Buck變換器的新型非奇異固定時間滑模控制

黃曦，劉宜成，涂海燕，周凱

（四川大學電氣工程學院，四川 成都 610065）

Buck變換器的應用非常廣泛，其控制策略一直是電力電子技術(shù)研究的重要內(nèi)容。其中PID控制[1-3]、模糊控制[4-5]和滑模控制[6-10]等控制方法常被應用于DC-DC變換器中，Buck變換器是DCDC變換器中的一種，其在實際應用中存在著系統(tǒng)性能對參數(shù)變化敏感等問題，例如電路器件實際值與理想值存在誤差，負載可能隨時發(fā)生突變等，因而對系統(tǒng)魯棒性能有較高的要求。

滑?？刂茖?nèi)部參數(shù)變化和外部擾動不敏感，具有很強的魯棒性，非常適用于Buck變換器這種典型的開關(guān)非線性系統(tǒng)[11-12]。文獻[6-7]對Buck變換器輸出電壓采用了有限時間控制。然而，有限時間控制不能保證系統(tǒng)獨立于系統(tǒng)初始條件在有界時間內(nèi)收斂，這使得在系統(tǒng)初始條件事先未知的情況下，有限時間控制很難應用于實際系統(tǒng)中。文獻[13]提出了固定時間穩(wěn)定理論，系統(tǒng)收斂時間存在上界，其收斂時間上界與系統(tǒng)初始條件無關(guān)，僅與設(shè)計的滑模參數(shù)有關(guān)，固定時間控制可以克服這個缺點。文獻[14]采用飽和函數(shù)來解決滑模控制中遇到奇異性問題。目前固定時間控制方法已經(jīng)在許多非線性系統(tǒng)得到廣泛應用[15-16]，但在Buck變換器中應用固定時間控制方法還比較少。

針對Buck變換器這類非線性系統(tǒng)，提出了一種新型非奇異固定時間滑?？刂品椒?。首先設(shè)計了一種快速固定時間穩(wěn)定系統(tǒng)，與傳統(tǒng)的固定時間穩(wěn)定系統(tǒng)[17]相比具有更快的收斂速率。然后構(gòu)造了新型固定時間滑模面和滑模趨近律，結(jié)合Buck變換器電路模型，設(shè)計了Buck變換器新型非奇異固定時間控制器?；贚yapunov穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，保證系統(tǒng)能在固定時間內(nèi)收斂，收斂時間上界不受系統(tǒng)初始條件影響，僅與設(shè)計的滑模參數(shù)相關(guān)。通過仿真和實驗與傳統(tǒng)固定時間控制方法和PI控制器進行對比，結(jié)果表明，本文設(shè)計的新型非奇異固定時間控制器使得輸出電壓誤差具有更快的收斂速度，同時還具有較強的抗負載變化能力，體現(xiàn)了良好的魯棒性。

1 理論準備

定義1[13]考慮如下非線性系統(tǒng)：

如果系統(tǒng)平衡點是在有限時間穩(wěn)定的，且收斂時間T(x0)有界，即存在時間常數(shù)Tmax，對任意的x0∈ Rn都存在一個Tmax使得T(x0)＜Tmax，則稱系統(tǒng)在平衡點是固定時間穩(wěn)定的。

引理1考慮一類非線性系統(tǒng)：

當a＞0，b＞0，m，n，q，p都為正奇數(shù)，且滿足m＞n，q＞p，那么系統(tǒng)的平衡點是在固定時間內(nèi)穩(wěn)定的，收斂時間上界Tsup的表達式如下：

證明：系統(tǒng)表達式（2）可以改寫為

當|y|＞ 1時，令z=1+ln|y|；當|y|＜ 1，令則式（4）所示系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為

求如式（5）所示系統(tǒng)收斂時間上界Tsup可得：

證明完畢。

2 Buck變換器新型非奇異固定時間控制

2.1 Buck變換器電路模型

圖1為Buck變換器的電路拓撲結(jié)構(gòu)。圖中，Uin為輸入電壓；Uo為實際輸出電壓；R，L，C分別為電阻、電感和電容。

圖1 Buck變換器拓撲結(jié)構(gòu)Fig.1 Topology of Buck converter

2.2 Buck變換器新型非奇異固定時間控制器設(shè)計

本文根據(jù)引理1構(gòu)造的新型固定時間滑模面如下：

式中：a1，b1均為正實數(shù)；m1，n1，q1，p1均為正奇數(shù)，且m1＞n1，q1＞p1。

基于如式（10）所示滑模面，設(shè)計一種滑模趨近律為

式中：a2，b2均為正實數(shù)；m2，n2，q2，p2均為正奇數(shù)，且m2＞n2，q2＞p2。

基于式（9）所示的Buck變換器狀態(tài)空間平均模型，結(jié)合式（10）所示的滑模面和式（11）所示的滑模趨近律，設(shè)計Buck新型固定時間控制器u如下所示：

根據(jù)文獻[14]，在式（12）所示控制器中采用飽和函數(shù)來解決控制器中可能引起的奇異性問題。飽和函數(shù)定義為

定理1在如式（12）所示的Buck新型非奇異固定時間控制器的作用下，系統(tǒng)能在固定時間內(nèi)穩(wěn)定。

證明：構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下：

對式（14）結(jié)合式（9）對t求導，再將控制器代入，可得：

當|s|≥1時，有：

當|s|＜1時，有：

根據(jù)引理1可得，系統(tǒng)可以在固定時間T1內(nèi)收斂到滑模面上，T1滿足如下關(guān)系式：

文獻[14]指出了此類系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)不會一直停留在奇異區(qū)域，而是在有限時間內(nèi)離開奇異區(qū)域，系統(tǒng)可以達到滑模面s=0，奇異區(qū)域的存在并不影響穩(wěn)定性分析的結(jié)果。

當運動到滑模面s=0時，系統(tǒng)運動方程可以表示為

根據(jù)引理1可得，誤差x1可以在固定時間T2內(nèi)收斂到平衡點，T2滿足如下關(guān)系式：

綜上可得，系統(tǒng)狀態(tài)x1可以在有限時間T內(nèi)收斂到平衡點，且T存在上界，收斂時間T滿足：

證明完畢。

3 數(shù)值仿真

為了驗證本文提出的新型固定時間控制方法的有效性，通過Matlab/Simulink建立Buck變換器仿真模型進行仿真驗證，本文將傳統(tǒng)固定時間控制方法的控制器u′設(shè)計為

式（12）和式（23）的控制器參數(shù)設(shè)計和電路參數(shù)如下：輸入電壓Uin=30 V，參考電壓Uref=10 V，電阻R=30Ω，電感L=700μH，電容C=470μF，m1=m2=13，n1=n2=11，p1=p2=5，q1=q2=9，a1=a2=10，b1=b2=80，h=0.1。將本文方法與傳統(tǒng)固定方法進行對比，圖2和圖3分別是誤差收斂和輸出電壓對比圖。

圖2 誤差收斂對比Fig.2 Error convergence comparison

圖3 輸出電壓對比Fig.3 Output voltage comparison

根據(jù)圖2可以得出，當輸出電壓誤差為10 V時，在本文方法的作用下，輸出電壓誤差收斂時間大概為0.056 s。在傳統(tǒng)固定時間控制方法的作用下，誤差收斂時間大概為0.069 s，可見本文方法收斂速度比傳統(tǒng)固定時間方法快了約0.013 s。根據(jù)式（22）再結(jié)合上述仿真參數(shù)，可以計算出本文方法作用下的收斂時間上界約為0.268 s，結(jié)果證明在本文方法作用下收斂時間在0.268 s內(nèi)。結(jié)合圖2和圖3的仿真結(jié)果可以得出，本文方法實現(xiàn)了輸出電壓誤差在固定時間內(nèi)快速收斂到平衡點，且收斂速度優(yōu)于傳統(tǒng)固定時間控制方法。

4 實驗分析

本文利用DSPF28335來做實驗的控制，開關(guān)頻率設(shè)置為20 kHz。實驗采用本文設(shè)計的Buck新型固定時間控制器與PI控制器和傳統(tǒng)固定時間控制器進行對比，對比了在0 V啟動和負載突變兩種情況下的實驗結(jié)果。

PI控制器參數(shù)設(shè)計為：kp=20，ki=10。Buck變換器電路參數(shù)參照上述控制器電路參數(shù)。圖4為0 V啟動時輸出電壓Uo和負載電流Io對比圖，圖5為負載由30Ω突變到18Ω時輸出電壓、電流對比。

由圖4可知，Buck變換器從0 V啟動時，在PI控制器的作用下輸出電壓穩(wěn)定時間大概在100 ms，且有2 V左右的超調(diào)量。在傳統(tǒng)固定時間控制器作用下輸出電壓大約在70 ms左右穩(wěn)定。而在新型固定時間控制器作用下，輸出電壓在56 ms左右到達額定值，電壓調(diào)節(jié)速度比另外兩種方法快，且無超調(diào)量。

圖4 0 V啟動時輸出電壓、電流對比Fig.4 Comparison of output voltage and current at 0 V startup

由圖5可知，當負載由30 Ω突變到18Ω時，在新型固定時間控制器作用下，輸出電壓大概20 ms左右恢復到10 V，電壓波動小。而在PI控制器下則需要32 ms才能恢復，在傳統(tǒng)固定時間控制器作用下大約在26 ms恢復穩(wěn)定。由上述實驗結(jié)果得知，本文提出的新型固定時間控制方法調(diào)節(jié)速度更快，啟動時輸出電壓沒有超調(diào)量，在負載發(fā)生變化時輸出電壓能更快恢復到額定值，具有良好的魯棒性。

圖5 負載由30 Ω突變到18Ω時輸出電壓、電流對比Fig.5 Comparison of output voltage and current at load mutation from30 Ω to18Ω

5 結(jié)論

本文構(gòu)造了一種新型固定時間滑面和滑模趨近律，證明了系統(tǒng)狀態(tài)能在固定時間內(nèi)收斂到平衡點，其收斂速率優(yōu)于傳統(tǒng)固定時間控制方法。結(jié)合Buck變換器電路模型設(shè)計了新型非奇異固定時間控制器。通過仿真和實驗與傳統(tǒng)固定時間控制方法和PI控制器進行了對比，仿真和實驗結(jié)果均表明了本文方法能使輸出電壓具有更快的調(diào)節(jié)速度，且啟動時無超調(diào)量，在負載變化時體現(xiàn)了良好的動態(tài)響應，具有良好的魯棒性。