì)甲球靜止的空間為參考系（慣性參考系），則甲球靜止，乙球以v1+v2的相對(duì)速度（兩球運(yùn)動(dòng)反向時(shí)）或以｜v1-v2｜的相對(duì)速度（兩球運(yùn)動(dòng)同向，且速度值不等時(shí)）去撞擊靜止的甲球，因?yàn)樽儞Q慣性參考系之后，兩球撞擊的過(guò)程中系統(tǒng)動(dòng)能和機(jī)械能都分別守恒，所以，在新的慣性參考系中，兩球從第1次撞擊之后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，跟我們上面分析的相對(duì)原參考系第1次撞擊之后兩球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是一樣的，都是經(jīng)歷兩次碰撞完成一個(gè)循環(huán)周期，第偶數(shù)次碰撞之后，甲球靜止，乙球以固定的速度去撞擊靜止的甲球.因此，再退回到原來(lái)的參考系（即以水平光滑圓形管道為參考系）之后，兩球撞擊過(guò)程速度的變化規(guī)律是，從第1次撞擊開(kāi)始計(jì)數(shù)，之后，每奇數(shù)次撞擊前（也是每偶數(shù)次撞擊之后），甲乙兩球運(yùn)動(dòng)的速度情形與初始狀況運(yùn)動(dòng)的速度大小和方向都分別相同.