基于濾波反投影重建算法的圖像重建研究

沈磊磊　王波　嚴(yán)旭

關(guān)鍵詞：超分辨率圖像重建；超高分辨率；超低分辨率；濾波反投影

中圖分類號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2022）36-0005-03

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和人工智能技術(shù)的發(fā)展，深度學(xué)習(xí)應(yīng)用越來(lái)越廣，其中計(jì)算機(jī)圖形學(xué)與深度學(xué)習(xí)的結(jié)合，產(chǎn)生了許多優(yōu)秀的算法，并在后來(lái)的圖像分割、工程測(cè)量、醫(yī)院CT等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1-5]。

計(jì)算機(jī)斷層掃描（Computed Tomography，CT）已經(jīng)被廣泛地研究很多年并且被人們廣泛地使用。CT制造商選擇的方法雖然一直是濾波反投影方法，但是也正在努力重新審視迭代方法。而斷層掃描一詞意味著的是從切片重建。這是一種成像技術(shù)，它利用了體內(nèi)許多器官能夠吸收X射線這一特點(diǎn)，其會(huì)創(chuàng)建一個(gè)陰影圖片——簡(jiǎn)稱投影。斷層攝影重建的問(wèn)題就是反問(wèn)題，其要做的就是從其投影開始估計(jì)對(duì)象。即使在投影數(shù)據(jù)有噪聲影響時(shí)，最有效的重建技術(shù)方法也能夠重建出高質(zhì)量的CT圖像。傳統(tǒng)的CT圖像重建算法是反投影（Back Projection， BP）技術(shù)和濾波反投影FBP（Filtered back Projection，F(xiàn)BP）重建技術(shù)這兩種重建算法，它們是一種分析重建方法。而在濾波反投影的方法中，傅里葉切片定理被用于圖像重建中。

為此，本文提出了一種基于濾波反投影重建算法，該方法主要是對(duì)投影的一維傅里葉變換等同于原圖像進(jìn)行的二維傅里葉變換，該方法通過(guò)改善點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)所引起的形狀偽影來(lái)提高圖像質(zhì)量。實(shí)驗(yàn)表明，本文算法能提高圖像分割質(zhì)量和視覺(jué)效果。

1濾波反投影算法原理

1.1 濾波反投影算法原理

CT重建算法可以大致分為解析重建和迭代重建兩種算法，隨著CT技術(shù)的不斷發(fā)展，重建算法也變得多元化，并且各有各的特點(diǎn)。為此，本文使用應(yīng)用最廣泛的FBP算法作為模型的基礎(chǔ)算法，F(xiàn)BP算法是一種空域處理技術(shù)建立在傅里葉變換理論基礎(chǔ)之上的算法。它的特點(diǎn)就是在反投影前處理每一個(gè)采集投影角度下的投影，通過(guò)這樣改善點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)所引起的形狀偽影，最后獲得的重建圖像質(zhì)量較好。

傅里葉中心切片定理的過(guò)程如圖1所示。其對(duì)投影的一維傅里葉變換和對(duì)原圖像進(jìn)行二維的傅里葉變換最后的結(jié)果是等效的。

傅里葉切片定理的意義就是通過(guò)投影上執(zhí)行傅里葉變換，可以從每一個(gè)投影中得到二維傅里葉變換。因此投影圖像重建的問(wèn)題，可以通過(guò)以下方法來(lái)進(jìn)行求解：在采集（一般為180次采集）不同時(shí)間下足夠多投影的情況下，求解每一個(gè)投影的一維傅里葉變換，然后將上述切片匯集成圖像的二維傅里葉變換，最后利用傅里葉反變換求得重建圖像。

1.2 濾波反投影算法過(guò)程

投影重建的過(guò)程首先把投影由線陣探測(cè)器上所獲得的投影數(shù)據(jù)進(jìn)行一次一維傅里葉變換，然后再與濾波器函數(shù)來(lái)進(jìn)行卷積運(yùn)算，最后得到每一個(gè)方向卷積濾波后的投影數(shù)據(jù)；其次把它們沿每一個(gè)方向進(jìn)行反投影，就是按其原路徑平均地分配到每一矩陣單元上，然后進(jìn)行重疊就會(huì)得到每一矩陣單元的CT值；最后再經(jīng)過(guò)適當(dāng)處理后得到被掃描物體的斷層圖像。

濾波反投影重建算法的步驟如下：

（1）將原始投影進(jìn)行一次一維傅里葉變換；

（2）設(shè)計(jì)合適的濾波器，在φ的角度下將所獲得的原始投影p（x，φ）進(jìn)行卷積濾波，得到濾波后的投影；

（3）將濾波后的投影進(jìn)行反投影，就會(huì)得到滿足xr =r cosf （（θ - φ））方向上的原圖像的密度。

（4）將所有反投影進(jìn)行疊加，最后得到重建后的投影。

2濾波反投影（FBP）算法

分析重建方法中考慮連續(xù)層析成像。所以問(wèn)題是：給出正弦圖想恢復(fù)（x，y ）坐標(biāo)中描述的對(duì)象。最常見(jiàn)的圖像分析重建類型是濾波反投影（FBP）?？梢詮乃^的傅里葉切片定理推導(dǎo)出重建算法。該定理將投影的傅里葉變換與要重建的對(duì)象的二維傅里葉變換相關(guān)聯(lián)。因此，假設(shè)投影的傅里葉變換具有足夠的角度，則可以將投影組裝成二維變換的完整估計(jì)，然后簡(jiǎn)單地反轉(zhuǎn)以得到對(duì)象的估計(jì)。使用傅里葉切片定理導(dǎo)出的算法是濾波反投影算法。它已被證明非常準(zhǔn)確并且易于快速實(shí)施。FBP在數(shù)學(xué)上表達(dá)為：

3 圖像重建

圖像重建是指從一幅或者是幾幅分辨率低的圖像通過(guò)一定的方法重建出分辨率高的圖像技術(shù)。從圖像捕捉到圖像這個(gè)過(guò)程中，會(huì)受到一些自身或者外界的影響，導(dǎo)致圖像不清晰，過(guò)程中影響圖像退化最大的因素肯定是噪聲，所以在處理圖像之前首先對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理。

3.1 圖像去噪

假設(shè)輸入n幀低分辨率圖像，然后寫出基于重建的模型過(guò)程表達(dá)式如公式（4）所示：

3.2 圖像配準(zhǔn)

在重建圖像之前，先對(duì)低分辨率的圖像進(jìn)行圖像配準(zhǔn)處理，其原理是：在低分辨率圖像中隨便選取一段來(lái)作為參考，然后計(jì)算原圖像與選來(lái)作為參考的對(duì)象在亞像素下的位移偏差是多少，而本文采用的配準(zhǔn)方法是光流估計(jì)方法，先把得到的位移偏差用矢量來(lái)表示得到一個(gè)矢量集合，作為圖像重建的先驗(yàn)信息。

3.3 圖像重建

圖像重建就是從一幅或者是幾幅分辨率低的圖像通過(guò)一定的方法重建出分辨率高的圖像，而在重建之前就需要提前考慮噪聲污染，圖像退化，圖像配準(zhǔn)，圖像重建過(guò)程中的參數(shù)等。

從低分辨率圖像重建出高分辨率圖像的過(guò)程：首先要配置圖像，用光流方法對(duì)圖像進(jìn)行圖像配置，然后通過(guò)空域法得到高分辨率的圖像，再用迭代方法來(lái)對(duì)原始圖像進(jìn)行迭代計(jì)算，即圖像去噪操作，最后得到高分辨率圖像。圖像重建的流程如圖4所示：

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

打開實(shí)驗(yàn)所要用到的Matlab軟件及其實(shí)現(xiàn)算法所需程序代碼；通過(guò)程序讀入一個(gè)未經(jīng)處理的原始圖像；該程序會(huì)對(duì)圖像進(jìn)行彩色化處理；然后將圖像退化；開始圖像重建。

4.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果本

文算法重建輸入的圖像是彩色的低分辨率圖像，然后對(duì)該輸入圖像進(jìn)行灰度化處理，如圖5、圖7、圖9所示都是灰度化得到的原始圖像，然后經(jīng)過(guò)重建之后得到了圖6、圖8、圖10所示幾組重建之后的圖像。

4.2 結(jié)果分析

三組圖像重建后的數(shù)據(jù)對(duì)比如表1所示：

通過(guò)以上圖像可以看出，原始圖像灰度化比較大，圖像感覺(jué)不清晰，而經(jīng)過(guò)重建之后的幾組圖像可以直觀地區(qū)分其與原始圖像的區(qū)別，從表面就可以看出濾波反投影（FBP）算法重建出來(lái)的圖像更加地清晰。圖像辨識(shí)度高、分辨率也高，所以經(jīng)過(guò)本文算法重建得到的圖像質(zhì)量較好。

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)計(jì)算機(jī)斷層掃描對(duì)圖像重建的問(wèn)題進(jìn)行研究，提出了一種基于濾波反投影重建算法，該方法通過(guò)改善點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)所引起的形狀偽影來(lái)提高圖像質(zhì)量，通過(guò)實(shí)驗(yàn)可知，本文提出的算法提高了圖像質(zhì)量，提升了視覺(jué)效果。