Hilbert K_模上酉群的廣義同態(tài)映射

董芳芳

(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 天水 741001)

Hilbert K_模是緊算子代數(shù)模，也是一種特殊的HilbertC*-模，其中底代數(shù)K為作用在Hilbert空間上的全體緊算子組成的C*-代數(shù)，即I?K，Bakic和Guljas在文獻[1]中證明了Hilbert K_模一定有特殊的標準正交基，其特殊點在于相同基向量的內(nèi)積為K中的一個秩1的自伴投影.

設(shè)M和{Nj,j∈J}均為Hilbert K_模，Γj∶M→Nj為有界可伴算子集，U為作用在M上的全體酉算子組成的群(簡稱酉群)，在U和U(M)之間引入了一個*-同態(tài)映射τ，通過定義運算，τ(U)={τ(u),?u∈U}也稱為一個群，又通過定義M到Nj上的算子集{Γjτ(u),j∈J,u∈U}為廣義標準正交基或廣義(正規(guī)緊)框架來定義酉系統(tǒng)τ(U)的廣義完全游蕩向量或廣義完全(正規(guī)緊)框架向量{Γj,j∈J}，展開了本文的研究.

1 預(yù)備知識

定義1[1]設(shè)K為作用在Hilbert空間Η上的全體緊算子組成的C*-代數(shù)，Μ是復(fù)數(shù)域C上的線性空間，Μ是左K_模，滿足μ(kx)=(μk)x=k(μx)，其中任意的μ∈C，k∈K，x∈Μ，若〈·，·〉∶Μ×Μ→K具有性質(zhì)

(i) 〈x,x〉≥0，?x∈Μ；

(ii) 〈x,x〉=0?x=0，?x∈Μ；

(iii) 〈x,y〉=〈y,x〉*，?x,y∈Μ；

(iv) 〈kx,y〉=k〈x,y〉，?k∈K，?x,y∈Μ；

(v) 〈x+y,z〉=〈x,z〉+〈y,z〉，?x,y,z∈Μ.

定義2[2]稱可伴算子組成的集合Ω為一個群，若對任意的T1,T2∈Ω，T1T2∈Ω，T2T1∈Ω；對任意的T∈Ω，存在T-1∈Ω，并且I∈Ω.

把酉算子U={?u∈L(M),uu*=u*u=I}組成的群稱為酉群.

定義3[3]設(shè)U為作用在Hilbert K_模M上的酉群，稱*-同態(tài)τ∶U→U(M)為U的一個表示，若對任意的u,v∈U，τ(uv)=τ(u)τ(v)，τ(u)*=τ(u*)，其中U(M)為作用在M上的全體酉算子組成的酉群.

注:由該定義不難驗證τ(U)={τ(u),u∈U}也為酉群，且τ(I)為它的單位算子，其中I為U的單位元.事實上，對任意的u∈U，

τ(u)*τ(u)=τ(u*)τ(u)=τ(u*u)=τ(I)，τ(u)τ(u)*=τ(u)τ(u*)=τ(uu*)=τ(I).

作用在M上的酉群U的表示記作(τ,U,M).

定義4[4]設(shè)M和Nj均為Hilbert K_模，τ(U)為酉群，稱M關(guān)于Nj的可伴算子集{Λj,j∈J}為τ(U)的廣義完全游蕩向量，若{Λjτ(u),j∈J,u∈U}為M關(guān)于Nj的廣義標準正交基，即若

(ii) 對任意的gm,gn∈Nj，

定義5[5-6]設(shè)M和Nj均為Hilbert K_模，τ(U)為酉群，稱M關(guān)于Nj的可伴算子集{Γj,j∈J}為τ(U)的廣義完全(正規(guī)緊)框架向量，若{Γjτ(u),j∈J,u∈U}為M關(guān)于Nj的廣義(正規(guī)緊)框架，即若存在a>0，b>0，使得對任意的x∈M，有

特別地，若a=b=1，則稱{Γjτ(u),j∈J,u∈U}為M關(guān)于Nj的廣義正規(guī)緊框架，也稱{Γj,j∈J)為τ(U)的廣義正規(guī)緊框架向量.

2 主要結(jié)論

定義7對酉群τ(u)，稱τ(u)′={?T,Tτ(u)=τ(U)T,u∈u}為τ(U)的換位.

定義8設(shè)U為作用在Hilbert K_模M上的酉群，稱U的一個表示(τ,U,M)為一個廣義框架表示，若τ(U)有廣義完全正規(guī)緊框架向量.

定義9稱τ(U)的兩個廣義完全正規(guī)緊框架向量{Γj,j∈J}和{Λj,j∈J}酉等價，若廣義正規(guī)緊框架{Γjτ(u),j∈J,u∈U}和{Λjτ(u),j∈J,u∈U}酉等價，即若存在酉算子T∶M→M，使對任意的u∈U，T(Γjτ(u))*=(Λjτ(u))*.

定義10設(shè)(τ1,U,M1)和(τ2,U,M2)為U的兩個廣義框架表示，稱τ1和τ2酉等價，若存在酉算子w∈L(M1,M2)，使得對任意的u∈U，wτ1(u)=τ2(u)w.

下證T∈τ(U)'.

由x的任意性知Tτ(υ)=τ(υ)T，再由υ的任意性知T∈τ(U)'.

定理2設(shè)(τ1,U,M1)和(τ2,U,M2)為U的兩個廣義框架表示，{Γj,j∈J}和{Lj,j∈J}分別是τ1(u)和τ2(u)的廣義完全正規(guī)緊框架向量,若{Γjτ1(u),j∈J,u∈U}和{Λjτ2(u),j∈J,u∈U}酉等價，則τ1和τ2酉等價.

從而由x的任意性知wτ1(u)=τ2(u)w，即τ1和τ2酉等價.

定理3 設(shè)M為Hilbert K_模，τ(U)為酉群，{Γj,j∈J}為τ(U)的廣義完全正規(guī)緊框架向量，{Λj,j∈J}為τ(U)的廣義完全游蕩向量，Φ為{Γjτ(u),j∈J,u∈U}的廣義框架變換，P為M到Φ(M)的正交投影，則P(Λjτ(u))*=Φ(Γjτ(u))*，Φ*Φ=P，且P∈τ(u)′.

證明首先，由于{Γjτ(u),j∈J,u∈U}為M關(guān)于Nj的廣義正規(guī)緊框架，從而Φ*Φ=I，即Φ為等距算子，而P為M到Φ(M)的正交投影，除了有P(M)=Φ(M)外，當P作用在Φ(M)上時，P=I，即P(Φ(M))=Φ(M)，于是，對任意的x∈M，?gi∈Nj以及M關(guān)于Nj的廣義標準正交基{Λjτ(u),j∈J,u∈U}，有

=〈x,Φ*(Λjτ(u))*(gi)〉

=〈x,(Γjτ(u))*(gi)〉

=〈Φ(x),Φ(Γjτ(u))*(gi)〉.

再由gi的任意性知P(Λjτ(u))*=Φ(Γjτ(u))*.

其次，由于{Λjτ(u),j∈J,u∈U}為M關(guān)于Nj的廣義標準正交基，從而，對任意的x∈M，有

由x的任意性知ΦΦ*=P.

最后，由于對任意的u,υ∈U，uυ∈U，u*∈U，從而對任意的x∈M，

由x的任意性知Φτ(υ)=τ(υ)Φ，即Φ∈τ(u)′.

由x的任意性知Φ*τ(υ)=τ(υ)Φ*，即Φ*∈τ(u)′.

綜上，由Φ∈τ(u)′，Φ*∈τ(u)′知ΦΦ*∈τ(u)′，即P∈τ(u)′.

由該定理的證明可以看出：只要{Γj,j∈J}為τ(U)的廣義完全框架向量，就有Φ∈τ(u)′，Φ*∈τ(u)′，即Φ*Φ∈τ(u)′，也就是說，它的廣義框架算子S∈τ(u)′，當然，當{Γj,j∈J}為τ(U)的廣義完全正規(guī)緊框架向量時，更有S=I∈τ(u)′，因此有下面的推論.

推論1設(shè)M為Hilbert K_模，τ(U)為酉群，{Γj,j∈J}為τ(U)的廣義完全框架向量，S為廣義框架{Γjτ(u),j∈J,u∈U}的廣義框架算子，則S∈τ(u)′.